□ 朱挺紅 陳喜衛(wèi)

“乘、除法的意義和各部分間的關(guān)系”這一課時(shí)的教學(xué)結(jié)構(gòu)與“加、減法的意義和各部分間的關(guān)系”的教學(xué)基本相同。同時(shí)，教師在教學(xué)時(shí)還要進(jìn)一步思考：乘法的意義從哪里來(lái)？除法之于乘法的關(guān)系和減法之于加法的關(guān)系有哪些結(jié)構(gòu)上相同的地方，是否可以從上一節(jié)課所獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)行合理的遷移？在設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)，又可以從哪幾個(gè)維度進(jìn)行練習(xí)，以深化學(xué)生對(duì)于乘、除法意義的理解與關(guān)系的建立？帶著這些問(wèn)題，我們進(jìn)行了實(shí)踐。

一、乘法意義的理解

在學(xué)習(xí)乘法的初步認(rèn)識(shí)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到乘法與相同加數(shù)連加的關(guān)系，并結(jié)合具體的計(jì)算感受到乘法比多個(gè)相同加數(shù)連加更簡(jiǎn)單。因此，在概括乘法意義時(shí)，可從計(jì)算不同類(lèi)型的加法入手，讓學(xué)生在計(jì)算體驗(yàn)的過(guò)程中逐步概括出乘法的意義。

（一）在加法計(jì)算中概括乘法的意義

1.計(jì)算

教師出示題目，要求學(xué)生直接寫(xiě)出得數(shù)，完成后和同桌說(shuō)一說(shuō)思考過(guò)程。

2.分類(lèi)

請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)是怎樣快速算出得數(shù)的。當(dāng)學(xué)生說(shuō)可以把第（1）（4）（5）題轉(zhuǎn)化成乘法計(jì)算時(shí)，教師在相應(yīng)的題目下面板書(shū)乘法算式并請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)，呈現(xiàn)乘法與加法的區(qū)別（如圖1）。

圖1

3.概括

通過(guò)圖1左右兩種加法算式的比較，學(xué)生概括出了右邊這列算式可以用乘法計(jì)算的特征，并在計(jì)算過(guò)程中概括出乘法的定義。

一般地，數(shù)學(xué)概念有兩種解釋形式，一種是舉例子，一種是下定義。為了概括定義，在舉例子時(shí)，還要設(shè)法去除非本質(zhì)特征，為此需要列舉具有非本質(zhì)特征的例子進(jìn)行比較。乘法意義的概括，正是經(jīng)歷了這樣的過(guò)程。

（二）在不斷比較中理解關(guān)系式

為促使學(xué)生進(jìn)一步思考，在編制比較題時(shí)，教師特別重視凸顯本質(zhì)特征的一些細(xì)節(jié)。在概括出乘法的定義后，教師讓學(xué)生對(duì)圖1 中的第（3）題與第（4）題進(jìn)行比較，說(shuō)說(shuō)這兩題有什么相同的地方與不同的地方。根據(jù)學(xué)生的回答，概括出乘法的表達(dá)式：因數(shù)×因數(shù)=積。

在此基礎(chǔ)上，教師要求學(xué)生用線段圖分別表示“3+4=7”與“3×4=12”的含義，能夠用幾種方法就用幾種方法。學(xué)生獨(dú)立完成后交流，形成如圖2的線段圖組。

圖2

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖示進(jìn)行橫向比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)加法與乘法中都有“合并”與“比較”兩種不同的意義。在“合并”關(guān)系中，加法是“兩個(gè)加數(shù)的和”，進(jìn)一步概括出關(guān)系式：部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)。乘法的關(guān)系式則是每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。在“比較”關(guān)系中，加法的關(guān)系式是較小數(shù)+相差數(shù)=較大數(shù)。乘法的關(guān)系式則是1倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù)。

比較是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種思維方式，通過(guò)比較可以尋找到不同數(shù)學(xué)知識(shí)中的相同點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)相同數(shù)學(xué)知識(shí)中的不同處，從而更深刻地理解數(shù)學(xué)。

（三）依據(jù)關(guān)系式編制數(shù)學(xué)問(wèn)題

在依據(jù)圖2的線段圖概括出關(guān)系式后，教師又要求學(xué)生依據(jù)線段圖中的數(shù)據(jù)，提出具體的問(wèn)題，以進(jìn)一步加深對(duì)加法含義與乘法含義的理解。

這樣的比較在二年級(jí)上冊(cè)“表內(nèi)乘法”教學(xué)中已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)（如圖3）。

