(《區(qū)域供熱》雜志編輯部，北京 100086)

本文標(biāo)題中引號(hào)內(nèi)的部分，為對(duì)微積分素有研究的馬克思的原話，唯有括號(hào)中的“看似”兩字為筆者所加。既然能夠得到“正確結(jié)果”，其求解途徑就應(yīng)該是正確的，之所以通常被認(rèn)為是不正確的，只是它被隱藏在了被無(wú)意中省略了的求解步驟之中了。這個(gè)問(wèn)題，筆者自認(rèn)在參考文獻(xiàn)中所列論文中已經(jīng)徹底解決并闡述的非常充分了，讀者自可解之。在本文中，筆者愿對(duì)相關(guān)問(wèn)題再做些精煉、明晰的表述，以就教于識(shí)者。

一、牛頓、萊布尼茲的求導(dǎo)過(guò)程本質(zhì)剖析

眾所周知，“第一代微積分”(牛頓、萊布尼茲)雖求出了導(dǎo)數(shù)，但卻會(huì)產(chǎn)生“貝克萊悖論”(習(xí)慣稱謂，實(shí)際是“佯謬”)，從而引發(fā)所謂歷史上的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。以最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x2為例(本文為節(jié)省篇幅及使問(wèn)題更直觀以利于讀者理解，不失一般性，均以二次函數(shù)為例討論，不再做一般函數(shù)的抽象表述)，我們有求導(dǎo)過(guò)程

(1)

當(dāng)公式中的Δx=0時(shí)，等式最左邊得0/0，等式最右邊得精確的導(dǎo)數(shù)2x，顯然矛盾，即所謂“貝克萊悖論(佯謬)”。但是，無(wú)可否認(rèn)的事實(shí)是，牛頓、萊布尼茲確實(shí)又是非常精確地求出了Δx=0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值2x，而“無(wú)須那些無(wú)限接近卻永不可達(dá)的昏話”(馬克思語(yǔ))。那么，牛頓和萊布尼茲究竟是怎么能做到這點(diǎn)的？未見(jiàn)后人予以澄清。事實(shí)上，請(qǐng)看公式1。我們問(wèn)：由公式1中的Δy/Δx=(2x+Δx)Δx/Δx，如何得到導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確結(jié)果2x的？公式中的三個(gè)Δx，同時(shí)等于0可以嗎？當(dāng)然不可以，因?yàn)榇藭r(shí)它顯然等于0/0。等于非0的任何數(shù)，哪怕是無(wú)窮小，可以嗎？當(dāng)然也不行。唯一的可能，就是式子中的Δx/Δx=1/1=1，而式中2x+Δx中的那個(gè)Δx=0才可能得到最終結(jié)果2x。換言之，(2x+Δx)Δx/Δx中的三個(gè)Δx絕對(duì)不能同值。既然如此，式中的Δx/Δx就應(yīng)該寫成Δx1/Δx1以示與2x+Δx中的那個(gè)Δx相區(qū)別，而不能再寫成Δx/Δx。即原先的Δy/Δx=(2x+Δx)Δx/Δx，必須寫成Δy1/Δx1=(2x+Δx)Δx1/Δx1，當(dāng)其中的Δx1=1，Δx=0時(shí)，才能最終得到準(zhǔn)確并且唯一的結(jié)果(2x+0)1/1=2x。舍此而外，我們沒(méi)有任何其它途徑能夠得到它。而我們所熟悉的Δy/Δx=(2x+Δx)Δx/Δx，顯然是作為非線性的二次曲線函數(shù)的增量比值函數(shù)，Δx為其自變量，式中的三個(gè)Δx必須取相同的值。當(dāng)然，也可以看成是該二次曲線與其割線的兩個(gè)交點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)差之比，見(jiàn)圖1。

顯然，由于比值函數(shù)分母上有自變量Δx，因此Δx≠0，得不到想要得到的那個(gè)2x。而Δx=0，必有0/0，也不行；但新得到的Δy1/Δx1=(2x+Δx)Δx1/Δx1呢？它其實(shí)是線性的、該二次曲線的割線的增量比值函數(shù)，Δx1是其自變量，見(jiàn)圖2。

圖1圖中自變量Δx只依賴于曲線上的二點(diǎn)，不能離開曲線，Δx=0時(shí)不能作為分母

圖2圖中Δx1、Δy1可以脫離曲線，只在直線(割線)上，可為分母，因?yàn)槠洳荒転?.

