廣東省廣州市番禺中學(xué)

1 數(shù)學(xué)本質(zhì)的意義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》(2017年版)提到:數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).數(shù)學(xué)本質(zhì)就是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會用數(shù)學(xué)思維思考世界,會用數(shù)學(xué)語言表達世界.為此,突出數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué),就是要求我們教師在教學(xué)過程中,讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念,把握數(shù)學(xué)思想,感悟數(shù)學(xué)特有的思維方式.

2 數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)意義

新課標在其十大基本理念中指出:“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真,努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).通過典型例子的分析和學(xué)生自主探究活動,使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程,體會蘊含在其中的思想方法,追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡,把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).”雖然這不能完全揭示數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì),但是它為我們普通高中數(shù)學(xué)教師提供了一種在平時教學(xué)實踐中抓住教學(xué)本質(zhì)的努力方向.

我們的教學(xué)不但要使學(xué)生達到知識與方法的融會貫通,而且要把數(shù)學(xué)的思想方法、本質(zhì)規(guī)律以及內(nèi)部聯(lián)系等“靈魂”性的東西揭示出來,并內(nèi)化給學(xué)生,使他們形成能力,為他們的終身發(fā)展打下基礎(chǔ).

3 數(shù)學(xué)教學(xué)注重數(shù)學(xué)本質(zhì)例談

下面通過具體例子來展示抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)進行數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性.

3.1 抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)在概率統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用

例1.從一群游戲的小孩中隨機抽出k人,一人分一個蘋果,讓他們返回繼續(xù)游戲.過了一會兒,再從中任取m人,發(fā)現(xiàn)其中有n個小孩曾分過蘋果,估計參加游戲的小孩的人數(shù)為( )

解答該題,一定要跟學(xué)生揭示此類題目的數(shù)學(xué)本質(zhì)——抽樣調(diào)查、概率統(tǒng)計,用樣本估計總體.

解答:設(shè)參加游戲的小孩有x人,則即參加游戲的小孩的人數(shù)為人.選C.

理解了數(shù)學(xué)本質(zhì),就可以舉一反三,攻克這一類題目.

變式1:池塘里有一群魚,現(xiàn)想知道池塘里魚的數(shù)量大概是多少.怎么解決?

理解數(shù)學(xué)本質(zhì),抓住數(shù)學(xué)本質(zhì),可以類比上面統(tǒng)計小孩的人數(shù)來解答本題.

解答:從池塘里撈起k條魚(抽樣調(diào)查),在這些魚身上做上一些不會被水沖掉的記號,然后把這些魚又放回池塘里(相當于均勻攪拌).過一段時間,再重新從池塘里撈起m條魚,記錄身上有做過記號的魚的數(shù)目為n條,便可由樣本估計總體.同樣,設(shè)池塘里的魚總共有x條,則即池塘里魚的數(shù)量為條.

3.2 抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)在解析幾何數(shù)形結(jié)合教學(xué)中的應(yīng)用

解析幾何的數(shù)學(xué)本質(zhì)——數(shù)形結(jié)合.教學(xué)過程中,要跟學(xué)生充分展示這一點.

例2.已知x、y使方程x2+y2-2x-4y+4=0,則的最小值是( )

分析:此類問題的本質(zhì)是直線的截距問題.(x,y)點既在直線上,也在圓上,只有當直線與圓相切時,直線截距才有最大或者最小值.

圖1

圖2

例3.若實數(shù)x,y滿足x2+y2-2x-2y+1=0,則的取值范圍為

例4.直線y=x+b與曲線有且只有一個交點,則b的取值范圍是( )

分析:解答本題,同樣,要抓住該題數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)本質(zhì).

解答:由題意可知,曲線方程表示一個在y軸右邊的單位圓的一半,則圓心坐標為(0,0),圓的半徑r=1,畫出相應(yīng)的圖形,如圖3所示:∵當直線y=x+b過(0,-1)時,把(0,-1)代入直線方程得:b=-1;當直線y=x+b過(0,1)時,把(0,1)代入直線方程得:b=1;∴當-1＜b≤1時,直線y=x+b與半圓只有一個交點.又直線y=x+b與半圓相切時,圓心到直線的距離d=r,即解得(舍去)或直線與曲線只有一個交點時,b的取值范圍為-1＜b≤1或

圖3

圖4

例5.由曲線x2+y2=2|x|+2|y|圍成的圖形的面積為( )

A.8+2πB.8+4πC.6+4πD.6+2π

分析:同樣,要抓住該題數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)本質(zhì).

解答:由題意畫出曲線對應(yīng)的圖形(如圖4所示).當x＞0,y＞0時,曲線的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.由曲線關(guān)于原點對稱可知,此曲線所圍成的圖形由一個邊長為的正方形與四個半徑為的半圓圍成.因此圍成的圖形的面積為選B.

由以上實例,我們看到,數(shù)學(xué)教學(xué)要注重數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示,這是數(shù)學(xué)教學(xué)的立足之本.我們數(shù)學(xué)教師要善于抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì),促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解,培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.只有這樣,才能引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,不斷開拓數(shù)學(xué)思維,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),讓學(xué)生真正體會學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué).