余劍武，仝瑞慶?，羅紅，陸岳托，胡俊之

（1.湖南大學(xué)國家高效磨削工程技術(shù)研究中心，湖南長沙 410082；2.湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

目前超聲振動輔助技術(shù)在機械加工、材料成形和材料焊接領(lǐng)域得到了十分廣泛的應(yīng)用[1-2].變幅桿作為超聲振動系統(tǒng)中必不可少的一個部件，作用是將超聲波能量從源元件（換能器或另一變幅桿）高效傳輸?shù)焦ぞ哳^、耦合器、或負(fù)載元件，以達到振幅最大化[3].變幅桿與工具頭之間多采用螺栓連接，但在超聲頻振動工況下，變幅桿與工具頭之間的螺栓連接損耗[4]以及材料內(nèi)部阻尼[5]等能量損耗形式均會導(dǎo)致變幅桿產(chǎn)生明顯的溫升，嚴(yán)重影響變幅桿振動性能的穩(wěn)定性.

Rani 等[6]模擬并測量了超聲波焊接中不同阻尼材料的變幅桿的溫升，結(jié)果表明，溫升大小主要取決于變幅桿材料的阻尼.Yu 等[7]研究了超聲振動玻璃模壓中高溫環(huán)境對變幅桿振動特性的影響，發(fā)現(xiàn)高溫致使變幅桿諧振頻率降低，且諧振頻率的降低主要與變幅桿彈性模量降低和熱膨脹相關(guān).崔方方等[8]研究了超聲輔助磨削中不同材質(zhì)砂輪基體的振動功耗與振幅，發(fā)現(xiàn)連續(xù)振動狀態(tài)下砂輪基體的溫升越大，其輸出振幅就越小，且該溫升與材料阻尼高度相關(guān).

上述研究表明，變幅桿溫度升高將引起其諧振頻率降低，進而影響其輸出特性.考慮到目前工業(yè)超聲波發(fā)生器的頻率追蹤范圍有限，變幅桿諧振頻率降低過多時將造成整個超聲振動系統(tǒng)失諧[9].因此，分析變幅桿的發(fā)熱原因并減少其溫升對諧振特性的影響是超聲輔助加工和成形領(lǐng)域共同關(guān)注的問題.另一方面，課題組在前期研究中發(fā)現(xiàn)碳化鎢模具摩擦系數(shù)對微結(jié)構(gòu)光學(xué)玻璃元件模壓成形精度有較大的影響[10-11]，因此有必要進行模具拋光.考慮到碳化鎢材料的難加工性和模具結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，將采用超聲拋光方法來降低模具表面粗糙度.這對變幅桿在連續(xù)工況下的振動穩(wěn)定性提出了更高要求，其中控制變幅桿的發(fā)熱是關(guān)鍵.

本文以模具拋光用鈦合金超聲縱振變幅桿為例，對變幅桿的振動自熱現(xiàn)象進行數(shù)值模擬和實驗測定，研究其能量耗散機理和溫升特性，并分析不同螺栓材料和工具頭材料對溫升特性的影響.結(jié)合有限元分析和實驗，進一步分析變幅桿溫升對其諧振頻率和振幅的影響，從而為連續(xù)工況下變幅桿的振動穩(wěn)定性設(shè)計優(yōu)化提供參考和指導(dǎo).

1 TC4 鈦合金變幅桿設(shè)計

對于由均勻、各向同性材料所構(gòu)成的變截面桿，在發(fā)生自由振動的情況下，變幅桿的設(shè)計通常基于經(jīng)典的一維波動方程[3]：

式中：S 為變幅桿截面積；函數(shù)ξ 為質(zhì)點位移函數(shù)；k=ω/c 為圓波數(shù)，c 為縱波在變幅桿中的傳播速度.

考慮到變幅桿內(nèi)部諧振損耗機制，縱振波動方程可表示為[12]：

式中：Rm為材料內(nèi)部損耗因子；cd為考慮阻尼作用時均勻等截面細桿中的波速.cd可表示為：

式中：E 為材料彈性模量；ρ 為材料密度.由于Rm＜＜ρ，可知阻尼對波速的影響較小，在變幅桿的理論設(shè)計中可以忽略.