顯然，作為線性函數(shù)二次曲線的割線函數(shù)與其增量對(duì)應(yīng)的直線上兩個(gè)點(diǎn)并不依賴于該割線與二次曲線的交點(diǎn)，它們可以是割線上的任何位置的兩個(gè)非重合的點(diǎn)，因此顯然當(dāng)Δx=0時(shí)，割線變成切線，再取Δx1=1，自然得到2x，見(jiàn)圖3。

圖3

當(dāng)然，式中Δx1可以等于非0的任何值，因?yàn)楸热?/2、3/3等，數(shù)值上都等于1/1=1，也就是都可以最終“折合”成1/1。因此在Δx≠0時(shí)，Δx1可以(當(dāng)然不是“必須”)等于Δx。但當(dāng)Δx=0時(shí)，必然有Δx≠Δx1，因?yàn)棣不在分母上因此可以等于0，而Δx1由于處于分母而不能等于0。同時(shí)顯然，只要令K(Δx)=2x+Δx，我們就可以有Δy1/Δx1=(2x+Δx)Δx1/Δx1=K(Δx)Δx1/Δx1，其中這個(gè)K(Δx)就是這個(gè)二次曲線的割線的斜率。它也是二次曲線的增量函數(shù)的自變量Δx的函數(shù)，當(dāng)Δx≠0時(shí)，是割線；當(dāng)Δx=0時(shí)，是切線。它只與該直線的斜率有關(guān)，與該直線的自變量增量Δx1全然無(wú)關(guān)。而當(dāng)Δx1作為比值函數(shù)的分母時(shí)，它當(dāng)然不能等于0(實(shí)際值是等于1)，否則會(huì)得到無(wú)意義的0/0。因此，Δy1/Δx1才是真正意義的切線斜率，也就是幾何意義的導(dǎo)數(shù)。可以看出，這里分母不是0，也不必是無(wú)窮小(即使是，也要折合成1)，更不是傳統(tǒng)意義上的趨于0的極限?？傊?，導(dǎo)數(shù)概念無(wú)涉無(wú)窮小或極限，它就是兩個(gè)宏觀量的比值。其可以兼容無(wú)窮小，但不是必須如此。物理意義的導(dǎo)數(shù)，最常涉及的是瞬時(shí)速度。參考前述導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們可以得到全新的瞬時(shí)速度定義：一個(gè)原本在外力作用下做加速或曲線運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)所有外力在某瞬時(shí)突然解除，此時(shí)及其以后該物體所做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度。而勻速運(yùn)動(dòng)本身按這個(gè)定義，它沒(méi)有受到外力，因此其瞬時(shí)速度與平均速度是一致的?？梢钥闯觯@個(gè)瞬時(shí)速度的定義與傳統(tǒng)定義是完全不同的。按傳統(tǒng)定義，曲線或變速運(yùn)動(dòng)，再小也不是直線勻速運(yùn)動(dòng)，無(wú)窮小也不行。除非是一個(gè)近似，但這會(huì)有誤差。如果是極限，則瞬時(shí)速度不能表示成一個(gè)比式，也不能有量綱，實(shí)際上也不行。

最后，必須明確一點(diǎn)：的確，許多教科書都有“導(dǎo)數(shù)就是切線斜率”這句話。但如真的如此，為什么不采用筆者上面及系列論文中提出的這個(gè)最為直接、準(zhǔn)確、明快的方法或詮釋，而非要舍近求遠(yuǎn)地用遠(yuǎn)非直觀的極限法來(lái)求導(dǎo)？況且按直線斜率的定義，它必然是個(gè)比式(分式)，因此無(wú)論有沒(méi)有分母(所謂“沒(méi)有分母”，實(shí)際也是分母為1)，也絕對(duì)不能是分母為0。事實(shí)上，稍微細(xì)致或嚴(yán)格一點(diǎn)的教科書，都會(huì)提到：經(jīng)由極限法“求出”的導(dǎo)數(shù)，不能是個(gè)分式(否則分母只能是0)而只能作為一個(gè)抽象的“整體”看待，分子分母即使寫上了，如dy/dx，dy及dx也不能分離、移項(xiàng)，像一個(gè)真正的分式那樣去運(yùn)算。因此，它僅僅是在數(shù)值上與切線斜率相等而已，而絕對(duì)不可能是真正的、完整意義的“切線斜率”，除非按本文提出觀點(diǎn)來(lái)解釋。

