蔣同山

摘要：數(shù)學文化具有豐富的內(nèi)涵。這些內(nèi)涵需要通過各種數(shù)學活動中多方面、多層次的體驗和領悟，才能心領神會，這是一個潤物無聲的長期熏陶過程。以對數(shù)概念的教學為例，說明在數(shù)學概念的學習中，可以通過數(shù)學實驗促進數(shù)學文化的體悟;以線面平行判定定理與性質(zhì)定理的教學為例，說明在數(shù)學原理的學習中，可以運用直覺思維幫助數(shù)學文化的體悟;以“公比為2的等比數(shù)列的前n項和”的拓展運用為例，說明在數(shù)學問題的解決中，可以借助經(jīng)典問題驅(qū)動數(shù)學文化的體悟。

關鍵詞：數(shù)學文化體悟數(shù)學實驗直覺思維經(jīng)典問題

很多學生進入高中后，會感覺到數(shù)學內(nèi)容多、概念太抽象、規(guī)律難把握，還會發(fā)現(xiàn)以前很有效的技能訓練也不那么有用了，而強化訓練又減少了思考、自悟的時間，以致數(shù)學理解淺薄，數(shù)學解題困難，進而導致數(shù)學學習的興趣嚴重欠缺。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》在“教學建議”中提出：“數(shù)學文化應融入數(shù)學教學活動?！欣诩ぐl(fā)學生的數(shù)學學習興趣，有利于學生進一步理解數(shù)學，有利于開拓學生視野、提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)?！惫P者與“數(shù)學文化融入數(shù)學教學的高效課堂研究”課題組一道，對此開展了探索：在高中數(shù)學課堂上，努力創(chuàng)設數(shù)學文化的情境，引導學生深入體驗數(shù)學文化的探究，領悟數(shù)學文化的內(nèi)涵，感受數(shù)學文化的魅力，從而讓學生更親近數(shù)學、欣賞數(shù)學、理解數(shù)學、掌握數(shù)學。

一、數(shù)學文化的內(nèi)涵及其體悟

張奠宙教授指出：“數(shù)學是人們觀察世界的一種立場、觀點和方法，具有很強的人文特征。在形式化了的數(shù)學的背后，有生動活潑的思維過程、樸素無華的思想方法，乃至引人深思的人生故事?！彼€強調(diào)：“數(shù)學教學‘既要講推理，更要講道理。這些道理中包括數(shù)學文化底蘊?！?/p>

數(shù)學文化具有豐富的內(nèi)涵。這些內(nèi)涵不能只通過理性思維、實踐行為去理解，還需要在各種數(shù)學活動中通過多方面、多層次的體驗和領悟，才能心領神會，這是一個潤物無聲的長期熏陶過程。

從數(shù)學文化的不同層面來看，深層次的數(shù)學文化更需要體悟?！皵?shù)學文化是指人類在數(shù)學行為活動的過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品。物質(zhì)產(chǎn)品是指數(shù)學命題、數(shù)學方法、數(shù)學問題和數(shù)學語言等知識性成分;精神產(chǎn)品是指數(shù)學思想、數(shù)學意識、數(shù)學精神和數(shù)學美等觀念性成分?！弊鳛槲镔|(zhì)產(chǎn)品的知識性成分更多地位于數(shù)學文化的表層，辨識性、規(guī)則性、機械性強，較易習得和按程序進行操作，體現(xiàn)為概念、原理、題型、解法的識記、訓練;作為精神產(chǎn)品的觀念性成分則是一種“默會知識”，位于數(shù)學文化的深層、人類靈魂的深處，更多地體現(xiàn)為對知識探求的啟發(fā)性、思維方法的宏觀引領性，不宜簡單模仿、直接取用、機械訓練，需要在實踐中體驗，在思索中領悟。

正如鄭毓信教授所指出的，“我們不應將‘數(shù)學簡單地等同于各種‘知識成分，特別是各種具體知識和技能的總和，而還應當看到相應的‘觀念成分（或者說，數(shù)學傳統(tǒng)）在實際數(shù)學活動中的重要作用，特別是，正是后者為具體的數(shù)學研究提供了必要的規(guī)范，包括重要的啟發(fā)性成分等”，而“在現(xiàn)實中，觀念的形成主要表現(xiàn)為一種不自覺的行為，即是一個潛移默化的過程”。

