王眾 喻平

摘要：心理學(xué)研究表明，問題解決中存在元認(rèn)知因素，元認(rèn)知訓(xùn)練可以提高問題解決的能力。心理學(xué)還對元認(rèn)知的訓(xùn)練方式展開了一系列研究。將這些研究的成果應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是解題教學(xué)，可以得到的教學(xué)策略有：幫助掌握元認(rèn)知知識，引導(dǎo)使用元認(rèn)知提問單，組織開展數(shù)學(xué)寫作。

關(guān)鍵詞：元認(rèn)知問題解決自我提問數(shù)學(xué)寫作

元認(rèn)知的概念由美國心理學(xué)家Flavell提出，指個(gè)體對自己認(rèn)知系統(tǒng)的認(rèn)知和調(diào)控，它包括元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控三個(gè)要素。其中，元認(rèn)知知識是個(gè)體擁有的關(guān)于自己認(rèn)知能力、認(rèn)知策略和認(rèn)知對象的知識，元認(rèn)知體驗(yàn)是伴隨著認(rèn)知活動的認(rèn)知體驗(yàn)或情感體驗(yàn)，元認(rèn)知監(jiān)控指個(gè)體對自己認(rèn)知系統(tǒng)的協(xié)調(diào)與監(jiān)控過程。三者在問題解決的過程中，相互影響、協(xié)同作用。董奇認(rèn)為，學(xué)習(xí)能力不僅表現(xiàn)在對所學(xué)材料的感知、記憶、理解、想象和思維方面，也表現(xiàn)在對上述各方面活動的積極監(jiān)控與調(diào)節(jié)上。本文簡要介紹心理學(xué)對問題解決中元認(rèn)知的一些研究，并討論如何將這些研究的成果應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、心理學(xué)對問題解決中元認(rèn)知的一些研究

（一）問題解決中存在元認(rèn)知因素

Swanson運(yùn)用元認(rèn)知問卷量表測量學(xué)生的元認(rèn)知知識，運(yùn)用認(rèn)知能力測驗(yàn)和基本技能綜合測驗(yàn)測量學(xué)生的一般能力傾向，然后將學(xué)生按兩項(xiàng)成績的高低組合成四個(gè)組，進(jìn)行問題解決的實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，高元認(rèn)知能力組比低元認(rèn)知能力組解決問題的表現(xiàn)好。更值得注意的是，元認(rèn)知能力高而一般認(rèn)知能力低的組比元認(rèn)知能力低而一般認(rèn)知能力高的組解決問題的效果好。這個(gè)研究說明了在問題解決的過程中包含元認(rèn)知成分。

Pugalee認(rèn)為，問題解決包含問題的定向、組織、執(zhí)行、確認(rèn)等過程，而每個(gè)步驟包含不同的元認(rèn)知活動。他讓20名九年級被試書寫解數(shù)學(xué)題的思路，并試圖從這些文字信息中獲取被試解題過程中的元認(rèn)知行為。正式實(shí)驗(yàn)前的三個(gè)月，每個(gè)星期都有定期的書寫實(shí)踐，被試需要把解答不同問題的過程記錄下來，以培養(yǎng)真實(shí)、準(zhǔn)確記錄解題行為的能力。正式實(shí)驗(yàn)前的兩個(gè)星期，每天上課之前的10分鐘內(nèi)，被試需要解答一道題目，并把過程中的每個(gè)思維片段都寫下來。正式實(shí)驗(yàn)開始后，連續(xù)六天上課之前，被試都要解答題目并書寫思維片段，然后在課后10分鐘的討論會上，宣讀題目和書寫的內(nèi)容。定性分析的數(shù)據(jù)表明，被試在問題解決的過程中確有元認(rèn)知框架，且在問題的定向、組織、執(zhí)行、確認(rèn)等過程中存在不同的元認(rèn)知行為。

有研究表明，解題自我監(jiān)控能力與低難度數(shù)學(xué)問題解決的相關(guān)性較低，而與中、高難度以及開放性數(shù)學(xué)問題的解決存在顯著相關(guān)性，即解題自我監(jiān)控能力的高低會對解決較復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的效果產(chǎn)生影響。這項(xiàng)研究也證實(shí)了數(shù)學(xué)問題解決中存在元認(rèn)知的作用。