上面對(duì)微積分求導(dǎo)過(guò)程的詮釋，實(shí)際正是牛頓、萊布尼茲當(dāng)年的求導(dǎo)過(guò)程。因?yàn)楣?最后一步，實(shí)際是“消去”了分母上的自變量Δx(作為必要條件)后才令原式分子上的2x+Δx中的Δx=0的。可“消去”的定義是：“對(duì)代數(shù)式，只能通過(guò)約分的方式，才能消去分母”(百度)。而“約分”的定義是：約去公因數(shù)化為最簡(jiǎn)分式(或“把分式化為最簡(jiǎn)分式的過(guò)程”)。其方法是：根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)(0除外)，分式的大小不變”來(lái)約分(見(jiàn)百度)。特別注意，按這些定義，約分后最終應(yīng)該還是一個(gè)分式，只不過(guò)“最簡(jiǎn)”了而已。因此顯然，嚴(yán)格意義上即使分母全部是公因數(shù)而被“約去”等于1了，這個(gè)最終的式子仍然是一個(gè)分式，只不過(guò)其分母已經(jīng)“最簡(jiǎn)”到了“1”也罷。這是對(duì)約分定義的嚴(yán)格解讀后只能得出的結(jié)論。因此可以明顯看出，所謂“消去分母”，不過(guò)就是通過(guò)約分運(yùn)算把分母化為1后，再舍棄(不寫)這個(gè)1而已。因?yàn)閿?shù)值相等，作為一種書寫的簡(jiǎn)化一般情況下這是可以的(指不去再寫這個(gè)分母上的1)，但是，在邏輯上，或次序上，顯然是首先通過(guò)對(duì)分式的約分得到分母為1的一個(gè)分式后，才可以考慮究竟消不消去這個(gè)分母上的1(嚴(yán)格說(shuō)是整個(gè)分式中的“1/1”)的。可是，一個(gè)將分母化成1的約分操作，不就是等價(jià)于使得分母等于或趨于1(以1為極限)的一個(gè)操作嗎？二者是完全等價(jià)的。因此，令分母以1為極限或求得這個(gè)極限1的操作，在邏輯上是先于消去分母操作(也就是不再寫分母上的這個(gè)“1”)的，如此，還怎么能說(shuō)對(duì)邏輯上“在后的”消去分母上的1把一個(gè)分式變成非分式之后的式子，所求得的一個(gè)與分母已經(jīng)毫無(wú)關(guān)系的、特別是自變量趨于0的極限，就是邏輯上“在先的”原分式分母趨于0的極限操作呢？這叫本末倒置：通過(guò)在先的約分，已經(jīng)等價(jià)地令分母為1或趨于1或極限為1了，哪里還有這個(gè)分母趨于0的事？如果再趨于0，也是另一個(gè)函數(shù)也就是非比式(分式)函數(shù)的極限，而絕對(duì)不會(huì)再是原比式(求導(dǎo)所要求的)函數(shù)分母趨于0的極限。也就是公式2中的不等號(hào)成立，而等號(hào)不成立。這是因?yàn)閷?duì)(2x+Δx)Δx/Δx分子分母的約分，按定義實(shí)際是在前式中分子分母各除以一個(gè)Δx，即[(2x+Δx)Δx÷Δx]/(Δx÷Δx)=(2x+Δx)·1/1。盡管這個(gè)最簡(jiǎn)分式的分母為1了，但嚴(yán)格而言它仍舊是一個(gè)分式。直接寫成2x+Δx在大部分情況下是可以的，但對(duì)一個(gè)涉及分母的求導(dǎo)(求極限)過(guò)程是不行的。更何況早就有說(shuō)法“任何除0外的整數(shù)都可以看成分母為1的假分?jǐn)?shù)”(百度)。

此外，對(duì)Δx/Δx這樣的自函數(shù)，幾乎所有人及教科書都說(shuō)，由于在任何Δx≠0的點(diǎn)，該函數(shù)都等于1，因此在Δx→0時(shí)，其極限只能是1，盡管在0點(diǎn)此函數(shù)無(wú)有意義的函數(shù)值(函數(shù)值為0/0)也罷。只不過(guò)這個(gè)結(jié)論只有在“消去分母上的自變量Δx”進(jìn)而先要對(duì)分子分母進(jìn)行約分后才有可能。但即使對(duì)一個(gè)最簡(jiǎn)單的自函數(shù)的增量比值函數(shù)Δx/Δx而言，對(duì)其約分也意味著要嚴(yán)格按約分定義有(Δx÷Δx)/(Δx÷Δx)=1/1，這當(dāng)然就是分子分母中的Δx=1或Δx→1，絕對(duì)不是Δx→0。至于由約分得到的1/1再“消去”分母上的1后，這個(gè)“1”在Δx→0時(shí)仍舊等于1，那是另外一個(gè)函數(shù)的事了。它無(wú)論在邏輯上、運(yùn)算上，都不是原先要求的Δx/Δx直接令Δx→0得到的極限值?？傊懊娼炭茣械摹爸灰不為0，就等于1”云云，實(shí)質(zhì)就是等價(jià)于Δx→1或Δx=1，此“運(yùn)算”邏輯上是在Δx→0之前的。它“隱含”在了約分這個(gè)操作之中，為前人所未察而已。用物理上的速度概念來(lái)理解，更其簡(jiǎn)單。此時(shí)自函數(shù)的增量比Δx/Δx的分母為時(shí)段，分子為走過(guò)的路程。當(dāng)時(shí)段等于1或趨于1時(shí)，整個(gè)比式1/1表示的當(dāng)然就是“單位時(shí)段所走過(guò)的路程”，也就是“速度”。而按前文筆者對(duì)瞬時(shí)速度的定義，對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)而言，瞬時(shí)速度與平均速度不僅是等值的，而且就是一回事。完全無(wú)需“多此一舉”地再去求那個(gè)分母趨于0的不可達(dá)極限。不要說(shuō)這個(gè)極限根本就沒(méi)有(前文)，就算有，那個(gè)瞬時(shí)或時(shí)間點(diǎn)居然不可達(dá)，怎么解釋？現(xiàn)實(shí)中任何瞬時(shí)或時(shí)間點(diǎn)，不都是到達(dá)了的嗎？這簡(jiǎn)直就是芝諾悖論的翻版，極限法求導(dǎo)的所謂“標(biāo)準(zhǔn)分析”或“第二代微積分”，本質(zhì)上就是試圖以芝諾悖論的方式求導(dǎo)或給導(dǎo)數(shù)以解釋，有人卻還反過(guò)來(lái)說(shuō)極限法微積分解決了芝諾悖論，這說(shuō)法本身其實(shí)就是一個(gè)悖論。此外，按極限運(yùn)算規(guī)則，當(dāng)Δx→0時(shí)，Δx/Δx不能等于0/0，但其理由正是當(dāng)Δx→0時(shí)Δx/Δx得到了0/0，而按規(guī)則分母不能為0。因此不允許以0/0為極限(嚴(yán)格講0/0不是“有意義的極限”)。這里有一個(gè)邏輯先后問(wèn)題：0/0沒(méi)有出現(xiàn)，怎么知道得到它的極限不被允許？或許還可以從另一個(gè)角度看：1/Δx的分母Δx是無(wú)法與分子上的那個(gè)“1”相互消去的。其在Δx→0時(shí)的極限是什么？1/0，一種認(rèn)為不允許，一種認(rèn)為是無(wú)窮大∞。但無(wú)論哪種看法，都不會(huì)有二者經(jīng)過(guò)與其它數(shù)的運(yùn)算得到1的情況出現(xiàn)。于是，由Δx/Δx=Δx·(1/Δx)，按極限規(guī)則“積的極限等于極限的積”，Δx/Δx在Δx→0的極限等于Δx→0的極限乘以1/Δx的Δx→0時(shí)的極限，即有0·(1/0)=0·∞=0/0，無(wú)論如何解釋這些結(jié)果，反正與1無(wú)關(guān)。

