四川省攀枝花市第七高級中學校

不管是初等教育還是高等教育,不可否認課堂教學依然是教育各個階段不可或缺而且非常重要的組成部分.如果課堂教學僅僅是以考試分數(shù)為導向的,那么學生失去的不僅僅是三年的時光,可能也錯過了思維品質(zhì)發(fā)展的黃金時期.而“核心素養(yǎng)”概念的提出,讓我們不得不重新去審視現(xiàn)有的課堂模式以及學生綜合表現(xiàn)的評價方式.如果我們不想培養(yǎng)只會考試的學生,那么就必須對現(xiàn)有的課堂模式做出改變和調(diào)整,與之相對應(yīng)的學生評價方式也需要改變.要真正實現(xiàn)讓學生學會用數(shù)學的眼光看世界,用數(shù)學的思維思考世界,用數(shù)學的語言表達世界.筆者認為最關(guān)鍵的是,轉(zhuǎn)變學生的學習方式——從單一的簡單模仿被動地“接受”知識過渡到以個人或者小組為單位以問題為導向的主動“探索”知識.

知識的產(chǎn)生、發(fā)展和升華其實都孕育在“問題的解決”之中.正如四川省教科所的吳中林教研員所言——培育核心素養(yǎng),關(guān)鍵在于“注重過程,落實四基,提升四能”,(“四基”指知識、技能、思想和經(jīng)驗,“四能”指發(fā)現(xiàn)、提出問題和分析解決問題)抓住這個關(guān)鍵,就培育數(shù)學核心素養(yǎng).筆者想從教材和課本中的有限的素材出發(fā),探討如何“提問題”、如何根據(jù)問題“做示范”進而怎么讓學生增長相關(guān)的活動經(jīng)驗,進而讓整個“提出問題”、“分析問題”和“解決問題”的過程能夠源源不斷地進行輪轉(zhuǎn)下去.筆者認為,以問題為導向的驅(qū)動,是學生后繼學習和提升自身素養(yǎng)的關(guān)鍵.

1 立體幾何中“蘊含”的反問題

立體幾何與平面幾何相比較最大的差異是,識別空間中的點線面的位置關(guān)系以及利用幾何體的“三視圖”進行三維的反向構(gòu)建.這兩方面對學生的空間想象力以及空間抽象能力提出了更高的要求.如何讓“二維”過渡到“三維”更加的平穩(wěn)和自然,筆者認為積累原始素材是一方面,更重要的要幫助學生在大腦中形成從平面圖形“搭建”空間幾何體這樣的一個過程.筆者在《從三維反向構(gòu)建來初探高中學生思維的培養(yǎng)》重點探討了這一個過程.

在此過程中,筆者關(guān)注到了立體幾何中所“蘊含”的另外一個問題——“反問題”.

“三視圖”是三維的幾何體在二維的平面上形成了三個不同的投影圖.只要掌握了平行投影的規(guī)則,識別并畫出“三視圖”并不困難.但反過來,通過三視圖構(gòu)建幾何體則需要更多的方法和技巧.那么這樣反向構(gòu)建的空間幾何體是否是唯一的?!似乎我們很少做出這樣的回答.筆者在教學中發(fā)現(xiàn)了如下的案例:

例如:一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為( ).

解析:該立方體是由一個四棱錐和半個圓柱組合而成的,所以體積為故選D.

但此題的一個易錯點是由于是組合體,上方的幾何體在下方的投影容易和下方的幾何體的投影重疊造成識別上的偏差.容易將這個幾何體識別看作是由一個三棱錐和半個圓柱組合而成的.(其實如果頂部是三棱錐,那么正視圖上方的三角形應(yīng)該有虛線的.),因而錯認為體積為

反思:隨著空間直角坐標系的引入,讓原本的幾何問題趨于“代數(shù)化”.雖然極大地緩解了部分學生空間想象力不足的弊端,但也同時錯過了最重要的空間想象和空間抽象的原始素材,進而也錯過了學生最佳的想象力培養(yǎng)時期.與此同時我們教會學生從正面處理問題,同時也需要從反面去思考問題.“正難則反”不僅僅是一種解題策略,更是一種數(shù)學思想.解題過程從本質(zhì)上講,也是一個反向構(gòu)建的過程.從問題的局部出發(fā),搭建條件和結(jié)論之間的“橋梁”,從而最終還原問題本身的“面貌”.例如:交換定義域和值域的反函數(shù)與原函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,又比如在立體幾何中的“平行”和“垂直”關(guān)系,在線線(平行或垂直)關(guān)系的基礎(chǔ)上推導出線面和面面(平行或垂直)的關(guān)系,那么反向推導時,反問題就出現(xiàn)了.

