□ 魏 瓊 湯 驥

學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要完成一系列思維活動(dòng)。有部分學(xué)生的解題思維不是建立在對(duì)題目數(shù)量關(guān)系進(jìn)行綜合分析的基礎(chǔ)上，而是孤立地以題目中的一些表面的、個(gè)別的外部因素為依據(jù)。這一現(xiàn)象在小學(xué)低段學(xué)生中尤其突出。

【事件回顧】

在一次二年級(jí)除法教學(xué)的課堂練習(xí)中，筆者出示了這樣一道題：每條船可以坐10 個(gè)人，現(xiàn)在有2條船，可以坐多少人呢？結(jié)果有9 名學(xué)生這樣解答：10÷2＝5（人）。筆者與做錯(cuò)的學(xué)生進(jìn)行了交流。兩名學(xué)生的回答很有代表性。

生1：有“每”字就可能是乘法，但口訣里沒(méi)有10×2，我們沒(méi)學(xué)過(guò)。

生2：我發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題中有“可以”兩個(gè)字就要用除法來(lái)做。

從交流中我們不難發(fā)現(xiàn)，除了受思維定式的影響外，部分學(xué)生解決應(yīng)用問(wèn)題有兩大“法寶”：（1）看關(guān)鍵字。看到“一共”就是加法，看到“還?！本褪菧p法，看到“每份”就是乘法。（2）看數(shù)的特征。比如出現(xiàn)23和4，那一定是用加減法來(lái)做的；出現(xiàn)24和4，那大致是用除法來(lái)做的。至于這道題為什么要用除法來(lái)做，量與量之間到底存在哪些關(guān)系，這些本質(zhì)的問(wèn)題并不在學(xué)生的考慮范疇內(nèi)。

【原因分析】

追根溯源，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決問(wèn)題之起初，憑借的是生活經(jīng)驗(yàn)，使得他們?cè)诮鉀Q求總數(shù)、求剩余的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)形成了“一共—加法”“還?！獪p法”的簡(jiǎn)單聯(lián)系。這些聯(lián)系在日后的練習(xí)中得到不斷的強(qiáng)化和印證，逐漸成為學(xué)生解題的“法寶”，一旦題目的表達(dá)和數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，表面的信息不能簡(jiǎn)單地加以利用，錯(cuò)誤就不可避免地發(fā)生了。正是因?yàn)閷W(xué)生具有按經(jīng)驗(yàn)解題的習(xí)慣，加上他們的思維具有具象性，所以他們不能用概括化的語(yǔ)言分析題目中的數(shù)量關(guān)系，在解決問(wèn)題時(shí)往往會(huì)受到量的變化的困擾。

另外從教材的編排來(lái)看，數(shù)與代數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題往往是結(jié)合計(jì)算教學(xué)進(jìn)行的。計(jì)算教學(xué)時(shí)一般通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入，在學(xué)生掌握計(jì)算方法以后，再進(jìn)行應(yīng)用問(wèn)題解決。這樣分散編排的模式使得解決問(wèn)題雖大量存在，但由于過(guò)分強(qiáng)調(diào)的現(xiàn)實(shí)情境，造成各類應(yīng)用問(wèn)題之間缺少一種內(nèi)在的聯(lián)系，學(xué)生難以理解和把握數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系。

【對(duì)策思考】

解決應(yīng)用問(wèn)題，其基本要素就是情境+數(shù)量關(guān)系。傳統(tǒng)的應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)往往是從大量的同類題目練習(xí)中，逐步脫去情境“外衣”，提煉出數(shù)量關(guān)系。低段學(xué)生由于缺乏一定的概括能力和理解能力，并不太容易接受。也正因?yàn)槿绱耍墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中直到第二學(xué)段才提出在具體情境中了解常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系。那么這些數(shù)量關(guān)系在教學(xué)問(wèn)題解決時(shí)就不需要了嗎？教師是否可以用一種學(xué)生能接受的方式來(lái)梳理問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系呢？

筆者認(rèn)為可以用圖形等式表示數(shù)量關(guān)系的方式來(lái)提高學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解能力。其實(shí)施步驟如下。