圖3

以此類(lèi)推，在三年級(jí)下冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)時(shí)，也可以與相差關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行比較。本節(jié)課教學(xué)中的比較與編寫(xiě)應(yīng)用問(wèn)題只是更加綜合地加以回顧。如對(duì)于“比較”關(guān)系的加法與乘法有學(xué)生編制如下問(wèn)題。

倍數(shù)關(guān)系：弟弟今年4 歲，哥哥的年齡是弟弟的3倍，哥哥今年幾歲？

相差關(guān)系：弟弟今年4 歲，哥哥的年齡比弟弟大3歲，哥哥今年幾歲？

依據(jù)以上關(guān)系編制出加法與乘法意義的應(yīng)用問(wèn)題后，教師出示如下問(wèn)題：一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)4米，寬3米，面積多少平方米？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一題也用乘法計(jì)算，得到的關(guān)系式是：長(zhǎng)×寬=長(zhǎng)方形的面積。教師提問(wèn)：“它可以歸納到哪一類(lèi)乘法中？”學(xué)生結(jié)合圖示發(fā)現(xiàn)它可以歸納到合并關(guān)系之中，但又與原來(lái)的數(shù)量關(guān)系有所區(qū)別，可以看成一種新的乘法意義下的合并關(guān)系。教師出示圖4，請(qǐng)學(xué)生觀察，這是小學(xué)階段乘法意義的結(jié)構(gòu)圖，其中左上角是它的基本意義，其余的是乘法基本意義的延伸，右下角虛線框中的內(nèi)容則是六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘法”單元中“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的關(guān)系式與圖式，后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)需要補(bǔ)充。

圖4

以上的乘法概念的理解過(guò)程，是從加法計(jì)算出發(fā)，學(xué)生在邊計(jì)算、邊觀察、邊體驗(yàn)的過(guò)程中，概括出乘法的定義，再通過(guò)畫(huà)線段圖與列關(guān)系式的方式進(jìn)一步揭示乘法意義，最后編制具體的應(yīng)用問(wèn)題，再一次認(rèn)識(shí)乘法的意義。

二、除法意義的理解

與減法的定義由來(lái)相同，除法的定義也是由乘法的定義逆推而來(lái)的。有了減法定義建構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)，教師可以放手讓學(xué)生自主探究除法意義，再組織評(píng)析總結(jié)。同時(shí)，從乘法定義推導(dǎo)得到的除法定義是抽象的、形式化的，因此，需要用各個(gè)層次的具體事例加以詮釋?zhuān)拍苷嬲w現(xiàn)除法意義的價(jià)值。

（一）自主概括除法的定義

在學(xué)生理解了乘法的意義后，教師請(qǐng)學(xué)生想一想，與乘法有聯(lián)系的還有哪一種運(yùn)算，怎樣定義除法的運(yùn)算，并依據(jù)已有乘法算式舉例說(shuō)明。

如果學(xué)生獨(dú)立探究除法的定義有困難，教師可以出示課件，讓學(xué)生回顧減法的定義（如圖5），再讓學(xué)生類(lèi)比與遷移，自主建構(gòu)乘法與除法的結(jié)構(gòu)圖示，通過(guò)展示與交流，形成圖6。

圖5

圖6

數(shù)學(xué)中知識(shí)之間可以類(lèi)比與遷移是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的體現(xiàn)。基于單元整體設(shè)計(jì)，教師要努力尋找單元內(nèi)各個(gè)課時(shí)的聯(lián)系，從知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維方式等方面尋找它們的相同點(diǎn)。

（二）自主構(gòu)建除法關(guān)系式

除法定義來(lái)源于乘法概念，同樣地，除法關(guān)系式也可以由乘法關(guān)系式推導(dǎo)而來(lái)。教師可以結(jié)合線段圖，讓學(xué)生感受到除法關(guān)系式是由乘法關(guān)系式推導(dǎo)得到的，構(gòu)建起乘法與除法關(guān)系的結(jié)構(gòu)圖，并把乘法關(guān)系式作為基本關(guān)系式。形成這樣的思維方式，就能為后續(xù)學(xué)習(xí)列方程解決問(wèn)題中尋找數(shù)量關(guān)系打好基礎(chǔ)。

教師指著圖4 的內(nèi)容，請(qǐng)學(xué)生想一想，怎樣依據(jù)乘法關(guān)系式寫(xiě)出除法關(guān)系式。學(xué)生完成后交流完善，形成如圖7所示的板書(shū)。用箭頭在乘法關(guān)系式中表示出除法關(guān)系式，以此體現(xiàn)除法是乘法的逆運(yùn)算。