“反問題”現(xiàn)象在高中數(shù)學中是普遍存在的.其核心點是“交換”條件和結(jié)論,進行反向推導.更一般的情形是,在解題的過程中,如何利用局部條件反向推導分析已知條件,本質(zhì)上也是“反問題”思考問題的一種方式.在如今耳熟能詳?shù)摹?D”打印,計算機在圖象處理中的“降噪”等一系列問題都是反問題的直接應(yīng)用.

因此在如今的高中階段我們?nèi)绾伟l(fā)現(xiàn)這樣的“反問題”,并用數(shù)學的語言準確地描述與表達是第一步.其次如何做好典型例題的引導和示范,讓學生增強用“反問題”思考問題的意識,勇于嘗試增加解決問題的經(jīng)驗.最后讓學生能夠獨立地根據(jù)現(xiàn)有的教材所提供的案例,做“反問題”思考的梳理,嘗試提出類似的問題.

2 三角恒等變換中的發(fā)散與重構(gòu)教學

三角函數(shù)的引入,讓我們對“角”的認識從內(nèi)涵和外延都上升到了新的層次.隨著正余弦和差角公式、輔助角公式以及三角形的正余弦定理的引入,讓我們可以更方便地解決平面甚至是空間中的諸多度量和角度問題.與此同時注意到三角函數(shù)的難點在于“三角恒等變換”,其是否順利將直接影響歸結(jié)為三角函數(shù)最終問題的求解.但如何能讓“紛繁復(fù)雜”的三角函數(shù)找到同一個“歸屬點”,筆者從以下的典例中得到了些許啟發(fā).

分析:本例考查三角恒等變換的知識點,關(guān)鍵是如何理解諸如:“正余弦的和差角公式”、“倍角差角公式”、“輔助角公式”等一系列公式.

解法一:sin 15°=sin(45°-30°)

cos 15°=cos(45°-30°)=

解法二:從輔助角公式入手:

解法三:從正余弦的齊次式入手,分子分可以同除以cos 15°,構(gòu)造正切,可以聯(lián)想正切的和差角公式

解法四:注意到sin 15°與cos 15°是同角的正余弦,聯(lián)想二倍角的正余弦公式,可以考慮先將原式平方

解法五:注意到分子分母是兩個數(shù)和差,容易聯(lián)想平方差公式,再利用二倍角的余弦公式

解法六:利用和差化積公式

反思:問題的切入點決定了問題的解決策略和方法的優(yōu)劣.這一點在解析幾何中,代數(shù)問題和幾何問題的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)地十分明顯.華羅庚曾提到,“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”,可見數(shù)形結(jié)合在數(shù)學中的重要性.

在平時的教學中,可以根據(jù)教材深入挖掘一些學生容易理解的典型例題,在此基礎(chǔ)上從不同的角度闡釋,利用“一題多解”開拓學生的視野,培養(yǎng)多元化的思考問題的意識.

3 直線系方程蘊含的“一般化”思想

如果說“一題多解”側(cè)重于發(fā)散思維,那么“多題一解”則檢測的是歸納總結(jié)的能力.如何能站上更高的層次“俯看”問題,是問題解決的更高境界.直線系方程中所包含的“交點系方程”和“平行系方程”是我們“俯看”相關(guān)直線問題非常好的素材,如何“挖掘”好這部分素材,是提升學生歸納總結(jié)一般問題解決策略的關(guān)鍵性環(huán)節(jié).

例如:求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.

分析:本例由于在“交點”和“平行”的理解上的不同,可以有多種不同的解法.其實“直線方程”的難點在于“直線方程的的設(shè)法”,如何選擇合適的直線方程形式,是學生初學直線方程,必須學會嘗試增加解題經(jīng)驗的不可或缺的過程.讓這樣“試錯”過程更加高效的策略是——嘗試用不同的直線方程形式成功解決“同一個問題”,比較在解題過程中的“優(yōu)劣”,為優(yōu)化解題提供必要的參考依據(jù).其實“直線系方程”的核心是如何在不直接求出“交點”坐標的前提下,可以將兩條直線的“交點信息”包含在所設(shè)直線方程之中.

方法一:由于直線l和直線3x+y-1=0平行,則直線l的斜率k=-3,根據(jù)點斜式有即所求直線方程為15x+5y+16=0.

