方倩 汪曉勤

【摘?要】排列組合的內容對學生的邏輯推理能力、數學抽象能力、分析問題和解決問題的能力有較高的要求。基于學生的學習情況，教師結合數學史加深學生對排列概念的理解，尋求歷史上合適的排列數公式的推導方法，進一步理解排列數公式，讓學生在課堂上經歷排列知識的演進歷程，培養(yǎng)學生的數學思維能力。

【關鍵詞】HPM;排列組合;探究之樂;方法之美;德育之效;文化之魅

【作者簡介】方倩，華東師范大學第一附屬中學教師，主要從事數學史與數學教育研究;汪曉勤（本文通訊作者），教授，博士生導師，華東師范大學教師教育學院副院長，主要從事數學史與數學教育研究。

【基金項目】上海高校“立德樹人”人文社會科學重點研究基地之數學教育教學研究基地項目“數學課程與教學中如何落實立德樹人研究”（A8）

一、引言

“排列”是滬教版高三數學第16章的內容，教科書首先用生活中具體的例子引入，利用樹狀圖計算結果，接著運用乘法原理解釋結果并推導排列數公式。對教師和學生的調查研究發(fā)現，學生學習排列組合主要存在以下問題：（1）對排列概念理解不透徹;（2）機械套用教材中的排列組合公式;（3）排列組合公式的使用和計算易出錯;（4）很多學生通過記憶解題，缺乏思考;（5）對同一問題的不同解法掌握得較差。[1]

筆者在資料搜集的過程中發(fā)現，“排列”的新課教學設計屈指可數，教師一般都按照書本內容展開教學，運用乘法原理對排列數公式作出證明。排列組合內容的學習對學生的邏輯推理能力、數學抽象能力、分析問題和解決問題的能力有較高的要求?；趯W生的學習情況，筆者運用數學史來幫助學生加深對排列概念的理解，同時尋求歷

史上合適的排列數公式的推導方法，讓學生進一步理解排列數公式，培養(yǎng)學生的數學思維能力。由此，筆者擬訂了本節(jié)課的教學目標：（1）理解排列、排列數的概念;（2）掌握排列數公式的證明方法，領會其背后的數學思想，感受數學的方法之美;（3）了解排列知識在歷史上的演進過程，培養(yǎng)動態(tài)的數學觀，感悟數學文化的多元性。

二、數學史料的運用

（一）排列公式的出現

歷史上很早就出現了排列和組合問題。公元前7世紀，中國《易經》的六十四卦圖即是陰爻“- -”和陽爻“—”的重復排列，共26種卦象[2]。公元前3世紀，古希臘哲學家克里西普認為10個公理的排列數超過1000000種;而公元前2世紀，古希臘天文學家希帕恰斯給出了錯誤的排列數101049或310925[3]。

在猶太古典文獻《創(chuàng)造之書》中，作者給出了22個希伯來字母的全排列。公元8世紀，印度一位詞典編纂者艾哈默德對阿拉伯語中的單詞進行分類，他計算了從28個阿拉伯字母中取2，3，4或5個字母組成的單詞的個數。12世紀，印度數學家婆什迦羅在其著作《莉拉沃蒂》中給出一次從n件物品中取r件的（可重復或不重復）排列數的算法。13世紀初，艾哈默德·伊本·穆恩伊姆在處理排列問題時得出這樣的結論：不管一個單詞有多長，它的字母的排列數是1×2×3×4×5等，直至該詞的字母數[4]。

公元10世紀，多諾羅在注釋《創(chuàng)造之書》時證明了n個字母的全排列數。13世紀末，阿拉伯數學家伊本·阿爾巴拿給出并證明了全排列數及排列數公式Prn。[3]81-85

（二）排列公式的證明

1熱爾松的證明

在14世紀，法國數學家本·熱爾松在其代表作《數之書》中證明了n個元素的全排列數n！，作者首先證明了以下命題。[3]210-215

命題1：如果n個不同元素的排列數為某個固定的數，那么n+1個不同元素的排列數為該數與n+1的乘積。

設n個元素為a，b，c，d，…，e，它們的排列數為t。在n個元素的每一種排列前插入第n+1個元素f，可得t個不同的排列;以f代替e，則a，b，c，d，…，f的排列數為t。在每一個排列前插入e，得到t個不同的排列。類似地，將每一個元素放在第一個位置，都得到t個不同的排列。因此，a，b，c，d，…，e，f的排列數為（n+1）t。本·熱爾松由此命題證得n個元素的全排列數。

