張家旭，施正堂，趙健

（1.吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國家重點實驗室，吉林 長春 130022；2.中國第一汽車集團有限公司智能網(wǎng)聯(lián)研發(fā)院，吉林長春 130011；3.浙江亞太機電股份有限公司智能汽車控制系統(tǒng)研究院，浙江杭州 311200）

連續(xù)、快速的車輪滑移率跟蹤控制是電動汽車實現(xiàn)自動駕駛控制技術(shù)的基礎(chǔ)，現(xiàn)已得到眾多學(xué)者和汽車廠商的廣泛關(guān)注.由于汽車在制動過程中呈現(xiàn)出動態(tài)非線性、參數(shù)不確定性等特點，給連續(xù)、快速的車輪滑移率跟蹤控制器的設(shè)計帶來了很大的挑戰(zhàn).針對這一挑戰(zhàn)，眾多學(xué)者采用魯棒控制方法設(shè)計車輪滑移率跟蹤控制器.

文獻[1]將車速信息作為調(diào)度參數(shù)，采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和頻域分析法設(shè)計了增益調(diào)度的車輪滑移率跟蹤控制器.文獻[2]將1/4 汽車動力學(xué)模型作為控制模型，采用非線性魯棒控制方法設(shè)計了對參數(shù)不確定性和外界干擾具有強魯棒性的車輪滑移率跟蹤控制器.文獻[3]利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)復(fù)合干擾的無限逼近能力，設(shè)計了車輪滑移率跟蹤前饋控制律，并采用魯棒預(yù)測控制方法設(shè)計了車輪滑移率跟蹤反饋控制律，車輪滑移率跟蹤前饋和反饋控制律的有機結(jié)合，可以有效抑制系統(tǒng)復(fù)合干擾對系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制性能的影響.文獻[4]采用最優(yōu)預(yù)測控制方法設(shè)計了車輪滑移率跟蹤控制器，并采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了所設(shè)計的車輪滑移率跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)對模型不確定性具有強魯棒性.文獻[5]充分考慮電動汽車制動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性和機械約束，采用模型預(yù)測控制方法設(shè)計了車輪滑移跟蹤控制器.文獻[6]針對裝配傳統(tǒng)液壓制動系統(tǒng)的汽車，分別建立增壓、保壓和減壓控制模型，并采用Filippov 意義下的李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計了切換控制規(guī)則，實現(xiàn)了目標(biāo)車輪滑移率的穩(wěn)定跟蹤控制.文獻[7]設(shè)計了液壓制動系統(tǒng)的增壓、保壓和減壓的模糊邏輯控制規(guī)則，實現(xiàn)了目標(biāo)車輪滑移率的穩(wěn)定跟蹤控制.

除了上述魯棒控制方法，滑模控制方法因具有較強的魯棒性、較高的計算效率等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于車輪滑移率跟蹤控制器的設(shè)計.文獻[8-9]采用車輪滑移率跟蹤偏差作為滑模面，設(shè)計了車輪滑移率跟蹤滑?？刂破?由于文獻[8-9]在車輪滑移率跟蹤滑模控制器中引入符號函數(shù)項來抑制系統(tǒng)復(fù)合干擾對系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制性能的影響，導(dǎo)致滑模面上的系統(tǒng)軌跡存在“抖振”現(xiàn)象.為了抑制文獻[8-9]提出的車輪滑移率跟蹤滑模控制器存在的“抖振”現(xiàn)象，文獻[10-11]將車輪滑移率跟蹤偏差與其積分的和作為滑模面，設(shè)計了車輪滑移率跟蹤積分滑模控制器.文獻[12]基于自適應(yīng)反饋遞歸滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了車輪滑移率跟蹤控制律，并采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)干擾觀測器在線估計和補償系統(tǒng)的復(fù)合干擾，從而有效避免了滑模控制方法產(chǎn)生的“抖振”現(xiàn)象.文獻[13]采用二階滑模控制方法設(shè)計了無“抖振”現(xiàn)象的車輪滑移率跟蹤控制律，但是二階滑?？刂品椒ㄐ枰Ｃ娴膶?dǎo)數(shù)作為反饋量.文獻[14]基于自適應(yīng)滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了車輪滑移率跟蹤指數(shù)趨近控制器，并且采用函數(shù)型連接小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)干擾觀測器估計和補償系統(tǒng)復(fù)合干擾，從而有效地避免了自適應(yīng)滑模控制方法產(chǎn)生的“抖振”現(xiàn)象.文獻[15]充分考慮了制動系統(tǒng)的時延特性，結(jié)合反饋線性化方法和自適應(yīng)滑模控制方法設(shè)計了抗時延的車輪滑移率跟蹤控制器.文獻[16]采用自適應(yīng)積分滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了對擾動具有強魯棒性的車輪滑移率跟蹤控制器，并通過參數(shù)自適應(yīng)律來提高系統(tǒng)對路面附著條件的適應(yīng)能力.上述基于滑?？刂品椒ǖ能囕喕坡矢櫩刂破餍枰到y(tǒng)的全部狀態(tài)信息作為反饋量.因此，對于難以采用傳感器直接測量的狀態(tài)信息，需要設(shè)計狀態(tài)觀測器對其進行實時觀測.