再看微分問(wèn)題。通常教科書中首先定義微分為函數(shù)的線性部分(通常為“線性主部”，但有時(shí)并不盡然。見(jiàn)齊民友《重溫微積分》)。然后再由此就有了自變量的微分等于其增量dx=Δx及其所引發(fā)的問(wèn)題。顯然，自變量也是函數(shù)，起碼是可以成為函數(shù)。況且孰為自變量，孰為因變量，其地位是平等的。因此，產(chǎn)生了兩個(gè)不同的微分定義共存于同一系統(tǒng)甚至同一變量的問(wèn)題(國(guó)內(nèi)先后由師教民、莫紹揆、梁贊臣、丁小平等指出):一個(gè)是增量的線性部分(通常為dy)，一個(gè)是增量本身(通常為dx)。但出人意料，作為第二代微積分的創(chuàng)建者之一的柯西，卻并不是這么做的。他首先由極限法給出并定義了導(dǎo)數(shù)f’(x)，然后“通過(guò)把dx定義為任一有限量而把dy定義為f’(x)dx”。顯然，這里定義自變量的增量dx邏輯上在先，而定義函數(shù)的微分也就是“線性部分”的dy邏輯上在后。表面上，兩種定義方式似乎沒(méi)有什么大不同，但這是以往的認(rèn)識(shí)?？挛鞯亩x方式，并沒(méi)有提函數(shù)增量Δy本身，盡管dy實(shí)際就是函數(shù)增量Δy的線性部分。但柯西沒(méi)有以與函數(shù)的關(guān)系來(lái)定義dy。而且也沒(méi)有說(shuō)它就是微分，它顯然也是個(gè)有限量。如此，前述自變量的dx=Δx問(wèn)題本不存在。柯西這里的dy、dx，就是本文前面的Δy1、Δx1，也就是切線斜率的縱、橫坐標(biāo)的增量，并且十分明確地，它們都是有限量(宏觀量)，而不是無(wú)窮小或極限。二者的比值，即這里的dy/dx，當(dāng)然就是前文的Δy1/Δx1，當(dāng)然就是導(dǎo)數(shù)值。那么，問(wèn)題來(lái)了：既然如此，何不就直接把導(dǎo)數(shù)f’(x)定義成有兩個(gè)有限量的比dy/dx(即Δy1/Δx1)？一如筆者在本文中所做的。因此，用極限求導(dǎo)(“標(biāo)準(zhǔn)分析”、“第二代微積分”的做法)，且先不論對(duì)錯(cuò)，根本就是沒(méi)必要的?？挛鞯淖龇ǎ瑢?shí)際已經(jīng)很接近真相了，就差這么半步?？挛?如果沒(méi)有理解錯(cuò)的話)還指出，微分作為一個(gè)輔助概念，在邏輯上沒(méi)有也行。后世教科書之所以緊抓住“函數(shù)的線性主部”不放，顯然是意識(shí)到不如此，就沒(méi)有了趨于極限時(shí)的、或達(dá)到無(wú)窮小時(shí)的“曲化直”。更何況此二者無(wú)論哪種解釋，都是有問(wèn)題的(會(huì)使貝克萊悖論在積分時(shí)重現(xiàn)。見(jiàn)筆者系列論文)。但按筆者無(wú)論對(duì)導(dǎo)數(shù)還是積分的解釋，就不會(huì)再有這類會(huì)產(chǎn)生矛盾的問(wèn)題。細(xì)節(jié)這里就不贅述了，有興趣的讀者大可看參考文獻(xiàn)中筆者的系列論文。