類似地，本·熱爾松又證明了以下命題。

命題2：n個不同元素中一次取2個的排列數為n與n-1的乘積。

命題3：如果n個不同元素中一次取r（r

本·熱爾松在證明了上述3個命題之后，通過命題2和命題3推出排列數公式Pmn=（n-m+1）（n-m+2）…n。

2早期教科書中的證明方法

1881年，美國數學家溫特沃斯在其所著的《代數學基礎》中對排列數公式作了證明，所用方法與現行教科書的方法一致，即通過分步乘法計數原理進行證明[5]。1897年，英國數學家鮑爾在其著作《初等代數》中則采用了本·熱爾松的證明方法[6]。

1899年，美國數學家費歇爾等在《代數學基礎》中給出了如下證明：將從n個物體中取r個的排列數記為Prn，觀察樹狀圖，利用枚舉法可得P14=4，P24=12，P34=24，P44=24，已知P1n=n，對于n個物體，一次性選2個物體的排列數等于一次性選1個物體的排列數乘以剩下的數，即P2n=（n-1）P1n=n（n-1）;一次性選3個物體的排列數等于一次性選2個物體的排列數乘以剩下的數，即P3n=（n-2）P2n=n（n-1）（n-2）;同理，可推出Prn=n（n-1）（n-2）…（n-r+1）。[7]

三、教學設計與實施

筆者用重構式對本節(jié)課進行教學設計。首先，通過公理排列數的例子引入排列的概念（復制式），將艾哈默德對阿拉伯語中的單詞分類問題改編為簡單的字母問題（順應式），加深學生對排列概念的理解。其次，利用三種證明方法推導出排列數公式（復制式）。最后，介紹排列知識的發(fā)展過程（附加式）。

（一）課題引入

師：在數學上，我們常常會遇到不同數學定理的順序安排問題。比如，我們在初中時學過全等三角形的三個判定定理——SAS、ASA和SSS。從理論上說，我們可以先學SAS，再學ASA，最后學SSS;也可以先學SSS，再學ASA，最后學SAS，等等。那么一共有幾種這樣不同的安排方式呢？其實，古希臘人很早就遇到了類似的問題。公元前3世紀，哲學家克里西普認為，10個公理如果依次排序，就會有超過1000000種不同的排法;公元前2世紀，古希臘天文學家希帕恰斯試圖算出準確的結果，他認為，總共應該有101049種或310925種排法。請問你們覺得會有多少種呢？

（學生小聲議論。）

師：在解決這個問題之前，我們先來探究下面的問題。

（二）概念生成

師：公元8世紀，印度一位詞典編纂者艾哈默德對阿拉伯語中的單詞進行分類，他計算了從28個阿拉伯字母中取2，3，4或5個字母組成單詞的個數?，F在我們用英文字母來代替阿拉伯字母，英文字母a，b可構成多少種二元單詞？

生：2種，即ab和ba。

師（追問）：英文字母a，b，c可構成多少種二元單詞？

生：6種，ab，ac，ba，bc，ca，cb。

（有極少數學生說3種。）

師：我聽到有同學說3×2種，這是怎么算出來的呢？

生：第一個位置有3個，第二個位置有2個。

師：很好。你已經找到了比列舉法更簡便的方法，那么請大家思考，英文字母a，b，c，d可以構成多少種三元單詞？

（學生列舉了其中的某些例子。）

師：我們一起來列舉一下，首先，首字母是a，那么第二位有3種選擇b，c，d，如若第二位是b，那么第三位只能選c或d，因此有2種情形;同理，第二位是c或d，分別有2種選擇。因此，首字母為a的三元單詞共有3×2=6種。同理，首字母為b，c或d的三元單詞有6種，因此三元單詞共有4×6=24種。