滑模狀態(tài)觀測器因?qū)?shù)不確定性具有不敏感性，廣泛應(yīng)用于狀態(tài)信息的實時估計.文獻[17]采用滑模狀態(tài)觀測器實時觀測永磁同步電機的轉(zhuǎn)速信息，并以此為基礎(chǔ)實現(xiàn)了永磁同步電機的無傳感器矢量控制.文獻[18]采用滑模觀測器實時觀測船用永磁推進電機的位置信息，并通過李雅普諾夫穩(wěn)定理論給出了滑模觀測器參數(shù)的選擇依據(jù).文獻[19]采用滑模觀測器實時觀測航天器的角速度信息，并以此為基礎(chǔ)實現(xiàn)了航天器姿態(tài)容錯控制.上述滑模觀測器的誤差均是漸近收斂到零或一致最終有界的，難于實現(xiàn)滑模觀測器與控制器的模塊化設(shè)計.

鑒于此，本文基于有限時間穩(wěn)定和快速終端滑?？刂评碚撛O(shè)計具有有限時間收斂特性的快速終端滑模狀態(tài)觀測器，該觀測器采用已知的車輪滑移率跟蹤誤差信息，實時觀測未知的車輪滑移率跟蹤誤差一階導(dǎo)數(shù)信息，為全狀態(tài)反饋車輪滑移率跟蹤控制律的設(shè)計奠定基礎(chǔ).隨后，以快速終端滑模狀態(tài)觀測器的觀測信息為基礎(chǔ)，采用模塊化思想獨立設(shè)計快速終端滑模跟蹤控制律，使車輪滑移率跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)可以快速、準(zhǔn)確地跟蹤目標(biāo)滑移率.最后，結(jié)合車輛動力學(xué)仿真軟件建立模型在環(huán)測試系統(tǒng)，仿真驗證本文提出的車輪滑移率跟蹤控制器的可行性和有效性.

1 數(shù)學(xué)模型建立

簡潔、高效的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)，假設(shè)汽車行駛路面平坦，并且忽略汽車懸架動態(tài)、輪胎滾動阻力和空氣阻力等因素，基于Burckhardt 輪胎模型建立如圖1 所示的車輪滑移率動態(tài)模型作為車輪滑移率跟蹤控制器設(shè)計的基礎(chǔ).