張慶林等人對應(yīng)用題表征做了元認(rèn)知分析。他們把應(yīng)用題表征策略分為復(fù)述內(nèi)容、結(jié)構(gòu)表征、尋找關(guān)鍵信息三類，并將其使用作為理解、分析應(yīng)用題階段的元認(rèn)知控制。測量時(shí)，凡是回答使用“多讀幾遍”“背誦”“默記”等方法的都?xì)w為復(fù)述內(nèi)容策略;凡是回答使用“畫線段圖”“畫圖”“在心里畫圖”等方法的都?xì)w為結(jié)構(gòu)表征策略;凡是回答使用“記住主要數(shù)據(jù)”“找關(guān)鍵詞”等方法的都?xì)w為尋找關(guān)鍵信息策略。他們還以被試對自己是否已經(jīng)完全把握應(yīng)用題條件的“主觀評定”和對應(yīng)用題條件的“客觀回憶”、解題的“正確列式”之間的差別，作為評價(jià)元認(rèn)知監(jiān)視能力高低的測量指標(biāo)。研究表明，三種策略對被試的“主觀評定”沒有顯著影響，但對“客觀回憶”和“正確列式”有影響;成績越好，元認(rèn)知監(jiān)視和元認(rèn)知控制的得分也越高。這說明，元認(rèn)知監(jiān)控是“學(xué)優(yōu)生”經(jīng)常使用的成功認(rèn)知策略，是影響應(yīng)用題解決的一個(gè)重要條件。

（二）元認(rèn)知訓(xùn)練可以提高問題解決的能力

童世斌等人對中學(xué)生進(jìn)行元認(rèn)知訓(xùn)練，并且考察他們解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題能力的變化。他們給實(shí)驗(yàn)組的每個(gè)學(xué)生發(fā)一張繪有“解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題思維方法流程圖”的“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問單”，讓原任教師專門上一次課，引導(dǎo)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)利用這份材料。結(jié)果表明，不同層次學(xué)生的思維策略訓(xùn)練效果都顯著，“中等生”“學(xué)困生”的訓(xùn)練效果尤為顯著;在思維策略訓(xùn)練的基礎(chǔ)上加入元認(rèn)知訓(xùn)練，能夠更有效地提高解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題思維策略訓(xùn)練的效果。

Mevarech對以色列的174名七年級學(xué)生做了有關(guān)數(shù)學(xué)問題解決的研究。她按合作學(xué)習(xí)模式將學(xué)生分為元認(rèn)知訓(xùn)練組、直接策略指導(dǎo)組和控制組。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對比題時(shí)，要求元認(rèn)知訓(xùn)練組的學(xué)生練習(xí)如何向其他組員描述和回答解答數(shù)學(xué)題目的元認(rèn)知問題，如對題目的理解、新舊知識聯(lián)系的建立、策略的選擇和運(yùn)用等。最后的筆試結(jié)果顯示，元認(rèn)知訓(xùn)練組的問題解決能力超過其他兩組，而直接策略指導(dǎo)組又優(yōu)于控制組。研究表明，元認(rèn)知訓(xùn)練的問訊方式能引導(dǎo)學(xué)生從全局著手，分析問題情境，發(fā)現(xiàn)原來策略的不足，找到正確的解答方法;元認(rèn)知訓(xùn)練所蘊(yùn)含的語言和非語言兩個(gè)元素對學(xué)生處理復(fù)雜情境具有促進(jìn)作用。

武錫環(huán)等人研究發(fā)現(xiàn)，元認(rèn)知對解題策略會產(chǎn)生較大的影響，元認(rèn)知的實(shí)質(zhì)在于主體對認(rèn)知活動的自我意識和自我調(diào)控。解題者在執(zhí)行解題策略時(shí)，會接受元認(rèn)知的指示和指導(dǎo)：通過元認(rèn)知體驗(yàn)，在元認(rèn)知知識的基礎(chǔ)上檢驗(yàn)、回顧解題方法，調(diào)控解題策略，最終逼近問題目標(biāo)狀態(tài)。

Smith等人就數(shù)學(xué)寫作與元認(rèn)知結(jié)合對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績的影響做了研究。他們選取86名九年級學(xué)生作為被試，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)寫作中加入元認(rèn)知問題的訓(xùn)練，明顯地提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題成績。