一、以形代數(shù)，架設(shè)具體思維到抽象思維的橋梁

用圖形表示數(shù)，可以說(shuō)是代數(shù)思維的雛形，對(duì)于以具體思維為主導(dǎo)的二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定困難。如何在低段進(jìn)行代數(shù)思想的滲透呢？教師需要尋找合適的載體和切入口進(jìn)行滲透和訓(xùn)練，化難為易，有步驟地讓學(xué)生完成由實(shí)物到圖形、由數(shù)到圖形的轉(zhuǎn)化。

事實(shí)上，仔細(xì)研讀教材就會(huì)發(fā)現(xiàn)，二年級(jí)教材提供了許多合適的載體。比如教材在線段圖形成的處理上就循序漸進(jìn)地展現(xiàn)了由實(shí)物到線段圖的轉(zhuǎn)變過(guò)程。教師在教學(xué)時(shí)可以抓住這些素材，有目標(biāo)、系統(tǒng)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，讓學(xué)生體會(huì)物與形的變化過(guò)程。

在此過(guò)程中，教師還可以借助練習(xí)進(jìn)行數(shù)到形的轉(zhuǎn)化。比如可以將這樣的練習(xí)“在（ ）里填數(shù)：6×（ ）＝42”改為“6×△＝42，想想△等于幾，這個(gè)式子可以表示什么意思”，讓學(xué)生知道圖形可以代表未知數(shù)。再如在學(xué)生對(duì)乘法有了進(jìn)一步的理解之后，教師可以設(shè)計(jì)如下練習(xí)（如圖1），讓學(xué)生想一想，如果這樣一直表示下去，能表示完嗎？如果用圖形來(lái)表示數(shù)，螃蟹的腿可以怎么來(lái)表示？

圖1

有了前面的基礎(chǔ)，學(xué)生很快就能說(shuō)出可以用4×△，4×☆等來(lái)表示螃蟹腿的條數(shù)，充分體會(huì)到用形代數(shù)的優(yōu)勢(shì)。通過(guò)引導(dǎo)還可以讓學(xué)生意識(shí)到，不管符號(hào)的形象如何改變，只要它所代表的關(guān)系結(jié)構(gòu)不變，它的本質(zhì)意義就不會(huì)改變。久而久之學(xué)生對(duì)圖形產(chǎn)生熟悉感，對(duì)由圖形表示的數(shù)感到習(xí)以為常，對(duì)圖形參與運(yùn)算逐步認(rèn)同，對(duì)式可以表示量也慢慢熟悉了。

二、圖形推算，積累“式”的感性經(jīng)驗(yàn)

從算術(shù)思維到代數(shù)思維是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一次質(zhì)的飛躍，因此在實(shí)施時(shí)會(huì)受到學(xué)生所擁有的知識(shí)背景及思維定式的影響。像在上述類似“6×△＝42”的練習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往會(huì)根據(jù)“因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)”來(lái)思考，也就是說(shuō)，雖然學(xué)生接受圖形可以表示數(shù)，但其思考過(guò)程仍然是由已知來(lái)推導(dǎo)未知，在他們的意識(shí)中，未知量是不可以參與運(yùn)算、不可以用于表達(dá)關(guān)系的。針對(duì)這一問(wèn)題，教師可以在學(xué)生對(duì)圖形參與運(yùn)算逐步認(rèn)同的基礎(chǔ)上，安排一些簡(jiǎn)單的圖形推算，讓圖形參與運(yùn)算，學(xué)生由此積累關(guān)于代數(shù)的感性知識(shí)，逐步達(dá)成對(duì)代數(shù)語(yǔ)言的初步理解和基本應(yīng)用。比如在下面的練習(xí)中（如圖2），教師可以補(bǔ)充圖形題，讓學(xué)生體會(huì)到，只要意義相同，未知量可以和已知量一樣進(jìn)行列式，含有未知量的式子可以表示一種關(guān)系、一種量。

圖2

三、轉(zhuǎn)換情境，感受數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)