圖1 車輪滑移率動態(tài)模型Fig.1 Wheel slip dynamic model

如圖1 所示，基于達朗貝爾原理建立關(guān)于車輪角速度ω 和車速v 的動力學(xué)方程為[20]：

式中：J、r 和m 分別為車輪轉(zhuǎn)動慣量、車輪有效滾動半徑和1/4 整車質(zhì)量；Tb為車輪制動力矩；Fx為輪胎縱向力，可表示為

式中：Fz為車輪垂向載荷；μ（λ）為輪胎-地面附著系數(shù)，采用Burckhardt 輪胎模型可表示為

式中：?1、?2和?3為Burckhardt 輪胎模型中表征輪胎-地面附著條件的參數(shù)；λ 為車輪滑移率，在制動工況下定義為

對式（4）求二階導(dǎo)數(shù)，可得：

將式（1）的一階導(dǎo)數(shù)代入式（5），可得：

假設(shè)車輪目標(biāo)滑移率為λd，定義系統(tǒng)狀態(tài)向量和控制變量分別為則由式（6）可得車輪滑移率跟蹤控制模型為：

式中：d 為模型參數(shù)攝動、未建模動態(tài)等因素引起的系統(tǒng)復(fù)合干擾，且滿足|d|≤B1；G=r/（jv）；

2 快速終端滑模狀態(tài)觀測器設(shè)計

基于已知的車輪滑移率跟蹤誤差信息，設(shè)計快速終端滑模狀態(tài)觀測器，實時觀測未知的車輪滑移率跟蹤誤差一階導(dǎo)數(shù)信息，為后續(xù)全狀態(tài)反饋控制律設(shè)計奠定基礎(chǔ).

定理1 考慮式（7）描述的系統(tǒng)控制模型，設(shè)計如下快速終端滑模狀態(tài)觀測器，即

則系統(tǒng)狀態(tài)觀測誤差將在有限時間內(nèi)收斂到零.

證明 由式（7）描述的系統(tǒng)控制模型和式（9）描述的快速終端滑模狀態(tài)觀測器，可得系統(tǒng)狀態(tài)觀測誤差動態(tài)方程為：

針對式（12）描述的系統(tǒng)狀態(tài)觀測誤差動態(tài)方程，定義如下李雅普諾夫候選函數(shù)：

對式（13）求導(dǎo)，可得：

將不等式（10）代入式（14），可得：

由設(shè)計參數(shù)0＜α1＜1 和β1＞1 可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)x1的觀測誤差|e1|＞1 時，式（15）右端的第二項起主導(dǎo)作用，驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)x1的觀測誤差在有限時間內(nèi)收斂到|e1|=1；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)x1的觀測誤差|e1| ＜1 時，式（16）右端的第一項起主導(dǎo)作用，驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)x1的觀測誤差在有限時間內(nèi)收斂到零.同時，由比較引理可知[21]，系統(tǒng)狀態(tài)x1的觀測誤差收斂到零所需的時間滿足：

式中：V10為李雅普諾夫候選函數(shù)V1的初始值.

由等效控制原理可知，式（12）描述的系統(tǒng)狀態(tài)觀測誤差動態(tài)方程可簡化為：

針對式（17）描述的簡化系統(tǒng)狀態(tài)觀測誤差動態(tài)方程，定義李雅普諾夫候選函數(shù)為：

對式（18）求導(dǎo)，可得：

由式（17）描述的簡化系統(tǒng)狀態(tài)觀測誤差動態(tài)方程可得：

將式（20）和不等式（11）代入式（19），可得：

由設(shè)計參數(shù)0＜α2＜1 和β2＞1 可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)x2的觀測誤差|e2|＞1 時，式（21）右端的第二項起主導(dǎo)作用，驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)x2的觀測誤差在有限時間內(nèi)收斂到|e2|=1；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)x2的觀測誤差|e2|≤1 時，式（21）右端的第一項起主導(dǎo)作用，驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)x2的觀測誤差在有限時間內(nèi)收斂到零.同時，由比較引理可知[21]，系統(tǒng)狀態(tài)x2的觀測誤差收斂到零所需的時間滿足：

式中：V20為李雅普諾夫候選函數(shù)V2的初始值.

證畢

3 快速終端滑模跟蹤控制律設(shè)計

由于第2 節(jié)設(shè)計的快速終端滑模狀態(tài)觀測器可使系統(tǒng)的狀態(tài)觀測誤差在有限時間內(nèi)收斂到零，所以可以基于模塊化設(shè)計思想獨立設(shè)計系統(tǒng)狀態(tài)觀測器和控制律.基于此，式（7）描述的系統(tǒng)控制模型可以重寫為：

針對式（23）描述的系統(tǒng)控制模型，本節(jié)的目標(biāo)是設(shè)計快速終端滑模跟蹤控制律，使車輪滑移率跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)可以快速、準(zhǔn)確和穩(wěn)定地跟蹤目標(biāo)滑移率.為此，定義如下快速終端滑模面：

式中：k7＞0、k8＞0 和γ ＞1 為設(shè)計參數(shù).