從數(shù)學文化的涵蓋范圍來說，廣義的數(shù)學文化中，需要體悟的內(nèi)涵更多。顧沛教授認為：“數(shù)學文化一詞的內(nèi)涵，簡單說，數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點以及它們的形成和發(fā)展;廣泛些說，除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育和數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關系等。”其中，數(shù)學家追求真、善、美的熱情和精神，堅持上下求索、突破認知極限、勇于探索創(chuàng)新的意志品格，數(shù)學共同體形成的共有價值觀、思維方式、審美趣味，對數(shù)學、數(shù)學家的重視與尊重及由此形成的良好社會風尚，數(shù)學文化與其他文化的相互影響等，都只能在長期形成的文化傳統(tǒng)中去傳承、發(fā)揚，在豐富多彩的數(shù)學活動中去體悟、踐行。

二、在數(shù)學活動中體悟數(shù)學文化

數(shù)學課堂上，學生的數(shù)學活動可以大致分為三類：數(shù)學概念的學習、數(shù)學原理的學習和數(shù)學問題的解決。下面分別針對這三類數(shù)學活動的特點，尋求引導學生深入體悟數(shù)學文化的有效途徑。

（一）數(shù)學概念的學習：通過數(shù)學實驗促進體悟

概念是思維的細胞，數(shù)學思維的方式方法是數(shù)學文化中重要的觀念性成分。數(shù)學概念的學習和理解，是體悟數(shù)學文化的重要途徑。學習數(shù)學概念的過程不是將它當作數(shù)學文化的知識性成分簡單地記憶、運用，而是對一類具體事物的本質(zhì)屬性進行抽象概括的過程。過早地引入抽象化、形式化的概念，過多機械化的解題訓練，會導致學生只能接觸到概念的文字符號，止步于數(shù)學文化的淺表知識層面。因此，教學數(shù)學基本概念，可以化抽象為具體，引用數(shù)學文化中鮮活的材料，設計、開展數(shù)學實驗，利用奇妙有趣的數(shù)學現(xiàn)象，吸引學生觀察、思考，從而既激發(fā)學生的學習興趣，又幫助學生積累感性經(jīng)驗，從具體到抽象，促進其更好地體悟數(shù)學概念的由來、本質(zhì)和價值。

【案例1】對數(shù)概念的教學

我們先來看2010年高考數(shù)學江蘇卷的一道題：

設實數(shù)x、y滿足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，則x3y4的最大值是。

本題有多種解法。筆者看到題目，即刻想到取對數(shù)，化乘除為加減，將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題。但是，筆者后來問了幾個成績不錯的學生，他們竟然都想不到這種方法;甚至提醒了“什么運算可以‘化乘除為加減”后，他們還是想不到對數(shù)。

有關對數(shù)的題目做了無數(shù)，但學生真的理解對數(shù)的概念嗎？了解對數(shù)的文化價值嗎？

對數(shù)是中小學數(shù)學運算中最高級的運算，在高中數(shù)學中相當重要。但對數(shù)的概念及其運算法則較為抽象難懂。教材一般從指數(shù)與對數(shù)的互逆關系直接引入，因此，學生并不理解對數(shù)概念學習的迫切性和重要性。對于對數(shù)的運算法則，教材一般也只是設冪的代換，做形式化推演。比如：令s=logaM，t=logaN，則M=as，N=at，于是MN=as·at=as+t，根據(jù)對數(shù)的定義，有l(wèi)oga（MN）=s+t，即loga（MN）=logaM+logaN。對這樣“變魔術(shù)般”的符號推演，絕大多數(shù)學生不知其所以然，體會不到對數(shù)化繁為簡的強大力量，也不了解歷史上對數(shù)在科技應用、文明進步中的巨大價值，因而，對對數(shù)的學習積極性不高，對對數(shù)的理解和掌握也處于套公式運算的知識運用淺層。

針對這一現(xiàn)象，筆者嘗試引入有關對數(shù)歷史的具體材料，激發(fā)學生學習對數(shù)的興趣，引導學生體悟?qū)?shù)的由來、本質(zhì)和價值。教學設計如下：

1.模擬歷史過程，體驗認知困境。

任務1：我們已經(jīng)學了指數(shù)、指數(shù)函數(shù)，后續(xù)學習中指數(shù)運算，尤其是底數(shù)為2的指數(shù)運算的作用很大，所以要盡可能地熟練。請同學們快速地計算以下結(jié)果（能心算更好）：4×8，16×32，64×256，512×1024，…。