總之，牛頓、萊布尼茲當(dāng)年已經(jīng)實(shí)際地求出導(dǎo)數(shù)的精確值了，但始終沒(méi)有給出一個(gè)簡(jiǎn)單、明快、無(wú)矛盾的詮釋。他們(包括后來(lái)的極限法求導(dǎo)，即所謂第二代微積分或標(biāo)準(zhǔn)分析)很隨意地就“消去”了分式中的作為自變量的分母，但是沒(méi)有理會(huì)、搞清、回答這個(gè)消去分母究竟意味著什么？筆者的回答很簡(jiǎn)單：嚴(yán)格按定義，那就是“意味著在分式值不變時(shí)把分母值折合為1”(當(dāng)然在大部分情況下這個(gè)1可以不寫，這就是“消去”)。但求導(dǎo)問(wèn)題不能不寫。這就是貝克萊悖論(實(shí)際是“佯謬”，絕對(duì)不是邏輯學(xué)意義的“悖論”)之所以產(chǎn)生的根本原因。也就是說(shuō)，不寫這個(gè)分母1，就會(huì)有悖論(佯謬)；寫了，就沒(méi)有。馬克思說(shuō)：微積分是由一個(gè)明顯錯(cuò)誤的過(guò)程，得到完全正確的結(jié)論。如果說(shuō)有錯(cuò)誤，那這個(gè)“錯(cuò)誤”是什么？說(shuō)來(lái)簡(jiǎn)單，就是沒(méi)有寫這個(gè)本應(yīng)該有的“分母1”。一旦把這個(gè)1寫在分母上，自變量不是等于1就是趨于1(Δx=1或Δx→1)，根本不會(huì)再有等于0或趨于0(Δx=0或Δx→0)的問(wèn)題，也就不會(huì)再有任何馬克思所說(shuō)的“錯(cuò)誤”了?？傊ｎD、萊布尼茲在求導(dǎo)過(guò)程中的實(shí)際做法是完全正確的，唯一遺憾的是沒(méi)有意識(shí)到分母上在做了“約分”操作后還應(yīng)該寫上一個(gè)“1”。因此他們?cè)谇髮?dǎo)過(guò)程及導(dǎo)數(shù)的定義上出現(xiàn)問(wèn)題。也就是求出了正確、精確的結(jié)果，但沒(méi)有給出一個(gè)正確、合理的解釋。實(shí)際上，如果最初就將整個(gè)求導(dǎo)過(guò)程交付給計(jì)算機(jī)程序，令其嚴(yán)格按各個(gè)概念的定義，當(dāng)然特別地包括約分定義來(lái)操作，當(dāng)不至于出此疏漏以導(dǎo)致貝克萊悖論(佯謬)的發(fā)生。不得不說(shuō)，在此問(wèn)題上，機(jī)器可以再一次輕松地戰(zhàn)勝很多人。

此外，這里做一個(gè)說(shuō)明。此前筆者的論文中，都是說(shuō)的“由除法使得分母折合成1”等等。雖然除法、約分、消去分母等等說(shuō)法大同小異，幾乎可以互代(起碼在絕大多數(shù)情況下)，但嚴(yán)格講仍有一定的差別。這個(gè)前文已述了。比如除法的定義是：已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中的一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。這里并沒(méi)有分母為1和量綱。只有在分式的約分中才有這些概念。因此為更加的嚴(yán)格化，宜以本文中的更為有力、明確的說(shuō)法為準(zhǔn)。即由除法得到的分母可以寫1，應(yīng)該寫1(以往論文說(shuō)法)，到由對(duì)分式的約分得到的分母必須寫1(本文說(shuō)法)，區(qū)別僅此。

退一步講，如所周知，之所以需要極限法第二代微積分，是第一代微積分產(chǎn)生了貝克萊悖論。否則第二代微積分便沒(méi)有必要存在。但正因?yàn)闀?huì)產(chǎn)生悖論(矛盾)，第一代微積分理應(yīng)就是錯(cuò)的(任何產(chǎn)生矛盾的系統(tǒng)都是錯(cuò)的)，所以才會(huì)有用“正確的”第二代微積分取代它的必要。那么既然第一代微積分是錯(cuò)的，它本應(yīng)根本求不出、或求出的是錯(cuò)的導(dǎo)數(shù)?？墒牵谝淮⒎e分明明求出了正確且精確的導(dǎo)數(shù)。否則微積分的發(fā)明權(quán)就應(yīng)該被授予柯西、外爾斯特拉斯等人，而不是牛頓和萊布尼茲。總之，極限法的第二代微積分如對(duì)，它所要取代的第一代的牛頓、萊布尼茲微積分就是錯(cuò)的。既然錯(cuò)，它所求出的導(dǎo)數(shù)就應(yīng)該是錯(cuò)的。但事實(shí)是對(duì)的。也就是，極限法即使是對(duì)的，它也僅僅是表明自己求出了正確的導(dǎo)數(shù)，而且不會(huì)再產(chǎn)生貝克萊悖論，它其實(shí)并沒(méi)有解釋為什么第一代微積分可以在貝克萊悖論存在的情況下也能求出正確的導(dǎo)數(shù)，而不是求不出導(dǎo)數(shù)或求出的是一個(gè)錯(cuò)誤的導(dǎo)數(shù)?？傊诙⒎e分充其量只能做到“獨(dú)善其身”，它指不出第一代微積分究竟錯(cuò)在何處。明確說(shuō)，就是指不出第一代微積分究竟何以會(huì)產(chǎn)生貝克萊悖論。如果說(shuō)正確的第二代微積分取代了錯(cuò)誤的第一代微積分理論，但為什么它得到的導(dǎo)數(shù)值不過(guò)與第一代所得到的完全一樣？總之，無(wú)論是正確的與錯(cuò)誤的一致，還是錯(cuò)誤的與正確的一致，邏輯上行得通嗎？