若系統(tǒng)狀態(tài)軌跡位于式（24）描述的快速終端滑模面上σ=0，則有

下面設(shè)計快速終端滑模跟蹤控制律，使系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時間內(nèi)收斂到式（24）描述的快速終端滑模面上，從而使車輪滑移率跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)可以快速、準(zhǔn)確和穩(wěn)定地跟蹤目標(biāo)滑移率.

定理2 針對式（23）描述的系統(tǒng)控制模型，設(shè)計如下快速終端滑模跟蹤控制律：

式中：k9＞0、k10＞0、k11＞0、0＜α3＜1 和β3＞0 為設(shè)計參數(shù).若設(shè)計參數(shù)k9滿足

則閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點是漸近穩(wěn)定的.

證明 定義李雅普諾夫候選函數(shù)為：

對式（28）求導(dǎo)，可得：

將式（23）代入式（29），可得：

將式（26）描述的快速終端滑模跟蹤控制律代入式（30），可得：

將式（27）代入式（31），可得：

由設(shè)計參數(shù)0＜α3＜1 和β3＞1 可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡滿足|σ|＞1 時，式（32）右端的第二項起主導(dǎo)作用，驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時間內(nèi)收斂到|σ|=1；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡滿足|σ|≤1 時，式（32）右端的第一項起主導(dǎo)作用，驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時間內(nèi)收斂到|σ|=0.同時，由比較引理可知[21]，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡收斂到|σ|=0 所需的時間滿足

結(jié)合式（24）描述的快速終端滑模面上σ=0 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡性質(zhì)可知，閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點是漸近穩(wěn)定的.

證畢

4 仿真分析

本節(jié)基于車輛動力學(xué)仿真軟件CarSim 建立車輪滑移率跟蹤控制器的模型在環(huán)測試系統(tǒng)，并通過干瀝青路面下的階躍遞增信號仿真工況、冰雪路面下的斜坡信號仿真工況和干瀝青路面下的雙移線避障仿真工況驗證本文提出的車輪滑移率跟蹤控制器的可行性和有效性.在干瀝青路面下的階躍遞增信號仿真工況和冰雪路面下的斜坡信號仿真工況中，以左前輪仿真結(jié)果為例，在魯棒穩(wěn)定性、控制精度、控制平順性等方面對比分析本文提出的車輪滑移率跟蹤控制器與基于傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄔO(shè)計的車輪滑移率跟蹤控制器；在干瀝青路面下的雙移線避障仿真工況中，綜合分析本文提出的車輪滑移率跟蹤控制器在汽車極限行駛狀態(tài)下對隨機目標(biāo)車輪滑移率的跟蹤能力.本文提出的車輪滑移率跟蹤控制器參數(shù)如表1 所示.

表1 車輪滑移率跟蹤控制器參數(shù)Tab.1 Parameters of wheel slip tracking controller

4.1 階躍遞增信號仿真工況

階躍遞增信號仿真工況的初始車速設(shè)置為33.34 m/s，方向盤轉(zhuǎn)角設(shè)置為零，階躍遞增信號的初始幅值、遞增量和目標(biāo)幅值分別設(shè)置為0、0.02 和0.1.仿真結(jié)果如圖2 所示.

圖2 階躍遞增信號仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of step increment signal maneuver

由圖2（a）（b）可知，本文提出的快速終端滑模狀態(tài)觀測器可以有效地平滑系統(tǒng)的狀態(tài)量x1，且可以無噪聲、準(zhǔn)確地觀測系統(tǒng)的狀態(tài)量x2，為本文提出的快速終端滑模跟蹤控制律實現(xiàn)全狀態(tài)反饋奠定基礎(chǔ).如圖2（c）～2（e）可知，傳統(tǒng)滑?？刂品椒ê捅疚奶岢龅姆椒ň梢苑€(wěn)定地跟蹤目標(biāo)車輪滑移率，并且對未建模動態(tài)和參數(shù)攝動具有強魯棒性，但是本文方法對目標(biāo)車輪滑移率的動態(tài)響應(yīng)速度更快、跟蹤精度更高.由圖2（f）（g）可知，傳統(tǒng)滑?？刂品椒ǖ能囕喼苿恿卮嬖凇岸墩瘛爆F(xiàn)象，而本文方法的車輪制動力矩更加平滑.因此，本文提出方法的輪胎-地面附著系數(shù)在目標(biāo)車輪滑移率穩(wěn)態(tài)階段的波動范圍更小，制動過程更加平順.綜上所述，相對于傳統(tǒng)滑?？刂品椒?，本文提出的方法具有更快的動態(tài)響應(yīng)速度、更高的跟蹤精度以及更好的控制平順性.