因此，基于半波長設(shè)計方法，可推導(dǎo)出變幅桿的長度l 與振動頻率f 及波長λ 的關(guān)系：

變幅桿結(jié)構(gòu)設(shè)計為典型的兩段式，在第1 段l1大端處連接換能器，在節(jié)點位置設(shè)置法蘭；第2 段l2為工具頭，兩段之間采用M8×1×20 的螺栓連接.變幅桿材料選擇TC4 鈦合金，中心工作頻率f 設(shè)定為35 kHz.結(jié)合TC4 鈦合金材料參數(shù)可確定l1=l2=71.28 mm.初步選定螺栓材料為45 鋼，得到變幅桿的幾何模型如圖1（a）所示.

通過有限元分析軟件對變幅桿進行模態(tài)分析，搜索35 kHz 附近的諧振頻率，得到其縱振模態(tài)如圖1（b）所示.該縱振頻率為34 976 Hz，與設(shè)定頻率35 kHz 接近.初步驗證了理論設(shè)計的準(zhǔn)確性.

圖1 變幅桿幾何模型與縱振模態(tài)Fig.1 Geometrical model and longitudinal mode of horn

2 變幅桿振動自熱分析

為分析變幅桿的振動自熱特性，對變幅桿進行熱力耦合數(shù)值模擬，并采用紅外熱成像儀對不同材料螺栓連接的變幅桿以及不同阻尼材料的工具頭進行溫升監(jiān)測.

2.1 振動自熱仿真模型

變幅桿振動自熱模擬基于結(jié)構(gòu)頻域分析與傳熱分析的耦合，考慮了材料與螺栓處的阻尼，模擬變幅桿在35 kHz 振動時的溫升與能量損耗.

在頻域分析中，需要為材料添加各向同性內(nèi)部損耗因子.Mason 等[13]測得退火TC4 鈦合金在低應(yīng)變條件下的品質(zhì)因子Qm=20 000，則各向同性內(nèi)部損耗因子取1/Qm=5×10-5.相對于鈦合金材料的自身阻尼，當(dāng)變幅桿與工具頭之間采用螺栓連接時，螺栓處阻尼水平要大得多，可等效為等效黏性阻尼[14]，其阻尼水平多處于0.01 數(shù)量級.

在法蘭處設(shè)定固定約束，變幅桿大端處承受周期位移激勵載荷.先要測量實際工作中變幅桿的激勵振幅，但在換能器與變幅桿裝配后，不方便直接測量換能器的輸出振幅，即變幅桿的激勵振幅，因此，首先使用KEYENCE LK-H020 激光位移傳感器測量小端端面的振幅為13.67 μm，通過諧響應(yīng)分析獲得變幅桿軸線振幅分布曲線，如圖2 所示.由于放大系數(shù)為3.19，因此設(shè)置變幅桿大端端面的激勵振幅為4.28 μm.

在傳熱分析模塊中，溫度升高由傳熱方程給出：

式中：k 為導(dǎo)熱系數(shù)；ρCp為體積比熱，與溫度無關(guān)，符合Dulong-Petit 定律；T 為時間段2π/ω 的平均溫度；Qh為熱源，是非彈性力在這段時間內(nèi)的內(nèi)部功，在頻域結(jié)構(gòu)分析中計算得出，并在結(jié)構(gòu)分析與傳熱分析之間傳遞.Qh可表示為[6]：

式中：η 為損耗因子；ω 為角激勵頻率；ε 和C 分別為應(yīng)變張量和彈性矩陣.

圖2 變幅桿軸線振幅分布曲線Fig.2 Axial amplitude distribution curve of horn

對于其他邊界使用對流冷卻條件：

式中：T 為溫度；h 為傳熱系數(shù)；Text為遠離邊界的外部流體的溫度.在仿真過程中，節(jié)點固定端和周圍環(huán)境保持20 ℃的恒定溫度，變幅桿在空氣中自然對流換熱，傳熱系數(shù)取h=20 W/（m2·K），外部溫度Text=20 ℃.

2.2 仿真結(jié)果分析

為深入了解變幅桿發(fā)熱的主要原因，對變幅桿溫度與總功耗密度進行分析，其中總功耗密度為單位體積內(nèi)的功率損耗.在30 min 時變幅桿軸線溫度與總功耗密度曲線見圖3，可知總功耗密度在兩個螺栓端面出現(xiàn)峰值，達到3.88×107W/m3，遠大于由變幅桿材料自身阻尼引起的最大總功耗密度，而位于變幅桿的1/4 波長附近，只有1.59×105W/m3.分析螺栓處功耗與整體功耗的比值，得到螺栓處發(fā)熱量占變幅桿發(fā)熱總量的97.7%，因而在螺栓處有最高溫度117.14 ℃.值得注意的是，變幅桿大端端面的溫升幾乎可以忽略，這對保持換能器的熱穩(wěn)定性起著良好作用.