二、極限法微積分(第二代微積分、標(biāo)準(zhǔn)分析)求導(dǎo)中的邏輯問(wèn)題的另一角度分析

第二代微積分所涉及的極限，當(dāng)然指的是“不可達(dá)極限”，也就是在極限點(diǎn)未定義函數(shù)值，但可以有極限值。比如設(shè)有自函數(shù)x(x≠0)，其在0點(diǎn)無(wú)定義，但卻可以有極限值0(當(dāng)x→0時(shí))。但還有另一種情況，極限法微積分顯然認(rèn)為也是成立的，這就是在某點(diǎn)雖沒(méi)有有意義的函數(shù)值，但卻可以有有意義的極限值。比如自比函數(shù)x/x，在x=0點(diǎn)的函數(shù)值為0/0，無(wú)意義，但極限法微積分卻認(rèn)為其x→0的極限值為1。這顯然是分子分母上的兩個(gè)x先相消得到1，此時(shí)x再趨于0，此時(shí)“1”已然與x無(wú)關(guān)，它還是1，遂認(rèn)為極限為1。顯然，極限法并未嚴(yán)格區(qū)分這兩種情況，認(rèn)為它們是一回事，但事實(shí)果真如此嗎？

仍以簡(jiǎn)單的二次函數(shù)為例，極限法求導(dǎo)的過(guò)程如公式2中左數(shù)第一個(gè)等號(hào)右邊開始(先不要去理會(huì)最左邊的那個(gè)“0/0”，它是為以后的討論預(yù)先寫下的；也先不要理會(huì)式中那個(gè)不等號(hào)：權(quán)且就當(dāng)其為等號(hào))：

(2)

其關(guān)鍵步驟仍舊是公式2中不等號(hào)(先就認(rèn)為是等號(hào))兩邊顯示的那個(gè)“消去”分母上的自變量Δx。通常，人們給出能夠這么做的理由是：既然函數(shù)在Δx=0點(diǎn)無(wú)定義，那么，只要不在該點(diǎn)，分母就不會(huì)等于0，也就可以消去分母上的那個(gè)自變量Δx，然后再令已經(jīng)沒(méi)有分母Δx的2x+Δx(原先分式中分子的一部分)中的Δx→0，即可得到導(dǎo)數(shù)2x了。但這種邏輯以往看似天衣無(wú)縫，其問(wèn)題在本文第一節(jié)已經(jīng)討論的很充分了。同時(shí)，從另一視角，其也經(jīng)不住如下的詰難和推敲：

