王天雷，譚南林，張人豐，邱炯智，Kenneth Teo Tze Kin

（1.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044；2.五邑大學(xué) 智能制造學(xué)部，廣東 江門 529020；3.沙巴大學(xué) 工程學(xué)院，沙巴 哥打基納巴盧，馬來西亞）

橋式吊車系統(tǒng)常用于各類重工業(yè)場地以及港口貨物運(yùn)輸，工作時依靠臺車懸掛的吊繩將負(fù)載牽引到指定位置.由于橋式吊車控制量維度少于其自由度，在運(yùn)行過程中需要臺車精準(zhǔn)定位以及抑制負(fù)載擺動，致使控制難度大為增加.為解決上述問題，使橋式吊車系統(tǒng)高效穩(wěn)定運(yùn)行，學(xué)者們做了大量研究[1-8].

吊車控制方式可分為開環(huán)和閉環(huán)控制，開環(huán)控制包括軌跡規(guī)劃[3]、輸入整形[4]等；閉環(huán)控制包括最優(yōu)控制[5]、模糊控制[6]及滑?？刂芠7-8]等.滑?？刂朴捎诰哂锌焖夙憫?yīng)、設(shè)計(jì)簡單、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制中[9]，但滑?？刂破鞯膮?shù)整定過程復(fù)雜，整定結(jié)果對控制效果影響較大.因此，學(xué)者們對基于參數(shù)整定的滑模控制進(jìn)行了研究[10-14].

在滑模的優(yōu)化控制方法中，陳志梅等[10]提出了基于粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）的滑?？刂品桨?，實(shí)現(xiàn)了對倒立擺狀態(tài)軌跡的跟蹤控制.Vishnu 等[11]采用改進(jìn)粒子群對Buck 電路的滑?？刂七M(jìn)行優(yōu)化，降低了Buck 電路的超調(diào)，提高了電路的魯棒性.馬群[12]通過把變論域自適應(yīng)的模糊滑?？刂婆c粒子群算法結(jié)合，提高了負(fù)載的定位速度以及降低了擺角的角度.羅俊堯等[13]采用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）對起重機(jī)的滑?？刂破鲄?shù)進(jìn)行優(yōu)化.Soufi 等[14]提出了一種基于粒子群優(yōu)化的滑?？刂撇呗裕⑵鋺?yīng)用于風(fēng)力發(fā)電并網(wǎng)系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)了最大限度利用風(fēng)能，并能同時限制電磁轉(zhuǎn)矩的變化.但GA 存在調(diào)節(jié)參數(shù)較多且設(shè)置難度較大的局限，而參數(shù)相對較少的PSO 算法則容易陷入早熟.

Yang 和Deb[15]提出的布谷鳥搜索（Cuckoo Search，CS）算法具有易實(shí)現(xiàn)、可調(diào)參數(shù)少、全局搜索能力好等特點(diǎn)，但也存在后期收斂精度不高、收斂速度緩慢等問題.為此，鄭洪清等[16]利用每次迭代的結(jié)果來動態(tài)更新移動步長的方式替換Lévy 飛行機(jī)制，避免了游走的隨機(jī)性；彭建新等[17]根據(jù)適應(yīng)度值的分配進(jìn)行步長和發(fā)現(xiàn)概率的自適應(yīng)改變，提高了收斂速度與尋優(yōu)精度.在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，Stojanovic 等[18]采用CS 算法對并聯(lián)機(jī)器人控制器的參數(shù)設(shè)置進(jìn)行優(yōu)化控制，對比粒子群與遺傳算法，CS 算法具有更好的優(yōu)化性能.朱笑花等[19]通過借鑒核糖核酸（Ribonucleic Acid，RNA）的莖環(huán)結(jié)構(gòu)對布谷鳥搜索算法進(jìn)行改進(jìn)，并用于吊車PID 控制器的參數(shù)整定優(yōu)化，提高了吊車系統(tǒng)的消擺與定位效果.

綜上，為提高算法的全局尋優(yōu)能力和后期的搜索精度，本文提出一種改進(jìn)的CS 算法，即在算法中自適應(yīng)選取染色體交差操作點(diǎn)以及選用改進(jìn)的自適應(yīng)步長函數(shù).并采用該算法設(shè)計(jì)了橋式吊車滑?？刂破鳎ㄟ^與布谷鳥滑?？刂破鳎–S Sliding Mode Controller，CS-SMC） 以及粒子群滑?？刂破鳎≒SO Sliding Mode Controller，PSO-SMC）的控制效果進(jìn)行測試比較，結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的控制器性能良好.