點評：隨著數(shù)據(jù)變大，大家是不是感覺很耗時間？在數(shù)學發(fā)展史上，也曾經(jīng)有過這么一段時間，運算很耗時，甚至“耗人”。這不是危言聳聽：哥白尼的“太陽中心說”流行時，天文愛好者很多，很多天文現(xiàn)象需要準確計算才能觀測到，但是，當時數(shù)學的發(fā)展還局限在常量數(shù)學的階段，計算多位數(shù)乘積十分麻煩，繁雜的“天文數(shù)字”的運算極其消耗時間，甚至要花費天文學家畢生的精力。

引導：怎樣簡化運算，以“延長”天文學家的壽命呢？同為天文愛好者的納皮爾為了簡化大數(shù)字的計算，潛心研究了很多年，終于獨立發(fā)明了對數(shù)。當然，納皮爾的對數(shù)在形式上與現(xiàn)代對數(shù)理論并不完全一致，因為當時指數(shù)概念尚未形成。

2.借助運算實驗，領悟?qū)?shù)真義。

任務2：納皮爾的方法是利用表1所示的兩行數(shù)。你知道如何利用它們簡化運算，快速計算上面的算式嗎？

推廣：如表2所示，從第一行到第二行是指數(shù)函數(shù)關系，而從第二行到第一行就是對數(shù)函數(shù)關系。令M=as，N=at，定義logaM=s，logaN=t。第二行兩數(shù)的乘法對應第一行相應兩數(shù)的加法。于是，MN對應s+t，即loga（MN）=s+t，即loga（MN）=logaM+logaN。

這里，以對數(shù)故事為數(shù)學文化背景，設計與歷史上對數(shù)概念產(chǎn)生過程相似的模擬運算實驗，在學生遇到認知困境時，促進學生體悟?qū)?shù)如何簡化運算，從而激發(fā)學生的學習興趣，讓學生具體地體會到歷史上對數(shù)在天文等領域的巨大應用價值，感受到對數(shù)對人類文明進步的貢獻，同時，感悟?qū)⒒睘楹喌葦?shù)學思想。

（二）數(shù)學原理的學習：運用直覺思維幫助體悟

數(shù)學文化觀念的核心是理性精神、理性思維，但僅靠理性精神、理性思維，難以獲得真知或正確命題。直覺思維雖然不確定性強，但對于數(shù)學探索必不可少，甚至可以說是理性思維的先導?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版）》指出：“重要的數(shù)學結(jié)論往往都是‘看出來的，會‘看需要直觀想象素養(yǎng)?！狈▏麛?shù)學家龐加萊對直覺與邏輯的關系，有不少精辟的論述。例如：“僅僅從證明過程中的每一步演繹，并不能抓住證明的意義?！薄斑壿嬘糜谧C明，直覺用于發(fā)明?！薄瓣P于數(shù)學證明，它似乎只能使理智感興趣，當我們看到它也乞于情感時，可能會感到奇怪。這也許是忘記了數(shù)學的美感，數(shù)和形的和諧感，幾何學的雅致感?！蔽覈麛?shù)學家徐利治認為，直覺上懂了，才是真懂，而“數(shù)學直覺是‘悟出來的”。這里所指的“數(shù)學直覺”，不僅包含常見的直觀想象，而且包含辨識直覺、關聯(lián)直覺和審美直覺等方面。其中，辨識直覺可以幫助我們識別哪種研究思路更有價值、更為可靠，也就是解決“真”和“善”的判斷問題;關聯(lián)直覺涉及一定的思想跨度、知識和思維的整體性;審美直覺關系到對數(shù)學美的體驗、判斷。這些，都與數(shù)學文化的核心觀念、價值緊密聯(lián)系在一起。

從廣義上看，數(shù)學公理、性質(zhì)、定理、公式、法則等都屬于數(shù)學原理一類，它們既是數(shù)學知識、數(shù)學思維的基礎，也蘊含著豐富的數(shù)學文化觀念。學習這些數(shù)學原理，不能只是將其當作現(xiàn)成的結(jié)論使用，而必須經(jīng)歷探索、猜想、驗證和論證、確認的過程。其中，探索、猜想階段往往需要借助直覺思維，達到“看出來”的理解和直接性的洞察。教學重要的數(shù)學原理，應該帶領學生探究所學的原理，讓學生在體悟嚴謹?shù)慕Y(jié)構(gòu)美的同時，直覺地思考并深刻地領會數(shù)學原理，體悟其背后生動活潑的思維、探求真理的精神，從而以數(shù)學文化的魅力，激發(fā)學生的學習興趣，促進學生的數(shù)學理解。