此外，許多研究都支持元認(rèn)知對數(shù)學(xué)解題有顯著影響，通過元認(rèn)知訓(xùn)練可以提升學(xué)生的解題水平。

（三）對元認(rèn)知訓(xùn)練方式的研究

人們了解到學(xué)習(xí)（特別是問題解決）中存在元認(rèn)知因素，而且元認(rèn)知訓(xùn)練對學(xué)習(xí)（特別是問題解決）具有較大的促進(jìn)作用，于是，對元認(rèn)知的訓(xùn)練方式展開了一系列研究。

1.自我提問。

波利亞列出了一個(gè)詳細(xì)的“解題表”，這是元認(rèn)知訓(xùn)練的一種雛形。其中的一系列自我提問事實(shí)上就是自我監(jiān)控的過程，而這些問題本身屬于元認(rèn)知知識的范疇。如果說波利亞沒有明確地提出元認(rèn)知的概念，那么，舍恩菲爾德明確地把“調(diào)節(jié)”作為解題的一個(gè)環(huán)節(jié)，就清楚地顯示了元認(rèn)知在解題中的作用。所謂“調(diào)節(jié)”，是指解題者對自身所從事的解題活動的自我意識、自我分析和自我調(diào)整。比如，舍恩菲爾德提出了一些對解題過程中的自我意識和自我評估的自我提問：我所面臨的是怎樣的問題？我所選擇的是怎樣的一條解題途徑？我為什么做出這樣的選擇？我是否真正弄清了題意？我對所面臨的困難與成功的可能性是否有清醒的認(rèn)識？我所采取的解題途徑是否足以導(dǎo)致問題的徹底解決，或者對解決問題起到很大的促進(jìn)作用？是否還有更好的解題途徑？……

童世斌等人使用“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問單”對學(xué)生進(jìn)行元認(rèn)知訓(xùn)練，收到了良好的效果。該問題單如下——（1）理解題意階段：我把握住基本的數(shù)量關(guān)系了嗎？ 我將關(guān)系句準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化成代數(shù)式了嗎？ 我將復(fù)雜的句子成功分解了嗎？ 題目中的隱含條件，我充分挖掘了嗎？（2）列方程階段：我進(jìn)行雙向推理了嗎？ 我可以利用題目中哪些等量關(guān)系列出方程呢？列出方程后，我檢驗(yàn)等式兩邊的單位是否一致、其含義是否相同了嗎？（3）解方程及檢驗(yàn)、總結(jié)階段：解方程時(shí)，我考慮有沒有簡便解法了嗎？ 解題后，我檢驗(yàn)答案了嗎？ 遇到難題時(shí)，解答后，我歸納思路了嗎？

2.外顯訓(xùn)練。

郭成提出對元認(rèn)知進(jìn)行外顯式訓(xùn)練，先用提示語訓(xùn)練學(xué)生，再逐步內(nèi)化為學(xué)生的自我意識。方式為：（1）結(jié)合例題向?qū)W生講解元認(rèn)知方面的知識;（2）以展示元認(rèn)知監(jiān)控的教學(xué)思路講解應(yīng)用題的解題策略，并告訴學(xué)生使用這種策略對于成功解決應(yīng)用題的有效性;（3）設(shè)計(jì)并使用專門的“元認(rèn)知監(jiān)控單”對學(xué)生進(jìn)行提示性訓(xùn)練;（4）要求學(xué)生運(yùn)用出聲思維（說理由）大聲地自我指導(dǎo)，監(jiān)控思維活動。

朱德全提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該通過目標(biāo)激勵(lì)與強(qiáng)化、創(chuàng)設(shè)思維場情境、加強(qiáng)知識發(fā)生過程的教學(xué)、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及對教學(xué)的及時(shí)反饋等措施，培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力。

連四清等人提出如下元認(rèn)知訓(xùn)練策略：（1）做題前用文字寫出目前要解決的問題是什么，應(yīng)該采取什么樣的策略解決問題;（2）完整地寫出解題過程;（3）做題后用文字寫出運(yùn)用該策略時(shí)要注意什么，該策略能否推廣到其他情境，還有沒有更好的策略。這種做法是把自我提示外顯化。

3.相互講解。

Mevarech在解題教學(xué)中，要求學(xué)生相互講解三個(gè)問題——（1）理解性問題：要解答的題目是什么？（2）比較性問題：該題與先前解答的題目相似還是不同？（3）策略性問題：哪些策略適合解答該題？實(shí)驗(yàn)表明，這是一種有效的元認(rèn)知訓(xùn)練方式。