1 橋式吊車系統(tǒng)的物理模型

圖1 為橋式吊車系統(tǒng)的物理模型，模型中負(fù)載通過吊繩懸掛在臺車上，在力F 作用下臺車通過吊繩牽引將負(fù)載運(yùn)送到指定位置.

圖1 橋式吊車物理模型Fig.1 Physical model of bridge crane

采用拉格朗日方程對吊車進(jìn)行建模，忽略各類摩擦力、負(fù)載的空氣阻力以及繩子的彈性形變.拉格朗日方程普遍形式如下：

式中：T 為系統(tǒng)動能；P 為系統(tǒng)勢能；qi為狀態(tài)變量（x，θ）；Qi為非保守廣義力.該系統(tǒng)的動能T 表示為：

式中：m 為負(fù)載質(zhì)量；M 為臺車質(zhì)量；x 為臺車位置；l為吊繩長度；θ 為負(fù)載擺角.

式中：g 為重力加速度.聯(lián)立式（1）～式（3），可得如式（4）所示的動力學(xué)模型：

式中：F 為水平方向的控制力.

定義橋式吊車的系統(tǒng)狀態(tài)變量為XT=[x1，x2，x3，，輸入u 為u=F，輸出為Y，x1和x2分別為臺車位置和速度，x3和x4分別為負(fù)載擺角和加速度，則系統(tǒng)動力學(xué)模型的狀態(tài)方程可化為：

其中，非線性函數(shù)f1、g1、f2、g2分別定義如下：

2 橋式吊車系統(tǒng)的滑?？刂?/h2>

由式（4）可知，吊車系統(tǒng)輸入控制力F 需完成精準(zhǔn)的臺車位置控制與良好的負(fù)載擺角抑制效果，故滑模面設(shè)計(jì)如式（7）所示：

式中：xd為臺車位移的目標(biāo)值，與位置誤差權(quán)重a、角度誤差權(quán)重b 均為常數(shù).選取指數(shù)趨近律控制：

式中：ε 為切換增益，k 為指數(shù)系數(shù)，均為大于0 的常數(shù)；sign（s）是符號函數(shù).為削弱控制器抖振問題，采用sat（s）函數(shù)替換式（8）中的sign（s）函數(shù).sat（s）可定義為：

式中：λ 為常數(shù).對式（7）進(jìn)行求導(dǎo)可得：

聯(lián)立式（7）和式（10）可得：

聯(lián)立式（4）～式（11）可得系統(tǒng)控制器輸出u 為：

3 ASCP-CS 算法

Lévy 飛行機(jī)制與偏好隨機(jī)游走機(jī)制在一定程度上緩解了CS 算法搜索精度不足的缺陷，然而橋式吊車控制器較為復(fù)雜的優(yōu)化問題需要優(yōu)化算法具備更強(qiáng)的搜索能力.朱笑花和陶吉利等[19-20]的研究表明，RNA 分子的變異以及交叉操作能夠使CS 算法和遺傳算法的搜索效果更好.受其啟發(fā)，本文設(shè)計(jì)了自適應(yīng)選取交叉點(diǎn)的算子，增加交叉操作的合理性，并引入新步長的自適應(yīng)改進(jìn)策略，提出一種具有自適應(yīng)選取交叉點(diǎn)的布谷鳥搜索算法（Cuckoo Search Algorithm with Adaptively Selecting Crossover Points，ASCP-CS）.

3.1 CS 算法

CS 算法的規(guī)律可概括為：1）每個布谷鳥隨機(jī)選擇一個宿主鳥巢生蛋；2）保留適應(yīng)度較好的鳥巢進(jìn)入下一代；3）宿主發(fā)現(xiàn)寄生的鳥巢并丟棄的概率為Pa，然后選擇新的位置筑巢.其中下一代鳥巢位置更新采用Lévy 隨機(jī)游走方式，該方式具有“長期短距離游走結(jié)合偶爾的長距離跳躍”特點(diǎn)，可保證算法的全局搜索能力.鳥巢位置更新方法如式（13）所示.

式中：Γ 是標(biāo)準(zhǔn)的Gamma 函數(shù)；本文取β 為1.5.