極限法的第二代微積分求導(dǎo)成立的充分必要條件，顯然是公式2的推導(dǎo)過(guò)程只能是從左至右方向進(jìn)行。因?yàn)椴粚?duì)公式2進(jìn)行從左至右的推導(dǎo)，原始公式中的分母上的自變量Δx就無(wú)法“被消失”(正規(guī)叫“消去”)，以下一切結(jié)論就都得不到了。但公式2中的各式既然以等號(hào)(先不理會(huì)那個(gè)不等號(hào)，就認(rèn)為該位置為等號(hào))相連，顯然是相等的或起碼被認(rèn)為是相等的。既然如此，推導(dǎo)順序?yàn)槭裁粗荒苁俏ㄒ坏匾韵シ帜干系摩為目的的從左至右？為什么不可以反過(guò)來(lái)，從右至左推導(dǎo)？具體說(shuō)就是，公式2成立的基礎(chǔ)，是在條件Δx≠0的前提下，(2x+Δx)Δx/Δx=2x+Δx等式成立(反之在Δx=0時(shí)，等式不成立，一個(gè)函數(shù)為0/0，一個(gè)為2x)。但正因?yàn)榈仁匠闪?，就不存在在Δx≠0的前提下，只能消去該等號(hào)左邊的(2x+Δx)Δx/Δx分母上的Δx得到2x+Δx，而不能在在同樣的Δx≠0的前提下，在該等號(hào)右邊的2x+Δx加上一個(gè)分母Δx(實(shí)際是乘以Δx/Δx)而得到(2x+Δx)Δx/Δx的問(wèn)題。在Δx≠0的前提下，盡管函數(shù)值在上述等式二邊相等，但并未明確在Δx=0時(shí)等式二邊的極限值也相等，因?yàn)榇藭r(shí)這個(gè)極限值已經(jīng)在函數(shù)的定義域Δx≠0之外，而在Δx=0點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值一個(gè)為0/0，一個(gè)為2x，完全不一樣。也就是說(shuō)，公式2從左至右地推導(dǎo)，在消去分母Δx之后(必要條件)，才可得到那個(gè)2x。那么既然如此，同樣的公式2，從右至左地推導(dǎo)，乘上一個(gè)Δx/Δx(反正此時(shí)分母Δx≠0)，不就得到極限值0/0了(盡管是無(wú)意義的)？起碼此時(shí)是得不到把消去分母作為必要條件的2x的。因此在得出二者在Δx=0點(diǎn)的極限值一樣為2x而違反函數(shù)值不一樣的結(jié)論前，需要給出明確的證明，否則就是使用了未經(jīng)證明的命題。但顯然這個(gè)證明是給不出的：因?yàn)橥瑯拥睦碛?，也可以?/0為二者的極限值，因此2x為二者的極限是不成立的。也就是根本就沒(méi)有這樣的邏輯：在Δx≠0時(shí)函數(shù)值相等的二函數(shù)，其在Δx=0點(diǎn)的極限值必相等。特別地還必須等于2x。而極限法求導(dǎo)的第二代微積分也就是從左至右的公式2推理過(guò)程，必須要有此一條實(shí)際并不存在的原則才行。因此，如欲(2x+Δx)Δx/Δx與2x+Δx的極限值相等，除了條件Δx≠0外，還要有條件Δx不能趨于0?；蛘弑仨毷紫茸C明當(dāng)Δx→0時(shí)，(2x+Δx)Δx/Δx的極限不是0/0，而且這個(gè)證明不能是在消去分母上的Δx后給出的，否則這就是邏輯上的“循環(huán)論證”。因此，極限法之誤，是把在某條件(Δx≠0)下的事實(shí)(函數(shù)值相等)，誤認(rèn)為在加進(jìn)了新條件時(shí)(取Δx→0時(shí)的極限)就相等了?？傊?，如果我們先有函數(shù)2x+Δx(Δx≠0，注意，在Δx=0點(diǎn)無(wú)定義或“不去”進(jìn)行定義)，其在Δx→0的不可達(dá)極限當(dāng)然是2x(與在Δx=0點(diǎn)有定義的2x+Δx在該點(diǎn)的函數(shù)值相等)。而此時(shí)這個(gè)2x+Δx既然有了條件Δx≠0，按前述從左至右推導(dǎo)的同樣原則，那利用乘以一個(gè)分式Δx/Δx(在Δx≠0時(shí)其數(shù)值不是恒等于1嗎？)在其分母上加一個(gè)Δx又何妨？具體就是在Δx≠0的條件下，從2x+Δx得到(2x+Δx)Δx/Δx。如此，再令Δx→0，求得極限值也為與其函數(shù)值一樣的、公式2的最左邊的0/0(盡管其并非有意義的也罷)。難道我們能夠就此得出結(jié)論：在限制條件Δx=0點(diǎn)無(wú)定義(即定義域?yàn)棣≠0)的2x+Δx在Δx→0時(shí)的極限值不是2x而是0/0？可見(jiàn)，說(shuō)一個(gè)函數(shù)在Δx=0無(wú)定義就可以隨意消去或加上分母上的自變量Δx以求得其極限的做法都是錯(cuò)的，會(huì)產(chǎn)生矛盾。換言之，可以消去分母上的自變量Δx的前提(充分必要條件)，不但像通常被公認(rèn)的要求在Δx=0點(diǎn)不能定義函數(shù)值(因該點(diǎn)的函數(shù)值首先應(yīng)是0/0，然后才有的該函數(shù)的定義域不能包括Δx=0點(diǎn)這個(gè)結(jié)果。前者是后者之因)，其實(shí)在該點(diǎn)同樣也不能定義極限值(因該點(diǎn)的極限值也是0/0，與函數(shù)值一樣。有人也許會(huì)武斷地說(shuō)，“沒(méi)有極限0/0”，但這句話本身里面已經(jīng)有“極限0/0”了。因此此句話自相矛盾，類似謊者悖論。實(shí)際的表述應(yīng)該是先有極限0/0，然后才得到它“不是有意義的極限”的結(jié)論。因果關(guān)系要明確)。也就是說(shuō)，如果僅僅把函數(shù)的定義域不包括Δx=0點(diǎn)作為可以消去分母上的自變量Δx的前提條件是不行的——它僅是必要條件，只有Δx=0點(diǎn)的極限值也同時(shí)被排除(也是必要條件之一)，才能構(gòu)成做除法消去分母的自變量Δx的充分條件，如此，我們還有可能通過(guò)消去分母的自變量Δx來(lái)求得有意義的極限2x嗎？當(dāng)然不行。因此，這就明白無(wú)誤地證明了：公式2兩邊用中間的那個(gè)不等號(hào)分割完全是必要的、正確的——它們并不相等。也就是說(shuō)，極限法第二代微積分求導(dǎo)對(duì)公式2從左至右的推導(dǎo)方向的前述充分必要條件并不能被滿足。