4.寫解題筆記。

還可以訓(xùn)練學(xué)生在解題過程中寫下自己的分析過程，在問題解決后寫出自己的反思，包括解法的優(yōu)劣，是否可以對問題進(jìn)行變式、推廣等，從而通過數(shù)學(xué)寫作來培養(yǎng)元認(rèn)知能力。

二、對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

（一）幫助掌握元認(rèn)知知識

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)注意做好三個(gè)工作。其一，教給學(xué)生一些基本的元認(rèn)知知識，比如：元認(rèn)知的含義及成分，讓學(xué)生知道哪些因素會影響數(shù)學(xué)解題的順利進(jìn)行;使用元認(rèn)知的意義和價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)。鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中及時(shí)反思，總結(jié)分析自己的興趣愛好、學(xué)習(xí)特點(diǎn)、能力及限度等一些關(guān)于認(rèn)知個(gè)體的知識，比如：知道自己的邏輯推理能力比較強(qiáng)，但計(jì)算能力比較弱;知道自己在遇到動點(diǎn)類問題時(shí)，容易因恐懼而放棄對問題的深入分析;知道某同學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣比自己好，從而形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，找到適合自己的學(xué)習(xí)方法。其二，提高學(xué)生對認(rèn)知任務(wù)的認(rèn)識，包括認(rèn)知任務(wù)中有關(guān)信息特點(diǎn)的知識以及關(guān)于要求和目的的知識。其三，提高學(xué)生對認(rèn)知策略的認(rèn)識，包括進(jìn)行認(rèn)知活動和完成認(rèn)知任務(wù)有什么策略、針對不同的認(rèn)知任務(wù)使用何種策略更有效以及如何使用這些策略的知識。

教師可以結(jié)合具體例題進(jìn)行示范，幫助學(xué)生認(rèn)識自己的認(rèn)知特點(diǎn)，清楚自己的思維傾向，從而有針對性地練習(xí)與調(diào)控，以便在解題活動中盡力發(fā)揮優(yōu)勢、彌補(bǔ)不足，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力全面發(fā)展。

例1設(shè)x、y∈R，且x2+y2+2x<0，求證：x2+y2+6x+8>0。

解法1：由 y2≥0，得x2+2x<0，解得-21-1=0。

解法2：設(shè)集合A={（x，y）|x2+y2+2x<0}={（x，y）|（x+1）2+y2<1}，B={（x，y）|x2+y2+6x+8>0}={（x，y）|（x+3）2+y2>1}，將原題轉(zhuǎn)化為證明：在平面上以點(diǎn)（-1，0）為圓心、1為半徑的圓內(nèi)（不含邊界）各點(diǎn)，一定都在以點(diǎn)（-3，0）為圓心、1為半徑的圓外（不含邊界）。

求解例1時(shí)，使用解法1的個(gè)體偏向于分析型，相對而言，具有較好的語言邏輯思維，而視覺形象的概括能力不足，因而在解題時(shí)，傾向于運(yùn)用抽象模式進(jìn)行運(yùn)算，很少需要形象化的模型支持。使用解法2的個(gè)體偏向于幾何型，具有較好的視覺形象思維，常常能夠形象地解釋抽象的數(shù)量關(guān)系，因而在解題時(shí)，總是力求以形象表示取代邏輯分析。而綜合調(diào)和型的個(gè)體則會在兼顧兩種思維方法的同時(shí)，利用最優(yōu)化原則，選擇自認(rèn)為最優(yōu)的解法。

（二）引導(dǎo)使用元認(rèn)知提問單

使用元認(rèn)知提問單可以幫助學(xué)生規(guī)范思考過程，加強(qiáng)元認(rèn)知監(jiān)控。一開始，需要教師進(jìn)行示范，帶領(lǐng)學(xué)生一起認(rèn)識問題、選擇策略、變更策略、綜合運(yùn)用策略、評價(jià)結(jié)果、及時(shí)反思，經(jīng)歷使用提問單解題的全過程，即讓學(xué)生看到思維過程、元認(rèn)知監(jiān)控過程。當(dāng)學(xué)生能夠熟練地監(jiān)控、調(diào)節(jié)自己的認(rèn)知過程時(shí)，就會逐步將教師的外部調(diào)控行為內(nèi)化為一種自我意識和自覺行為。