【案例2】線面平行判定定理與性質(zhì)定理的教學

學習立體幾何定理的證明，有助于學生訓練直觀想象能力、了解公理化思想，也是體悟數(shù)學文化核心——理性精神的極好途徑。但遠離直觀的一味演繹、形式化推理對初學者來說極為困難。

在蘇教版高中數(shù)學教材中，直線與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理位于平面的基本性質(zhì)（幾條公理）之后，線面垂直和面面位置關系之前，在“點、線、面的位置關系”中起著承上啟下的作用。自此，學生將真正從平面進入空間去思考，同時也為后續(xù)面面平行的學習打下堅實的基礎。所以，教學這一內(nèi)容時，讓學生深刻體悟原理嚴謹?shù)慕Y(jié)構(gòu)美并有效激發(fā)學習興趣，至關重要。對此，筆者的教學過程如下：

1.問題引領思考，化歸助推新知。

師 怎樣判定直線與平面平行？

生 0個公共點。

師 先考慮定義，很好！如果不知道或不易確定公共點個數(shù)呢？除了定義，還有什么方法？

生 用線線平行，如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

師 很好，碰到新問題先聯(lián)系此前學過的知識！直線與平面平行的判定定理為什么首先要求是平面外一條直線？

生（笑）不然直線就在平面內(nèi)了。

2.外顯定理結(jié)構(gòu)，激活直觀想象。

師我還想問一句：平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，就可以保證直線和平面沒有交點了嗎？線線平行可以保證兩條直線沒有公共點，能保證直線和平面也沒有公共點嗎？

（學生思考、討論。）

生 將直線b在平面α內(nèi)前后平移，由公理4可知b始終與直線a平行，因此，a 始終與α沒有交點。

師 很有想象力！但這樣只靠直覺，嚴謹嗎？（等待）要不反過來想：假設a與α有交點，會不會產(chǎn)生矛盾？也就是考慮反證法。（等待）我們先看交點在哪兒。（出示圖1，故意將a畫彎曲，要與α相交）想象一下，交點可能在哪兒？

生 可能在直線b上。

師如果是這樣，就會得出a和b有公共點，也就是它們相交，這就導致矛盾。不過，a與α的交點一定在直線b上嗎？為什么不會跑偏？（等待）我們來想象一下，如果直線a換個方向，a與α的交點在哪兒？

生 那么與它平行的直線b也得換個方向，看樣子a與α的交點還應該在直線b上。

師 確定嗎？為什么？（等待）雖然難以確定，但剛才我們通過想象，從直覺上感到a與α的交點應該在直線b上。老師想到一個比喻：飛機降落時，方向?qū)逝艿?，剛開始可認為飛機航線與地面上的跑道平行，后來機頭偏下準備降落，航線將與地面相交。想象一下：這交點在哪兒？

生 在跑道上。

師 如果航線與跑道越來越接近平行，可以想象航線與地面的交點也會在越來越遠的地方，在跑道的延長線上很遠處。

生 但現(xiàn)在是假定直線a與平面α內(nèi)的直線b平行??！

師 看來在空間中嚴格論證一個結(jié)論并不容易，最好將飄浮在空中的直線a放在一個平面內(nèi)，將空間問題借助某個確定的平面β來思考。放在哪個平面內(nèi)呢？

生 隨便哪一個，過直線a就行。

師 那就用過平行直線a、b的平面β。（出示圖2，畫好過直線a、b的平面后，再次將a 畫彎曲，要與α相交）現(xiàn)在a與α的交點只能在哪兒？

生 根據(jù)公理2，兩個平面α、β的交點只能在它們的交線b上，所以a與α的交點只能在直線b上，這樣a、b相交，與原來的平行矛盾。

3.統(tǒng)一原理結(jié)構(gòu)，感悟數(shù)學之美。

師 如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線是否與這個平面內(nèi)的任意一條直線都平行？