（教師板書，畫出如圖1所示的樹狀圖。）

師：之前我們學習集合的時候，也會將集合的元素列舉出來，這和集合元素有什么區(qū)別呢？

生：這個有順序，集合的元素沒有順序。

師：上面組成的二元和三元單詞，在數學上我們把它叫做一個排列。排列是指從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素按照一定的次序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個的一個排列。結合上述例子，可以發(fā)現排列有什么特征？

生：元素不重復。

師：排列的特征是元素不重復且按照一定的順序排列，也就是說排列的問題與位置相關。那么如果兩個排列相同，可以得到這兩個排列有什么關系？

生：元素一樣，順序也一樣。

師：現在請同學們來說說生活中有關排列的例子有哪些呢？

生：學號、座位。

師：可見排列問題在我們生活中經常遇到，同學們剛才舉了很多種排列的例子，比如學號等。那學號總共有多少種排列的方法呢？這個排列的方法種數我們稱為排列數。排列數是指從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Pmn表示，P是排列數的符號，是排列英文單詞Permutation的首字母，n是指元素的總數，m是指取出的元素個數。

師：下面用排列數的符號表示上述問題。

生：第1題是P22。

師：元素的總數是2，取出的元素個數也是2，因此為P22。第2題呢？

生：第2題是P23，元素的總數是3，取出的元素個數是2。

師：同理，第3題就是P34，那么排列數的具體值又該如何計算呢？

生：第一個有4種，第二個有3種，第三個有2種，所以4×3×2=24種。

（三）證明方法探究

師：剛剛我們用樹狀圖將其列舉求出，但是當數值很大的時候，計算量就會很大。除此之外，我們可以從另一個角度理解第3題的三元單詞由3個元素組成，第一個位置可以從4個字母中任選1個，第二個位置可以從剩下的3個字母中任選1個，最后一個位置只能從剩下的2個字母中選擇，我們將其分成3步完成，運用乘法計數原理可得P34=4×3×2=24。

1乘法計數原理法

師：分步乘法原理是指如果完成一件事需要n個步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法。那么，請問從a1，a2，a3，…，an中取出m個的排列數是多少？

生：是Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）。

師：那你給大家解釋一下這個公式是怎么得來的。

生：總共有m個位置，先畫m個方格，第一個方格有n種選擇，第二個方格有n-1種選擇，一直到最后有n-m+1種選擇，將所有的選擇法相乘得到Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）。

師：為什么最后一個方格是n-m+1種？

生：從第一個到最后一個找規(guī)律可以得到。

師：我們用分步乘法原理計算，總共可分為m個步驟，然后將它們相乘即可。我們也可將Pmn寫成階乘的形式，即Pmn=n！（n-m）！，一個正整數的階乘是指所有小于及等于該數的正整數的積，自然數n的階乘寫作n！。規(guī)定0！=1。

（教師板書推導排列數公式。）

師：觀察排列數的公式，大家發(fā)現m與n之間有什么大小關系呢？

生：n大于m，因為我們是從n個中選出m個。

師：那可以等于嗎？

生：可以。

師：因此n大于或等于m，且為正整數。當m=n時，Pmn=Pnn，此時，n-m+1=1，則Pnn=n（n-1）×（n-2）…×3×2×1=n！，這種排列我們就稱為全排列，我們把n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列。

2熱爾松證明法

師：剛剛同學們用分步乘法計數原理的方法證明了排列數公式，這也是教科書中的證明方法。現在我們一起來看看歷史上還有哪些證明方法。早在14世紀，法國數學家本·熱爾松在其代表作《數之書》中也證明了n個元素的全排列數n！。為了證明排列數公式，他分別用了3個命題來說明。

本·熱爾松首先證明第一個命題：如果n個不同元素的排列數為某個固定的數，那么n+1個不同元素的排列數為該數與n+1的乘積。我們用現代的數學語言表述為：n個不同元素的排列數，即Pnn;n+1個不同元素的排列數，即Pn+1n+1，原命題就等價于證明Pn+1n+1=（n+1）Pnn，請同學自己動手證明一下。