方法二:由于直線l和直線3x+y-1=0平行,因此設(shè)直線l的方程為3x+y+d=0,又知直線l過點所以因此所求直線方程為15x+5y+16=0.

方法三:因為直線l過直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點,可設(shè)直線l的方程為:(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,即:(λ+2)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,又由于直線l和直線3x+y-1=0平行,所以解之得從而所求所求直線方程為15x+5y+16=0.

反思:(1)與l:Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+D=0(DC)

(2)經(jīng)過兩條直線:

與

交點的直線系方程:

(其中λ為參數(shù)),但要注意此方程不包括直線l2.

(3)將一類問題歸結(jié)在一起尋找“一般化”的過程,是數(shù)學從“理論”上升為“思想”必不可少的一個關(guān)鍵性環(huán)節(jié).其核心要點是,尋找和把握事物發(fā)展的本質(zhì).

下面這個例子給了筆者很大的啟發(fā):橢圓中內(nèi)接矩形面積最大值問題

分析:本例可以利用橢圓的參數(shù)方程.設(shè)橢圓上任意一點P(x,y),為內(nèi)接矩形的面積由橢圓的參數(shù)方程可知:即P(2 cosθ,sinθ)那么點P關(guān)于x軸與y軸的對稱點分別為P1(2 cosθ,-sinθ),P2(-2 cosθ,sinθ),進一步可知:

因此:Smax=4.

如果考慮線性變換,那么本例還可以得到如下的解法:

令線性變換:P(x,y)→P′(x′,y′):則即:橢圓經(jīng)過線性變換將變成一個圓,易知在單位圓中內(nèi)接矩形面積最大的情形是——圓的內(nèi)接正方形,其面積最大值為S′max=2.因此由可逆線性變換可知橢圓中的內(nèi)接矩形面積的最大值為Smax=2S′max=4.

這里可以進一步解決:橢圓中內(nèi)接多邊形面積最大值.具體的解決方法可以是利用線性變換轉(zhuǎn)化為圓的內(nèi)接正多邊形面積的最大值情況.比如:求橢圓內(nèi)接八邊形面積的最大值

4 學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的分析

4.1 核心素養(yǎng)在課堂中的落實問題

高中數(shù)學中所涵蓋的六大核心素養(yǎng),分別是數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象.首先應(yīng)該明確的是不能將這些素養(yǎng)割裂看待,在解決一個實際問題的過程中這些素養(yǎng)是蘊含其中的.既然素養(yǎng)蘊含在解決問題的過程中,理應(yīng)把素養(yǎng)的培育的著眼點和落腳點放在問題的解決中.在解決問題的過程中核心素養(yǎng)自然也提高了.

其次核心素養(yǎng)在課堂中的落實,并不是每節(jié)數(shù)學課簡單的堆砌.而應(yīng)該遵循如下的思維閉環(huán):

教師提出問題→學生(或者學生合作)獨立思考→提出解決問題的方案或策略→師生共同點評可行性→問題改善或者解決→→總結(jié)歸納在解決問題中的一般處理方法和思路,建立類似問題的方法體系→在“新”問題中,嘗試用這種思路來處理思考問題,進而獨立解決.

簡單地說,就是不斷地“提出問題——解決問題”,再“提出問題——解決問題”.

更為具體地表現(xiàn)為:課堂教學僅僅是這個思維閉環(huán)中的一個“局部”,如何讓閉環(huán)完整地并且不斷地推動下去才是素養(yǎng)落實的關(guān)鍵.筆者認為讓學生有這樣一種解決問題的“意識”,讓學生保持好奇心和想象力是素養(yǎng)培育的源泉.其實中學的教學素材不少,如何去挖掘素材所蘊含的“深刻性”,讓有限的“典例”催生出無限的解決問題的方法和策略才是我們應(yīng)該關(guān)注的重點.

4.2 個人學習層次將直接影響核心素養(yǎng)培養(yǎng)的高效性

1946年,美國學者埃德加.戴爾(Edgar Dale)提出了“學習金字塔”(Cone of Learning)的理論(如下圖),之后美國緬因州國家訓練實驗室也做了相同的實驗,并發(fā)布了“學習金字塔”報告.

報告稱:人的學習分為“被動學習”和“主動學習”兩個層次.在被動學習中,聽講、閱讀、試聽和演示,學習內(nèi)容的平均留存率為5%、10%、20%、30%.存在一個遞增的趨勢.而在主動學習中,通過討論、實踐和教授給他人,能將原來被動學習的內(nèi)容留存率,從最高的30%,提升到50%、75%和90%.從結(jié)果來看,從被動學習到主動學習的學習內(nèi)容平均留存率存在一個“倒三角形”,這個模型很好地展示了不同學習深度和層次之間的對比.