生 平行。

生 不一定，還可以是異面。

師 平行、異面中我們主要關心平行。如何比較簡潔地在平面內(nèi)找到與平面外的一條直線平行的直線？

生 直接作。

師 直接作一條，就可以保證平行？萬一有誤差怎么辦？

生 可以將平面外的一條直線平移過來。

生 過平面外的一條直線作一個平面與原來的平面相交，交線就是要找的直線。

師 將平移的過程想象成一個斜坡，也就是一個平面，將飄浮在空中的直線沿著這個斜坡、順著這個平面移下來，就可以簡潔明了地在平面內(nèi)找到與平面外的一條直線平行的直線，也就是面與面的交線。這就是直線與平面平行的性質(zhì)定理。關鍵是必須用過平面外的一條直線的平面得到面與面的交線，也就是將空間問題平面化。（稍停）再比較一下直線和平面平行的判定定理與性質(zhì)定理，發(fā)現(xiàn)它們其實是線線平行與線面平行的相互推導，注意判定定理與性質(zhì)定理的圖形實質(zhì)是一個圖，將空間問題平面化的轉(zhuǎn)化方法也是一致的。你們能想到一個實際生活中的例子嗎？

生 我經(jīng)常把書倒扣在桌子上，假設書頁不變彎，就好像從書脊（看成一條直線）出發(fā)的多個平面（每頁）與桌面相交，書脊與每條交線平行。

師 很好！直線與平面平行的判定和性質(zhì)，乍看簡單，證明起來卻并不容易。從剛才探索證明思路的過程中，我們既感受到運用反證法、數(shù)學公理進行嚴格證明的理性美，也通過直覺和想象體悟到判定定理、性質(zhì)定理的原理結(jié)構(gòu)圖的和諧統(tǒng)一美。

這里，引導學生用直覺思維幫助論證、領悟數(shù)學原理，欣賞反證法中蘊含的數(shù)學原理的嚴謹結(jié)構(gòu)美，領略判定定理、性質(zhì)定理的原理結(jié)構(gòu)圖的和諧統(tǒng)一美：都是在過平面外的一條直線的平面內(nèi)找該平面與目標平面的交線，只是證明的方向不同。在直覺與邏輯交織互補的過程中，學生獲得數(shù)學原理結(jié)構(gòu)美、理性美的文化熏陶，體悟數(shù)學的美學價值，達成對定理的深刻理解。也就是說，在形式化邏輯演繹的同時，展現(xiàn)形象具體、生動鮮活的思維過程，闡明定理證明的文化價值。

此外，需要指出的是，上述教學過程中，過直線a、b的平面β的引入有些生硬，可以通過略微改變a的方向，多作幾條與b幾乎平行且在同一平面（即過直線a、b的平面β）內(nèi)的直線，自然地引出平面β;還可以追問運用哪條公理可以證明a與α的交點在直線b上，自然地將思路引導到公理2上。

（三）數(shù)學問題的解決：借助經(jīng)典問題驅(qū)動體悟

數(shù)學概念的產(chǎn)生、數(shù)學原理的提煉、數(shù)學思想方法的形成，最初都來自解決問題的需要。而初步學習數(shù)學的概念、原理和方法后，又必須學會用它們?nèi)ソ鉀Q問題，才能加深理解，鍛煉解題能力。

解題是體悟數(shù)學文化的重要途徑。將數(shù)學文化融入數(shù)學教學，不能停留在講幾個有趣的數(shù)學故事，引述一段數(shù)學史，或抽象地講述數(shù)學的思想方法、理性精神等。要深入體悟數(shù)學文化，還需要真刀真槍地求解數(shù)學問題，“嗅出”其中的“數(shù)學味兒”，悟出其中的“數(shù)學道道”，欣賞其中的“意趣”“美妙”，不搞花拳繡腿，不做表面文章。

數(shù)學史上有許多經(jīng)典的問題及結(jié)論。針對所求問題的特征，適時地引用數(shù)學史中的經(jīng)典問題，通過探求、反思、拓展，揭示其演變和其中的“不變之道”，既可以讓學生體悟數(shù)學的真諦，領略數(shù)學文化的巨大魅力，又可以較為自然輕松地解決具體問題。

【案例3】“公比為2的等比數(shù)列的前n項和”的拓展運用

1.穿越數(shù)千年的經(jīng)典問題。

兩三年前，互聯(lián)網(wǎng)上曾流傳過一個有趣的滴水問題：

往一個水池中均勻滴水（每滴水質(zhì)量相同）。第1秒，1滴水;第2秒，2滴水;第3秒，4滴水;第4秒，8滴水……每一秒滴水的滴數(shù)為前一秒的2倍。問：若加滿半池需要n秒，則加滿整個水池約需要多長時間？