生：畫n+1個小方框，第n+1個元素可以放在n+1個小方框中的任何一個當中，剩下的n個元素有Pnn種排法，所以是（n+1）Pnn。

師：這位同學求n+1個元素的全排列是分2步完成的。第一步，先將第n+1個元素在n+1個位置中挑選一個排好，第二步，剩下的n個元素全排列，運用分步乘法原理可證明上述公式。

師：數學家本·熱爾松是這么證明的。設n個元素為a，b，c，d，…，它們的排列數為t。在n個元素的每一種排列前插入第n+1個元素f，可得t種新的排列f，a，b，c，d，…;如果說最開始n個元素是f，b，c，d，…，插入第n+1個元素a，也可得n種新的排列a，f，b，c，d，…，即交換f與a的位置，同理，f可與b，c，d，…交換，因此n+1個元素的排列數為（n+1）t。即全排列的公式得以證明。顯然，同學們的證明方法比數學家本·熱爾松的證明方法更簡潔。

師：通過上述推理，是否有同學可以證明全排列公式呢？

生：用累乘法證明，Pn+1n+1=（n+1）Pnn，則Pnn=nPn-1n-1，…，P22=2P11=2×1，將所有等式兩邊的左邊相乘等于等式右邊相乘，約掉相同的項就可以得到全排列數公式。

師：很好。累乘法在這里也可以直接運用等式的迭代，Pnn=nPn-1n-1，則Pn-1n-1=（n-1）Pn-2n-2，即Pnn=n（n-1）Pn-2n-2，以此類推，若一直迭代下去，就會得到全排列數公式。

師：類似地，數學家本·熱爾松又證明了以下兩個命題：n個不同元素中一次取2個的排列數為n與n-1的乘積;如果n個不同元素中一次取r（r

師：這個公式的推導同學們可以在課后探討研究。那么根據遞推公式Pr+1n=（n-r）Prn，類似于上面我們證明全排列公式的步驟，我們運用迭代法或者累乘法可推導得出排列數的公式Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）。

3歸納法

師：國內教科書大多是運用分步乘法原理，那么在19世紀中葉到20世紀初的西方早期教科書中，主要流行3種證明方法：一是乘法計數原理法，二是熱爾松證明法，三是歸納法。

師：從n個物體中取r個的排列數我們記為Prn，已知n個元素取一個，有n種選擇，即P1n=n;對于n個物體，一次性選2個的排列數等于一次性選1個的排列數乘以剩下的數，即P2n=（n-1）P1n=n（n-1）;一次性選3個的排列數等于一次性選2個的排列數乘以剩下的數，即P3n=（n-2）P2n=n（n-1）（n-2）;同理，可推出Prn=n（n-1）（n-2）…（n-r+1），以此類推，可得到排列數公式。

生：感覺最后一種方法的證明思路和熱爾松證明法差不多。

師：是的，兩種方法都運用了迭代法（累乘法），區(qū)別在于熱爾松遞推關系的推導主要是等價轉化的思想，而早期教科書主要是歸納的思想，現行教科書是有順序地運用分步乘法進行計算。

師：學完排列數公式后，我們一起來看看公理的排列數究竟是多少種呢？

生：P1010=10×9×…3×2×1=3628800種。

（四）知識鞏固

教師在PPT中依次出示與排列相關的3道例題。

例1?計算：P410。

例2?求證：Pmn+mPm-1n=Pmn+1。

例3?全班35名同學兩兩互發(fā)一條微信，共發(fā)了多少條微信？

例1求解具體數字的排列數，強調運用分步計數原理來計算排列數的方法;例2通過證明等式成立，讓學生加強對排列數公式的運用能力;例3幫助學生深刻理解排列的概念，解決簡單的實際問題。

（五）課堂小結

教師介紹排列內容的歷史演進歷程，由學生自由發(fā)言，引導學生回顧本節(jié)課的主要內容，并做總結：（1）知識層面：理解排列的概念，掌握排列數公式的3種證明方法;（2）思想層面：感悟從特殊到一般和歸納遞推的數學思想方法;（3）情感層面：學生想出與古人類似的證明排列數的方法，且更方便快捷，激發(fā)學生學習數學的熱情。