從以上的結(jié)果不僅可以看出,我們現(xiàn)行的課堂教學模式需要做出調(diào)整,課堂外學生的核心素養(yǎng)也需要及時固化下來.前面提到的“解題意識”不僅僅存在與課堂內(nèi)的教學,課堂外的主動學習(包括主動提出問題、主動討論問題的解決方案、實踐方案的可行性、有意識地推廣結(jié)果)才是真正形成核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.若這個閉環(huán)沒有“銜接”到位,課堂上教師的一切努力可能都沒有實際成效.所謂的核心素養(yǎng)落實也是不切實際的“空談”.

另外如今的時代,知識的獲取已經(jīng)不再是一個難題,但在如今知識極大豐富的背景下,知識的創(chuàng)造運用卻十分有限.在下圖的閱讀金字塔中,不難發(fā)現(xiàn),其實更多地我們在淺意識地“消費”知識,并沒有沒有深度學習運用甚至“創(chuàng)造”知識.

在如今的課堂教學中如何讓每一堂課既有“輸入”也有“輸出”,也是核心素養(yǎng)在課堂中落實的重要參考指標.讓學生將課堂中的有效知識,及時整理形成知識網(wǎng)絡(luò)和知識體系,并且通過解決問題及時“輸出”是現(xiàn)在亟待解決的核心問題.當然“輸出”的過程可以是多樣的,做規(guī)定的書面作業(yè)是最基礎(chǔ)的一環(huán),可否考慮在知識網(wǎng)絡(luò)形成的過程中增加一些“開放性”的問題,讓學生體會到“運用”知識來解決一些實際問題.也讓學生的思維從課堂逐步過渡到生活,讓學生真正體會知識是靈活的,知識的增加不僅僅是課本上的一個“點”,更是生活中問題解決的方式和手段.不斷地學習和積累讓問題的解決更加多元化,更加常態(tài)化.

4.3 問題提出和解決的方向性

我們應(yīng)該更加關(guān)注高中數(shù)學中的工具性知識板塊,這是提出問題和解決問題的出發(fā)點,也是提出問題靈感和觸發(fā)解題意識的核心關(guān)注點.

例如:向量、三角函數(shù)、不等式、復(fù)數(shù)以及導數(shù)等一系列的工具性知識板塊,讓其真正發(fā)揮作用才能從本質(zhì)上談“知識運用”.(如表1)

表1 知識與思維層次

在講解結(jié)束之后的一個章節(jié),應(yīng)該如何引導學生對章節(jié)的內(nèi)容進行有效地梳理和總結(jié),是我們?nèi)菀缀雎缘膯栴}.可以從以下幾個方面進行思考:

(1)本章節(jié)解決了一些什么問題?是在原有認知的基礎(chǔ)上,拓寬了問題的廣度和深度?還是提出了一些新的問題?

(2)解決問題的核心方法和策略是什么?有什么核心的定理或者公理?

(3)當遇到新問題時,能否有一些標志性(可以識別)的“局部”引導我們利用這部分知識進行更加深入的思考(只要能推動問題向簡化方面轉(zhuǎn)化,我們認為問題都可以認為是有進展的.)

(4)能否與其他的知識板塊建立聯(lián)系(不同知識板塊的融合和交織)

問題的解決是一個很抽象的過程,但確立一個可以嘗試的方向是問題解決的第一步.其次是相關(guān)經(jīng)驗(之前解決過類似的問題)作為輔助,最終推動問題向已知的可測(可以大致看到問題最終的方向)的方向進行轉(zhuǎn)化,逐步解決越來越可控的問題,最終有望問題得到真正解決.

4.4 關(guān)于核心素養(yǎng)的后繼思考

數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落實,并不是每節(jié)數(shù)學課簡單的堆砌,是一個以學生思維發(fā)展、素養(yǎng)培育為主線的“漫長”過程.在這個過程中不僅僅是教師在起作用,學生必須在課前和課后有意識地去消化吸收數(shù)學思想,最終以問題為導向,驅(qū)動學生利用所學勇于嘗試解決一些新的問題,并在不斷的問題解決中提升自己的素養(yǎng).

另外筆者還在積極地探索如何利用教育教學的前瞻性培養(yǎng)學生更為廣闊的視野,以及如何利用多媒體教學,計算機輔助教學進一步推動核心素養(yǎng)的落實.