根據(jù)解題過程，可以將元認(rèn)知提問單結(jié)構(gòu)劃分為解題前、解題中、解題后三個(gè)部分。解題前提問的內(nèi)容是預(yù)測性問題，比如：目前要解決的問題是什么？應(yīng)該采取什么樣的策略解決這個(gè)問題？……解題中提問的內(nèi)容是監(jiān)控性問題，比如：現(xiàn)在要求出這個(gè)結(jié)果，應(yīng)該使用哪些已知條件？需要使用什么數(shù)學(xué)方法？怎樣將該條件轉(zhuǎn)換為直接可用的條件？……解題后提問的內(nèi)容是反思性問題，比如：解題過程中用到的方法可以推廣嗎？解這道題遇到的最大困難是什么？……而提問單的具體問題可以根據(jù)具體題目來確定。

例2已知二次函數(shù)y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+（a-3）x+b2-1 的圖像都經(jīng)過x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，求a、b的值。

這是一道二次函數(shù)問題。對于此題，可以制訂如下元認(rèn)知提問單：

1.解題前：（1）這道題可能會涉及哪些知識？（2）你是否遇到過類似的問題？（3）你打算怎樣解決此問題？（4）解題過程中可能會遇到什么困難？

2.解題中：（1）實(shí)際解題時(shí)，你遇到了什么困難？（2）重新審視這個(gè)問題，你還打算怎樣解決？（3）問題的條件，你充分挖掘了沒有？還有沒有需要補(bǔ)充的？（4）你能否確定你的答案是正確的？

3.解題后：（1）你能不能換一種方法來求解？（2）這兩種方法都可以用，哪種方法更好一點(diǎn)？為什么？（3）解題過程中容易犯什么錯(cuò)誤？（4）回顧整個(gè)解題過程，你從中吸取了什么經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)？

使用上述元認(rèn)知提問單的教學(xué)片段如下：

（三）組織開展數(shù)學(xué)寫作

數(shù)學(xué)寫作以文體、功能、內(nèi)容、形式和思維水平等為標(biāo)準(zhǔn)，可分為多種不同的種類。比如，根據(jù)數(shù)學(xué)寫作的內(nèi)容，可分為寫數(shù)學(xué)日記或日志、描述問題解決的思維過程、解釋數(shù)學(xué)概念和原理等。其中，描述問題解決思維過程的數(shù)學(xué)寫作對學(xué)生元認(rèn)知的發(fā)展有直接顯著的促進(jìn)作用。

教師要循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)寫作能力?？梢赃x取教材中的探究性問題和考試中學(xué)生錯(cuò)得比較多或解法比較多的問題，引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)寫作;也可以指導(dǎo)學(xué)生寫數(shù)學(xué)周記，反思自己學(xué)習(xí)過程中遇到的體會較深的數(shù)學(xué)思想方法等。

這是2006年高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第22題。羅增儒對這道題的第（1）問用模式識別、配方法給出了11種證法，對第（2）問用模式識別、數(shù)學(xué)歸納法給出了2種證法，對第（3）問用分析、配方法給出4種證法。像這種涵蓋多種解題方法、多個(gè)知識內(nèi)容且有一定難度的題目，就很適合作為數(shù)學(xué)寫作的題目。

教師可以直接布置該題讓學(xué)生寫適當(dāng)包含自己思考過程的作文，然后在全班范圍內(nèi)交流;可以讓學(xué)生小組分工，集思廣益，共同完成一篇含有多種思維方式的文章;還可以先以習(xí)題的形式讓學(xué)生完成，再通過講解讓學(xué)生訂正，最后讓學(xué)生就問題的兩三種解法寫成小論文。

具體寫作時(shí)，教師可以要求學(xué)生按照Pugalee提出的問題解決過程的元認(rèn)知框架展開。該框架的內(nèi)容如下——（1）定向階段：閱讀（重讀）、問題表征、條件分析、問題難度評估;（2）組織階段：確立總目標(biāo)與子目標(biāo)、制訂全局計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、畫圖表及組織數(shù)據(jù);（3）執(zhí)行階段：執(zhí)行局部目標(biāo)、監(jiān)控目標(biāo)進(jìn)展、執(zhí)行計(jì)算、重定向;（4）驗(yàn)證階段：評估決策、檢查計(jì)算。久而久之，這種元認(rèn)知框架就會內(nèi)嵌到學(xué)生的思維中，形成固有的解題習(xí)慣，從而有助于數(shù)學(xué)問題的成功解決。

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