為了分析變幅桿的溫升變化規(guī)律，分別取螺栓連接處與小端端面一點，其溫度隨時間變化規(guī)律見圖4.由圖4 可知，螺栓處溫度在開始振動時急劇上升，然后溫度升速減緩，并在20 min 左右達到平衡，螺栓處溫度穩(wěn)定在117.14 ℃，小端端面處溫度穩(wěn)定在64.91 ℃.

圖3 變幅桿軸線溫度與總功耗密度分布曲線Fig.3 Distribution curve of axial temperature and total power consumption density of horn

圖4 螺栓連接處與小端端面處的溫度變化趨勢Fig.4 Trend of temperature change at bolted joint and the end of tool head

2.3 振動溫升實驗分析

由仿真結(jié)果可知，螺栓處能量損耗為發(fā)熱首要原因.為對比分析不同螺栓材料對變幅桿發(fā)熱的影響，使用工程中常用的45 鋼螺栓以及與變幅桿相同材料的TC4 鈦合金螺栓分別連接變幅桿與工具頭，并利用FLIR SC7000 紅外熱成像儀對變幅桿溫度進行測量.測量用變幅桿成品以及測量區(qū)域如圖5（a）所示，測量區(qū)域為法蘭以下部分，獲得其溫度分布分別如圖5（b）和5（c）所示，繪制變幅桿的軸線溫度曲線見圖6.由圖5 和圖6 可知，最高溫度均分布于螺栓處，變幅桿軸線溫度變化規(guī)律與仿真相似.使用45鋼螺栓連接時，最高溫度達到了118.52 ℃；而使用TC4 鈦合金螺栓連接時，最高溫度明顯降低，只有84.85 ℃.在采用45 鋼螺栓時，45 鋼的阻尼較TC4 鈦合金更大[15]，并且機械波從鈦合金材料入射到45 鋼時，會有一部分超聲能量反射，變成熱能損耗在器件中，因而溫升更快.螺栓材料的選擇在變幅桿實際應(yīng)用中容易被忽視.在滿足加工強度的情況下，應(yīng)選用與變幅桿材料相同的材料.

變幅桿材料的自身阻尼也是發(fā)熱不可或缺的一個原因.為了分析不同阻尼的材料對變幅桿最終溫度的影響，分別對高阻尼TU2 紫銅工具頭以及鈦合金工具頭進行測量.測試時連接螺栓為TC4 鈦合金螺栓，變幅桿溫度分布與軸線溫度分布曲線分別見圖5（d）和圖6.與低阻尼材料不同的是，使用高阻尼TU2 紫銅工具頭時的溫升首先遍布在整個工具頭與螺栓處，工具頭溫度均勻分布，最終達到141.99 ℃，比TC4 鈦合金工具頭的溫升高出57.14 ℃.

圖5 變幅桿測量區(qū)域與最終溫度分布Fig.5 Measuring area and final temperature of horn

圖6 不同材料的螺栓/工具頭連接時幅桿軸線溫度分布Fig.6 Temperature distribution of the axis of the horn under connecting bolt and tool head with different materials

通過對仿真值與實驗測量值的分析可以發(fā)現(xiàn)，溫度上升最終會達到某一平衡點，如圖4 與圖7 所示.不過對于高阻尼材料的工具頭，溫度上升更快，在5 min 便達到最高溫度.

溫度達到平衡的主要原因是：由公式（7）可知，隨變幅桿溫度上升，變幅桿與周圍環(huán)境的熱量交換不斷增大；另一方面，由文獻[14]可知，能量損耗與振幅成正比，溫度上升導(dǎo)致振幅減小，進而致使能量損耗降低.兩者共同作用使溫度達到平衡，這對變幅桿的振動穩(wěn)定性是有利的.

圖7 不同材料的螺栓/工具頭連接時螺栓連接處的溫度變化趨勢Fig.7 Temperature change trend at bolted joint under connecting bolt and tool head with different materials

3 溫升對變幅桿諧振特性的影響

3.1 溫升對變幅桿振幅的影響

在仿真后處理中取變幅桿小端端面一點，繪制振幅隨時間的變化曲線，如圖8 所示.使用激光位移傳感器分別測得初始時刻與振動30 min 時的振幅如圖9 所示.仿真結(jié)果顯示振幅從13.67 μm 下降到11.85 μm，實驗結(jié)果顯示振幅從13.67 μm 下降到10.9 μm，從圖8 和圖9 可知，振動發(fā)熱后的振幅均比初始振幅要小.同時由圖8 可以得出，振幅的降速與溫升速度相關(guān).