在學(xué)生對(duì)圖形算式有了充分積累的基礎(chǔ)上，教師可以通過(guò)圖形等式，把最基礎(chǔ)的數(shù)量關(guān)系展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生來(lái)編應(yīng)用題。如根據(jù)21+△=40，讓學(xué)生想想這里的每一個(gè)量可能表示什么，引導(dǎo)學(xué)生為這些關(guān)系套上情境“外衣”，在大量的情境中感受數(shù)量關(guān)系，理解不管情境如何變化，其數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)都是一樣的。

在學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系有了本質(zhì)的了解后，教師可以改變同一關(guān)系的未知量，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行變化和歸類。比如上面的21+△=40，可以讓21，40 成為圖形代替的未知量，讓學(xué)生在編題組的過(guò)程中，體會(huì)這三個(gè)題可以用同一種關(guān)系進(jìn)行思考，并利用“圖形推算”體會(huì)某種數(shù)量關(guān)系是可逆可換的，逐步形成所涉及的幾類一步計(jì)算應(yīng)用問(wèn)題的模型建構(gòu)。

如果學(xué)生基礎(chǔ)較好，教師還可以進(jìn)行稍復(fù)雜的關(guān)系整理，比如結(jié)合下面例題（如圖3），引導(dǎo)學(xué)生用“△”表示還要烤的次數(shù)，表達(dá)為：36+9×△＝90，并出示對(duì)比題組，分別將36，9，90 等設(shè)置為未知量，讓學(xué)生感受到雖然未知量不同，但當(dāng)用圖形來(lái)表示它們之間的關(guān)系時(shí)，其實(shí)并沒(méi)有發(fā)生變化。通過(guò)教學(xué)，幫助學(xué)生逐步形成用圖形表示數(shù)來(lái)分析和解決問(wèn)題的意識(shí)。

圖3

四、抓住主干，建立兩步計(jì)算應(yīng)用題模型

為了讓學(xué)生更好地理解和解決問(wèn)題，教師可嘗試用圖形等式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解兩步計(jì)算應(yīng)用題的解題主干和順序。

二年級(jí)的兩步計(jì)算應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系大致可以分為兩大類：一類是按前后順序進(jìn)行的，比如說(shuō)乘車問(wèn)題，學(xué)生只要根據(jù)事情發(fā)展的前后順序進(jìn)行列式計(jì)算就可以，問(wèn)題不大；另一類是有主次之分的，如乘加、乘減等類型，由于變化相對(duì)復(fù)雜，學(xué)生在理解時(shí)就容易出現(xiàn)偏差。這類應(yīng)用題也是教師重點(diǎn)指導(dǎo)的對(duì)象。

在教學(xué)二年級(jí)乘加兩步計(jì)算應(yīng)用題時(shí)，教師可以采用以式換數(shù)、以式換形等多種形式，從題目主干出發(fā)，讓學(xué)生體會(huì)到式也是數(shù)，可以參與運(yùn)算，建立兩步計(jì)算應(yīng)用題的模型。比如將形如24+6=30的算式作為問(wèn)題主干，讓學(xué)生通過(guò)變換情境體會(huì)不同情境下相同的數(shù)量關(guān)系，將此算式變換為4×6+6=30，24+24÷4=30，讓學(xué)生將自己編寫的情境也作相應(yīng)的改變。學(xué)生體會(huì)到在這里，24和4×6其實(shí)是等價(jià)的?；A(chǔ)不錯(cuò)的學(xué)生還可以進(jìn)一步改變未知量，出現(xiàn)形如24+△=30 的問(wèn)題主干進(jìn)行變化。像這樣，不斷引導(dǎo)學(xué)生把式與數(shù)、式與量聯(lián)系起來(lái)，對(duì)于提升學(xué)生的問(wèn)題分析能力大有幫助。

我們完全相信，當(dāng)學(xué)生對(duì)用圖形等式表示數(shù)量關(guān)系能運(yùn)用自如之后，圖形等式將作為一個(gè)重要的工具，幫助學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的本質(zhì)，正確地表達(dá)數(shù)量關(guān)系，從而擁有更高層次的數(shù)學(xué)解題能力。