此題利用等比數(shù)列的求和公式不難解決：

每一秒滴水的滴數(shù)依次為1，2，22，…，2n-1，…，前n秒滴水的總滴數(shù)為1+2+22+…+2n-1=2n-1，第（n+1）秒滴水的滴數(shù)為2n?？梢?，第（n+1）秒的滴數(shù)比前n秒的總滴數(shù)還要多1。因而，第（n+1）秒滴的水足以加滿剩下的半池，還有1滴溢出。

其實，這個問題的源頭可以追溯至5000年前的古巴比倫：數(shù)學史上，等比數(shù)列或許比等差數(shù)列出現(xiàn)得更早。約在公元前3000年，古巴比倫人就已經(jīng)總結(jié)出等比數(shù)列1，2，22，…，29求和的結(jié)果：1+2+22+…+29=29+29-1。

這個等式，我們當然可用等比數(shù)列的求和公式證明。但是，古巴比倫人是否通過歸納得出，或者找到其他簡單樸素的推導方法，現(xiàn)在不得而知。我們從等式右邊出現(xiàn)兩個同樣的29猜想，可能是這樣一種推導方法：將等式轉(zhuǎn)化為等價的1+1+2+22+…+29=29+29，從而只要把第1項、第2項結(jié)合，就得到2，即得到2+2+22+…+29=29+29，繼續(xù)把第1項、第2項結(jié)合，就得到22，此時出現(xiàn)兩個22，以此類推，等式即可得證。

上述兩個例子表明，隨著項數(shù)n的增長，等比數(shù)列{2n-1}（或{2n}）的項增長極快，呈現(xiàn)所謂的“幾何級數(shù)”增長，任意前n項之和都不及隨后一項大。

2.華麗變身的高考題。

再來看2014年高考數(shù)學江蘇卷的一道題：

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn。若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am，則稱{an}是“H數(shù)列”。

（1）若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n（n∈N*），證明：{an}是“H數(shù)列”;

（2）設{an}是等差數(shù)列，其首項a1=1，公差d<0。若{an}是“H數(shù)列”，求d的值;

（3）證明：對任意等差數(shù)列{an}，總存在兩個“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立。

題中的“H數(shù)列”是怎么回事？從何而來？且看第（1）小題中的數(shù)列{an}，已知其前n項和Sn=2n（n∈N*），不難得知其各項依次為2，2，22，…，2n-1，…，即a1=2，an=2n-1（n>1），即它是第一項加了1的等比數(shù)列{2n-1}，顯然有Sn=an+1（n∈N*），故它是“H數(shù)列”?？梢?，將等比數(shù)列{2n-1}的前n項和公式右邊減去的1加到左邊的第一項上，就得到所謂的“H數(shù)列”的最簡原型。而將其性質(zhì)“前n項之和恰好等于第（n+1）項”一般化為“前n項之和恰好等于某一項”，再用“形式化”的語言表達，就得到題中給出的“H數(shù)列”的定義。

第（2）、（3）兩小題就是在這一定義的基礎上編制的。按照一般的“H數(shù)列”定義，全體自然數(shù)數(shù)列是“H數(shù)列”;將全體自然數(shù)數(shù)列去掉前面有限項，或?qū)⒁粋€“H數(shù)列”的每一項都乘以一個常數(shù)，所得仍然是“H數(shù)列”。有了這些對常見“H數(shù)列”及其基本特性的了解，再求解第（2）、（3）兩小題，雖然不至于成竹在胸，但也不至于束手無策了。

這里，結(jié)合數(shù)學史上的經(jīng)典問題和高考真題，帶領學生思考并體悟數(shù)學文化，不僅僅是將基本原理和方法拓展運用，還可以使學生認識到數(shù)學文化的實用價值特征，提高解題的遷移能力，從而在感受數(shù)學文化魅力的過程中，激發(fā)學習興趣，提升數(shù)學思維能力。

總之，在高中數(shù)學教學中，加強數(shù)學文化的體悟，引導學生了解數(shù)學歷史，感受數(shù)學之美、趣、用，可以化“冰冷的美麗”為“火熱的思考”，不僅能降低學習難度，而且能激發(fā)學習興趣。在近幾年的教學嘗試中，我們感覺到，概念的引入自然了，原理的探究順利了，問題的拓展融會貫通了，學生茫然的神情少了，微笑和點頭多了，課堂氣氛越來越熱烈了，課后討論越來越普遍了。

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