四、學生反饋

課后，筆者對兩個班級79名學生做了問卷調查，并和部分學生進行了訪談。

（一）問卷調查結果

問卷調查結果顯示，學生對數學史融入數學教學的接受程度較高，甚至有一部分學生是非常喜歡的。為了進一步了解學生對排列知識的掌握程度，筆者在調查問卷中設計了3道填空題和1道簡答題。

1寫出從a，b，c，d，e 5個元素中任意取2個元素的所有排列為??????。

210名同學排成一排照相，總共有???種不同的排列方式。

3有5本不同的書，要分別包上包書紙，現有花色不同的包書紙6張，每張包書紙只能包一本書，共有???種不同的包法。

4請你寫出排列數的公式以及推導過程。

上述4道題的正確率分別為962，937，924和823。其中第1題有3名學生將排列寫成了組合;第2題有5名學生未能給出正確的答案，1位空白，1位寫了“不會做”，3位給出了排列數公式正確，但結果錯誤;第3題有2名學生列出了排列數的公式，但未給出計算結果，有3名學生排列數正確，但是排列數公式用錯，還有2名學生計算錯誤;第4題所有的學生都作答了此題，其中有12名學生未給出推導過程，2名學生推導過程錯誤?？梢钥闯鼋^大多數的學生掌握了排列數公式及其推導。另外，值得驚喜的是，有2名學生運用了熱爾松證明法證明。

對于問題“提及‘排列你會想到什么？”，學生主要有下列回答：（1）有關的數學史，如數學家名字等;（2）排列知識，如全排列、樹狀圖等;（3）數學方法，如枚舉法、歸納法等;（4）與其他學科領域的聯系，如生物遺傳、同分異構體等。

對于問題“這節(jié)課中你印象最深的是什么？”，學生主要有下列回答：（1）公式的推導，學生認為學習不同的推導方法，創(chuàng)新了他們的解題思路;（2）與數學史相關內容，特別是排列內容的歷史演進歷程讓學生印象深刻;（3）課堂內容，如排列數公式等;（4）其他，如教學方式、授課形式等。

（二）學生訪談結果

從學生訪談中，筆者發(fā)現與上述調查問卷的情況基本吻合，學生對數學史融入數學教學持有積極的態(tài)度。在高考的背景下，學生希望能在掌握課堂知識的情況下，了解數學史讓課堂不再枯燥，激發(fā)學習興趣。另外，學生喜歡能使數學知識變得簡單易懂的史料，如一些巧妙的解題思路與方法。

五、結語

借鑒數學史可以更深切地體驗歷史上數學家的智慧，從史料中獲得靈感，并融入教學設計中開發(fā)新的課例。從問卷調查結果來看，本節(jié)課基本完成了教學目標，大部分學生掌握了排列數公式的推導方法，對數學史融入課堂教學表示認可，對于排列數的3種證明方法表現出了強烈的興趣。排列數公式的3種證明方法：一是運用教科書中的乘法計數原理，在分步的過程中加強學生對排列有序性的理解;二是熱爾松證明法，運用遞推、等價轉化的思想先對全排列公式進行詳細的證明，再通過類比得到排列數公式;三是早期教科書中的歸納法，與熱爾松證明法思路類似，通過兩種方法的對比，引導學生正確地理解運算對象，合理地選擇運算方法，有助于培養(yǎng)學生的數學抽象與邏輯推理能力。

本節(jié)課引入運用公理排列數的例子，以及學生對改編的字母編排問題的積極討論，讓學生感受數學的探究之樂。教師對排列數公式的推導方法層層遞進式地講解，讓證明的過程更清晰，培養(yǎng)學生的數學思維能力，展現數學的方法之美，也讓學生了解到數學公式的證明在不同時期是不同的，培養(yǎng)學生勇于探索的精神，體現德育之效的價值。最后，課堂上呈現的排列概念的歷史演進過程，讓學生感受知識的源與流，看到不同時期的數學家在排列數公式上的貢獻，從而感受數學的文化之魅。

參考文獻：

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[5]WENTWORTH G A.Elements of algebra[M].Boston：Ginn & Heath，1881.

[6]BALL W W R.Elementary algebra[M].Cambridge：The University Press，1897.

[7]FISHER G E，SCHWATT I J.Elements of algebra[M].New York：Macmillan，1899.

（責任編輯：陸順演）