宿主以Pa的概率丟棄部分解后，會通過偏好隨機(jī)游走的方式產(chǎn)生新的解，如式（16）所示：

3.2 自適應(yīng)步長

為增強(qiáng)CS 算法的搜索能力，前期搜索范圍較大，后期需縮小搜索范圍以獲得更高的搜索精度.針對上述問題，對算法中的步長α 進(jìn)行如下改進(jìn)：

式中：α1為初始時刻步長；b1為步長變化范圍；g1為步長變化最大時的進(jìn)化代數(shù)；g 為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù).

3.3 交叉操作算子

參考遺傳算法的基本思想，即通過交叉操作達(dá)到增加個體多樣性，本文在CS 算法的搜索過程中引入交叉操作的算子，如圖2（a）所示.由于在交叉的過程中個體發(fā)生變異的情況充滿隨機(jī)性，可能會導(dǎo)致算法的收斂速度變慢.改進(jìn)的CS 算法在交叉操作中設(shè)計(jì)一種新型自適應(yīng)選取交叉點(diǎn)的交叉操作算子，利用該算子，在搜索前期交叉操作的選取集中在序列的高位區(qū)域，增加算法的搜索空間；而搜索后期集中在序列的低位區(qū)域，能增加搜索精度.具體操作如圖2 所示.

圖2 染色體交叉互換操作示意圖Fig.2 Diagram of chromosome crossing operation

自適應(yīng)選取交叉點(diǎn)的概率公式為：

式中：b2為概率變化范圍；g 為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)；c1和g0分別為步長變化時候速率和對應(yīng)的進(jìn)化代數(shù).在選擇序列的交叉操作點(diǎn)時，隨機(jī)產(chǎn)生一個概率Pn，當(dāng)Pn＜P0時，在序列的L/2 處到L 處的高位區(qū)域選擇交叉點(diǎn)，反之則在低位區(qū)域進(jìn)行選取.

3.4 ASCP-CS 算法的步驟

ASCP-CS 算法流程如圖3 所示.1）初始化算法相關(guān)參數(shù)；2）通過式（18）的步長公式更新鳥巢位置，并計(jì)算適應(yīng)度值；3）通過貪婪算法保存適應(yīng)度值最優(yōu)的鳥巢；4）為每一個鳥巢隨機(jī)選取一個概率Pt，當(dāng)Pt＜Pa時則丟棄原來的鳥巢，并通過公式（17）的偏好隨機(jī)游走方式更新鳥巢的位置；5）通過貪婪算法保存適應(yīng)度值最優(yōu)的鳥巢；6）在較好的解中隨機(jī)選取n/2 個鳥巢進(jìn)行兩兩配對，讓每個解在交叉點(diǎn)進(jìn)行交叉操作；7）通過貪婪算法保存適應(yīng)度值最優(yōu)的鳥巢；8）判斷是否滿足算法的停止條件；9）不滿足時重新第2 個步驟；10）滿足即停止搜索，輸出最優(yōu)的鳥巢.

圖3 改進(jìn)布谷鳥搜索算法流程圖Fig.3 Improved cuckoo search algorithm flow chart

4 數(shù)值尋優(yōu)與結(jié)果

為檢驗(yàn)ASCP-CS 算法的性能，分析自適應(yīng)選取交叉點(diǎn)策略和變步長對該算法收斂速度和全局搜索能力的影響，本文選取了CS 算法、PSO 算法與ASCP-CS 算法進(jìn)行對比.4 個測試函數(shù)全局最小值均為0，用于考察收斂速度的單峰函數(shù)f1，以及考察收斂速度和全局搜索能力的多峰函數(shù)f2、f3和f4.4 個函數(shù)定義如下：

1）Sphere 函數(shù).

2）Rastrigin 函數(shù).

3）Schaffer 函數(shù).

4）Ackley 函數(shù).

初始化搜索算法的參數(shù)時，為保持條件一致，ASCP-CS 算法與CS 算法的鳥巢數(shù)目n=15，最大迭代次數(shù)gmax=200，二進(jìn)制序列長度L=log2max（|xmin|，|xmax|），步長參數(shù)a1=0.9，b1=0.7，交叉點(diǎn)的自適應(yīng)變異概率b2=1，c1=20/gmax，g0=gmax/2，被發(fā)現(xiàn)概率Pa為0.25.PSO 算法的參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模n=15，慣性權(quán)重w=0.7，學(xué)習(xí)因子c1=c2=0.7.仿真環(huán)境為Windows 10，內(nèi) 存16 GB，CPU 為Inter i7 系 列，MATLAB 2014b.各算法獨(dú)立運(yùn)行100 次，對不同函數(shù)的幾種算法計(jì)算結(jié)果如表1 所示.