4.2 斜坡信號仿真工況

斜坡信號仿真工況的初始車速設(shè)置為33.34 m/s，方向盤轉(zhuǎn)角設(shè)置為零，6 個斜坡信號的幅值和變化速率分別設(shè)置為 [0.05，0.07]、[0.05，-0.07]、[0.08，0.12]、[0.08，-0.12]、[0.02，0.03]和[0.02，-0.03].仿真結(jié)果如圖3 所示.

圖3 斜坡信號仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of ramp signal maneuver

由圖3（a）（b）可知，本文提出的快速終端滑模狀態(tài)觀測器可以有效地平滑系統(tǒng)的狀態(tài)量x1，且可以無噪聲、準(zhǔn)確地觀測系統(tǒng)的狀態(tài)量x2，為本文提出的快速終端滑模跟蹤控制律實現(xiàn)全狀態(tài)反饋奠定基礎(chǔ).由圖3（c）～3（e）可知，傳統(tǒng)滑?？刂品椒ê捅疚奶岢龅姆椒ň梢苑€(wěn)定地跟蹤不同變化速率和幅值的目標(biāo)車輪滑移率，并且對未建模動態(tài)和參數(shù)攝動具有強魯棒性，但是本文提出的方法對目標(biāo)車輪滑移率的動態(tài)響應(yīng)速度更快、跟蹤精度更高.由圖3（f）（g）可知，傳統(tǒng)滑?？刂品椒ǖ能囕喼苿恿卦谄浞逯蹈浇嬖谳^大幅值的“抖振”現(xiàn)象，易導(dǎo)致制動執(zhí)行機構(gòu)頻繁動作，而本文提出的方法可以有效地抑制“抖振”現(xiàn)象，使得車輪制動力矩在斜坡信號仿真工況過程中均保持平滑狀態(tài).因此，本文方法的輪胎-地面附著系數(shù)的波動范圍更小，制動過程更加平順.綜上所述，相對于傳統(tǒng)滑?？刂品椒?，本文提出的方法具有更快的動態(tài)響應(yīng)速度、更高的跟蹤精度以及更好的控制平順性.

4.3 雙移線避障仿真工況

雙移線避障仿真工況的初始車速設(shè)置為22.22 m/s；汽車行駛路徑和前輪轉(zhuǎn)向角分別如圖4（a）（b）所示；車速和輪速、4 個車輪滑移率和車輪制動力矩分別如圖4（c）～4（h）所示.雙移線避障仿真工況的4 個車輪目標(biāo)滑移率具有快變化、大幅值和強隨機的特點，并且雙移線避障仿真工況使汽車呈現(xiàn)出動態(tài)非線性、參數(shù)不確定性等特點，但是本文提出的方法依然可使汽車4 個車輪滑移率快速、穩(wěn)定地跟蹤隨機目標(biāo)信號，這說明本文提出的方法對擾動具有強魯棒性.

圖4 雙移線避障仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of double lane change maneuver

5 結(jié)論

本文采用有限時間穩(wěn)定、快速終端滑?？刂评碚撛O(shè)計了具有有限時間收斂特性的快速終端滑模狀態(tài)觀測器和車輪滑移率跟蹤控制器，并通過車輛動力學(xué)仿真軟件對其可行性和有效性進行仿真驗證.結(jié)果表明：所提出的快速終端滑模狀態(tài)觀測器可以準(zhǔn)確地觀測未知的系統(tǒng)狀態(tài)信息，相較于傳統(tǒng)滑模控制方法，所提出的車輪滑移率跟蹤控制器具有更快的動態(tài)響應(yīng)速度、更高的跟蹤精度以及更好的控制平順性，滿足自動駕駛電動汽車對車輪滑移率跟蹤控制的需求.