圖8 小端端面處位移隨時間變化曲線Fig.8 Displacement curve with time at the end of tool head

振幅下降的原因主要是：隨溫度的升高，變幅桿的諧振頻率不斷下降，變幅桿大端處的激勵頻率35 000 Hz 將不斷偏離變幅桿的諧振頻率.在共振的情況下振幅最大，在變幅桿的諧振頻率不斷偏離共振頻率之后，振幅將有所減小.

圖9 變幅桿振幅測試Fig.9 Amplitude test of horn

3.2 溫升對諧振頻率的影響

對于1/2 波長變幅桿，當(dāng)溫度變化時，假設(shè)變幅桿溫度均勻分布，其縱向諧振頻率滿足：

式中：L0為變幅桿初始長度；α 為熱膨脹系數(shù)；E0為初始彈性模量；β 為彈性模量的相對變化；ρ0為初始密度；r 為工具頭的半徑.

由式（8）可得，漂移后諧振頻率f 與初始諧振頻率f0的比值為：

在變幅桿的實際設(shè)計中，為避免橫向振動，變幅桿中直徑小于1/4 波長，同時又由于系數(shù)α 與系數(shù)β的值非常小，可以近似地認(rèn)為式（9）中忽略（1+πr2αΔT）項，其一階泰勒級數(shù)展開是準(zhǔn)確的，則

由式（10）可知，該比值始終小于1，即頻率漂移與溫升呈線性負(fù)相關(guān)，隨溫度的升高，變幅桿的頻率漂移將不斷增加.此外，還與材料熱膨脹系數(shù)和彈性模量的相對變化有關(guān).

對于TC4 鈦合金材料，取α=9.0×10-6m/（m·℃），β=4.602×10-4K-1[16-17]，結(jié)合公式（10）可知，溫升下的彈性模量相對變化為變幅桿諧振頻率降低的主要原因.對于初始諧振頻率為34 976 Hz 變幅桿，在T=120 ℃時，即由室溫20 ℃升溫100 ℃時，可得到f/f0=0.976 1，其諧振頻率變化至34 140 Hz，頻率下降了836 Hz.

將振動發(fā)熱仿真中瞬態(tài)分析的結(jié)果，即變幅桿的溫度分布作為模態(tài)分析的初始值，并考慮到不同溫度下的材料參數(shù)變化，對變幅桿進行振動發(fā)熱后模態(tài)分析，得到振動發(fā)熱前后變幅桿諧振頻率值，如表1 所示.

表1 振動發(fā)熱前后變幅桿諧振頻率值Tab.1 Resonant frequency values of horns before and after vibration heating

頻率漂移的仿真值要比其計算值小，主要原因是變幅桿的溫度分布不均，在軸向有較大的溫度梯度.

4 結(jié)論

本文結(jié)合數(shù)值模擬和實驗驗證對變幅桿振動發(fā)熱問題進行了分析，并研究了振動發(fā)熱對超聲振動穩(wěn)定性的影響，得到以下結(jié)論：

1）變幅桿材料與連接螺栓材料對溫升有較大影響，而最終溫度會達到平衡.在變幅桿阻尼較小時，以螺栓處發(fā)熱為主，45 鋼螺栓處發(fā)熱量占變幅桿發(fā)熱總量的97.7%，穩(wěn)定后溫度達到118.52°C，大于TC4 鈦合金螺栓連接時的84.85°C.采用較高阻尼的TU2 紫銅工具頭時，溫升更快，達到141.99°C，并且高溫存在于螺栓與整個工具頭區(qū)域.

2）變幅桿振幅與諧振頻率均隨溫度的升高而衰減，并最終保持穩(wěn)定.振幅的降速與溫度的升速相關(guān)，并且當(dāng)變幅桿溫度均勻分布時，諧振頻率與溫升呈線性負(fù)相關(guān).

3）變幅桿材料宜采用低阻尼、高強度、熱穩(wěn)定性好的材料，螺栓材料應(yīng)與變幅桿相同，在長時間工作下有必要采取通風(fēng)等冷卻方式以減小其頻率漂移.