表1 尋優(yōu)結(jié)果比較Tab.1 Comparison of optimization results

4.1 尋優(yōu)精度比較

分析表1 數(shù)據(jù)可知，從f1到f44 個函數(shù)的測試當(dāng)中，ASCP-CS 算法的尋優(yōu)精度、接近程度以及穩(wěn)定性明顯更高更好.

4.2 搜索能力比較

圖4 為4 個測試函數(shù)的3 種算法各自運(yùn)行100次，并取適應(yīng)度值平均后的對數(shù)值繪制的尋優(yōu)收斂曲線.由圖4 可知，在4 個測試函數(shù)中，PSO 算法雖收斂速度快，但均容易早熟，CS 算法雖有一直下降的趨勢，但明顯比ASCP-CS 算法慢；PSO 算法的收斂速度雖快，但最終會陷入到局部解中，ASCP-CS 算法與CS 算法明顯具有很強(qiáng)的全局搜索能力.

圖4 函數(shù)f1～f4 的收斂曲線Fig.4 Converges curve of the function f1～f4

5 滑?？刂破鲄?shù)優(yōu)化及系統(tǒng)仿真分析

MATLAB/Simulink 環(huán)境下，應(yīng)用ASCP-CS 算法對滑?？刂破? 個參數(shù)（滑模面參數(shù)a、b 及趨近率函數(shù)參數(shù)ε、k）進(jìn)行離線優(yōu)化，其實(shí)施過程如圖5所示.

1）對橋式吊車控制器模型參數(shù)進(jìn)行初始化；2）利用ASCP-CS 算法優(yōu)化計(jì)算出滑?？刂破? 個參數(shù)；3）橋式吊車模型運(yùn)行結(jié)束后，利用獲得系統(tǒng)狀態(tài)量（x，θ）及控制力u 計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)J 的數(shù)值；4）ASCP-CS 對目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行評價，如果到達(dá)目標(biāo)閾值或者滿足最大迭代次數(shù)則結(jié)束算法運(yùn)行，反之返回步驟2 繼續(xù)計(jì)算.

圖5 自適應(yīng)滑模控制結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Schematic diagram of adaptive sliding mode control structure

為保證吊車系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)時振蕩較小以及系統(tǒng)響應(yīng)較快，并對控制系統(tǒng)的參數(shù)具有較好的選擇性，采用控制系統(tǒng)性能評價指標(biāo)ITAE （Integrated Time and Absolute Error）定義式（23）所示的目標(biāo)函數(shù)J：

為更加充分說明該智能優(yōu)化算法在橋式吊車滑?？刂破鞯膮?shù)整定方面的效果，將ASCP-CS 算法、CS 算法與PSO 算法優(yōu)化的滑?？刂破鬟M(jìn)行控制效果的仿真對比實(shí)驗(yàn).采用文獻(xiàn)[15]提供的橋式吊車參數(shù)：臺車質(zhì)量M=5 kg，負(fù)載質(zhì)量m=1 kg，繩長l=1 m，搜索空間分別為：a、ε、k∈[0，100]，b∈[-100，100]，目標(biāo)函數(shù)J 的參數(shù)c=1 000；3 種算法的迭代次數(shù)均設(shè)置為G=50，目標(biāo)函數(shù)的閾值設(shè)為σ=100，3 種優(yōu)化算法在同時達(dá)到最大迭代次數(shù)或者超過該閾值即可認(rèn)為結(jié)束本輪優(yōu)化.3 種算法的目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6 所示.

圖6 3 種算法的目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)過程Fig.6 Objective function optimization process of three algorithms

對比圖6 的尋優(yōu)情況，可知ASCP-CS 算法在第16 代時目標(biāo)函數(shù)值已經(jīng)達(dá)到所設(shè)置的目標(biāo)函數(shù)閾值σ，即已經(jīng)收斂，而CS 算法以及PSO 算法依然在逐步收斂中.ASCP-CS 算法的收斂速度明顯得到提高.

通過3 種優(yōu)化算法得到的滑?？刂破鞯膮?shù)（切換增益e，指數(shù)系數(shù)k，位移權(quán)重a，角度權(quán)重b）見表2.