圖7

（三）自主改編應(yīng)用問(wèn)題

作為理解除法意義的應(yīng)用問(wèn)題編寫(xiě)，主要是讓學(xué)生結(jié)合具體例子再一次認(rèn)識(shí)除法中“均分”的含義。因此，在學(xué)生把之前編寫(xiě)的“3×4”的應(yīng)用問(wèn)題改編成除法的應(yīng)用問(wèn)題后，教師要求學(xué)生選擇“包含除”的例子，在相同情境下編寫(xiě)用算式“12-3”或“12-4”表示的應(yīng)用問(wèn)題，從比較中發(fā)現(xiàn)“分”與“均分”的區(qū)別。

如學(xué)生根據(jù)乘法應(yīng)用問(wèn)題改編了除法應(yīng)用問(wèn)題：有12個(gè)蘋(píng)果，每3個(gè)裝一盤(pán)，可以裝這樣的幾盤(pán)？

教師要求學(xué)生同樣用“蘋(píng)果裝盤(pán)”的情境，編寫(xiě)一道用“12-3”表示的應(yīng)用問(wèn)題。學(xué)生編寫(xiě)如下：有12個(gè)蘋(píng)果，裝成兩盤(pán)，其中一盤(pán)裝3個(gè)，另外一盤(pán)裝幾個(gè)？

接著畫(huà)出相應(yīng)的線段圖，比較除法中的“每份數(shù)”與減法中的“部分?jǐn)?shù)”的區(qū)別。

顯然，除法意義的理解是基于上節(jié)課中減法意義理解的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)采用自主學(xué)習(xí)來(lái)獲得新知，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。這種學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)也可以遷移到有類(lèi)似結(jié)構(gòu)的單元整體設(shè)計(jì)之中，如多邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，可以提供結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料，把平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到后續(xù)三角形與梯形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程之中。

三、課堂練習(xí)的設(shè)計(jì)

在練習(xí)過(guò)程中有新收獲，這是檢驗(yàn)練習(xí)有效性的重要標(biāo)準(zhǔn)。利用乘法與除法兩種運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題，弄明白有余數(shù)除法與乘法的相互關(guān)系，是實(shí)現(xiàn)新收獲的切入點(diǎn)。

（一）概括有余數(shù)除法的關(guān)系式

教師出示如下算式，先請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)各個(gè)算式中括號(hào)里表示什么數(shù)，怎樣求，然后獨(dú)立計(jì)算。

（1）60×（ ）=540 540÷（ ）=90

（2）（ ）÷6=90 2+（ ）=6

（3）（ ）÷18=23……6

（4）420÷（ ）=16……4

學(xué)生完成后，教師要求學(xué)生概括第（2）（3）題中求被除數(shù)和商的關(guān)系式，概括第（3）（4）題中求被除數(shù)、除數(shù)以及商的關(guān)系式。

（二）嘗試分步算式列成綜合算式

上面的第（1）（2）題是題組，第（1）題兩個(gè)算式中均有“540”，但它們的意思不同；第（2）題第二個(gè)算式中的和，剛好是第一個(gè)算式的除數(shù)。依據(jù)這樣的關(guān)系，請(qǐng)學(xué)生分別把第（1）（2）題列成綜合算式：60×9÷6；540÷（2+4）。

把有聯(lián)系的兩道一步計(jì)算列成綜合算式，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感。這里特別要注意的是，由第（2）題組改變而來(lái)的綜合算式需要增加小括號(hào)，改變?cè)瓉?lái)的運(yùn)算順序，也為下一節(jié)課學(xué)習(xí)“中括號(hào)”做了準(zhǔn)備。

（三）利用綜合算式編題

第二層次的練習(xí)是在第一層次的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。再進(jìn)一步，教師可要求學(xué)生把第一層次的四題編成某一類(lèi)情境下的應(yīng)用問(wèn)題。由四人小組合作完成，先集體討論用什么情境來(lái)編寫(xiě)，每一個(gè)數(shù)代表哪一個(gè)信息比較合適。然后分工完成，組內(nèi)交流，最后集體反饋。

可以發(fā)現(xiàn)，以上三個(gè)層次的練習(xí)層層推進(jìn)，學(xué)生在不斷應(yīng)用新知解決問(wèn)題的過(guò)程中又有新發(fā)現(xiàn)，積累新經(jīng)驗(yàn)。

回顧本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程，并與前一節(jié)課進(jìn)行比較后，我們發(fā)現(xiàn)，有一些課的教學(xué)內(nèi)容雖然不同，但是它們之間的教學(xué)思路可以相同。這樣做，有利于學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的遷移，有利于學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識(shí)，也有利于形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。