表2 滑?？刂破鲄?shù)Tab.2 Sliding mode controller parameters

5.1 控制器消擺和定位性能

圖7 為基于3 種算法的滑?？刂破鞯奈恢门c擺角曲線.由表2 中適應(yīng)度值數(shù)據(jù)表明，ASCP-CS 算法與CS 算法相比，在精度上有明顯的提高.由表3、表4 和圖8 可知，在ASCP-CS 滑?？刂破髯饔孟?，負(fù)載最大擺角在0.11 rad 以內(nèi)，在3.9 s 左右收斂到零.同時與CS 算法和PSO 算法優(yōu)化的滑?？刂破飨啾龋珹SCP-CS 滑?？刂破黜憫?yīng)更迅速，震蕩更小，控制效果更好.

圖7 位置與擺角的曲線Fig.7 Curves of position and swing angle

表3 吊車位置性能Tab.3 Trolley position performance

表4 吊車擺角性能Tab.4 Trolley swing angle performance

5.2 控制器魯棒性實(shí)驗(yàn)

5.2.1 實(shí)驗(yàn)安排

為驗(yàn)證ASCP-CS 算法優(yōu)化的橋式吊車滑模控制器的魯棒性，本文分2 種情況進(jìn)行仿真測試.

仿真情況1：施加外力的方式.在運(yùn)行5 s 時，施加一個幅值為10 N 的干擾外力，以測試系統(tǒng)魯棒性.仿真結(jié)果如圖8 所示.

圖8 外加干擾的曲線Fig.8 Curves with external interference

仿真情況2：改變吊車系統(tǒng)的負(fù)載質(zhì)量m 與繩長l 兩個參數(shù).第1 組參數(shù)：m=1 kg，l=1 m；第2 組參數(shù)：m=1 kg，l=0.75 m；第3 組參數(shù)：m=0.5 kg，l=0.75 m；第4 組參數(shù)：m=0.5 kg，l=1 m.仿真結(jié)果如圖9 所示.

5.2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

1）抗干擾性分析.由圖8 可知，系統(tǒng)受到干擾后，負(fù)載位置受影響較小，負(fù)載擺角在干擾瞬間會產(chǎn)生一定擺動，經(jīng)過約2 s 再次穩(wěn)定，恢復(fù)到零擺角，表明ASCP-CS 的滑?？刂破骶哂休^好的抗干擾能力.

2）變載荷穩(wěn)定性分析.由圖9 可得：①改變系統(tǒng)質(zhì)量及繩長，對ASCP-CS 滑?？刂破鞯奈恢糜绊戄^?。虎诶K長不變，僅改變負(fù)載質(zhì)量，負(fù)載的擺角無明顯變化；③負(fù)載質(zhì)量不變，僅改變繩長，負(fù)載擺角受到一定影響，隨著繩長變短，擺角幅值變小.

圖9 變參數(shù)控制曲線Fig.9 Control curves with variable parameters

綜上可得，通過外加干擾以及改變系統(tǒng)參數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于ASCP-CS 算法的滑?？刂破骶哂休^強(qiáng)的抗干擾能力和魯棒性，可適應(yīng)吊車系統(tǒng)在不同的工作狀態(tài)下穩(wěn)定地運(yùn)行.

6 結(jié)束語

本文提出一種能夠自適應(yīng)選取染色體交叉操作點(diǎn)的ASCP-CS 算法，該算法能獲得較好的全局搜索能力和后期搜索精度，而利用該算法優(yōu)化的橋吊滑?？刂破骶哂休^好的消擺和定位性能，以及良好的魯棒性.

1）為增強(qiáng)CS 算法的搜索速度和精度，設(shè)定自適應(yīng)搜索步長；同時在搜索過程中交叉操作算子環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)一種新型自適應(yīng)選取交叉點(diǎn)的交叉操作算子，利用該算子能進(jìn)一步提升搜索性能.

2）通過4 個測試函數(shù)與CS、PSO 算法進(jìn)行尋優(yōu)測試對比，ASCP-CS 算法全局搜索能力更強(qiáng)，更不容易早熟，同時兼顧較高的搜索精度和較快的收斂速度.

3）將ASCP-CS 算法用于設(shè)計(jì)橋式吊車滑模控制器，相比于其他兩種控制器，該控制器在3.9 s 左右擺角收斂到零且負(fù)載最大擺角在0.11 rad 以內(nèi)，穩(wěn)態(tài)誤差較低.而且ASCP-CS 在魯棒性的仿真測試中具備較高的魯棒性.