三、在新詮釋下給牛頓、萊布尼茲第一代微積分正名的現(xiàn)實(shí)意義及諸多優(yōu)勢(shì)

1．明確給出了牛頓、萊布尼茲之所以可以求出導(dǎo)數(shù)的確切原由，使其獲得圓滿解釋，并給出與之協(xié)調(diào)的導(dǎo)數(shù)、瞬時(shí)速度、微分這些概念的全新定義及解釋。導(dǎo)數(shù)就是比式(不必像極限法的“標(biāo)準(zhǔn)分析”那樣明明都寫出來(lái)了，即通常的分式dy/dx，還硬說(shuō)不是比式)，微分就是增量(無(wú)論函數(shù)還是自變量的微分都一樣)。而標(biāo)準(zhǔn)分析顯然由于深層次的原因不得不假設(shè)或定義函數(shù)自變量的微分就是其增量，而函數(shù)的微分卻只是其增量的一部分(所謂“線性主部”)，由此產(chǎn)生了一系列的問(wèn)題。筆者堅(jiān)信，任何有關(guān)理論最基礎(chǔ)、最核心部分的新概念，只要正確反映了客觀現(xiàn)實(shí)，就必然在后續(xù)研究中能夠派上用場(chǎng)(與之對(duì)比，標(biāo)準(zhǔn)分析那套繁文縟節(jié)，之所以難以理解，現(xiàn)在是真相大白了：它根本就是錯(cuò)的)。現(xiàn)在，我們終于可以放心大膽地聲明：牛頓、萊布尼茲微積分對(duì)且簡(jiǎn)，但需要新的解釋；極限法微積分錯(cuò)而繁，問(wèn)題已明確；

2．在理論上返璞歸真，大大簡(jiǎn)化了微積分理論，使其易于理解。揭示并排除了其潛在的矛盾，使得今后的教學(xué)工作可以大為簡(jiǎn)化。整個(gè)與不可達(dá)極限有關(guān)的論述，幾乎都可以省掉。只把牛頓、萊布尼茲(第一代)微積分徹底講清(按筆者思路)就可以了。在真正意義上徹底實(shí)現(xiàn)了不用極限甚至無(wú)窮小概念的微積分(無(wú)窮小當(dāng)然還可以有，但不是必須有)，徹底地填平了高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)間的鴻溝；

3．統(tǒng)一了微分與差分、微元法的區(qū)別，可以看出，微分本質(zhì)上就是差分。不存在誰(shuí)主誰(shuí)次，哪個(gè)本質(zhì)，哪個(gè)重要，哪個(gè)精確的問(wèn)題了；可使得連續(xù)與離散間的理論鴻溝被抹平，過(guò)往連續(xù)概念必須借助于不可達(dá)極限概念才能建立，現(xiàn)在看來(lái)不是這么回事；點(diǎn)與長(zhǎng)度、測(cè)度之間關(guān)系可以得到本質(zhì)的理解，徹底解決了非線性函數(shù)以往在線性化過(guò)程中的精度、誤差問(wèn)題；

4．理論力學(xué)的靜力學(xué)中有所謂虛位移、虛功概念。但明明是沒(méi)有任何位移、沒(méi)有做任何功，何來(lái)位移？哪怕是虛的？其“虛”在什么地方？顯然，此概念無(wú)論用無(wú)窮小還是極限，都難以完滿地、令人信服地予以解釋：哪怕是無(wú)窮小的位移，也不是靜止(0位移)；運(yùn)動(dòng)的極限，特別是不可達(dá)極限，也絕對(duì)不是靜止(靜止的當(dāng)然可達(dá))。實(shí)際上，用現(xiàn)有微積分的理論，怎么解釋都十分牽強(qiáng)。但用筆者對(duì)導(dǎo)數(shù)的解釋的思路，此問(wèn)題迎刃而解：虛位移就是一個(gè)平衡的力系，假設(shè)一旦被打破不再平衡時(shí)的實(shí)際位移。相應(yīng)地，虛功也一樣。這與導(dǎo)數(shù)的新定義是吻合的；

5．歐拉、馬克思甚至羅素都反對(duì)極限法求導(dǎo)理論。歷史證明他們是對(duì)的：筆者指出了極限法求導(dǎo)無(wú)法自圓的邏輯矛盾，有力地證偽了極限法求導(dǎo)過(guò)程；

6．羅賓遜的非標(biāo)準(zhǔn)分析，等于又在暗中否定了標(biāo)準(zhǔn)分析(第二代微積分)的必要性。因?yàn)樗煞菢O限的無(wú)窮小概念出發(fā)，也能得到相同的一切結(jié)論。它本質(zhì)上是回到了第一代微積分的思路，用“取標(biāo)準(zhǔn)數(shù)”這個(gè)間接的概念過(guò)程達(dá)到牛頓等的舍棄無(wú)窮小的作用。它實(shí)質(zhì)上是暗示，第二代的極限法微積分，并沒(méi)有如其所宣示的那樣否定的了牛頓、萊布尼茲的第一代微積分。因此本質(zhì)上，極限法的標(biāo)準(zhǔn)分析(所謂第二代微積分)與無(wú)窮小的非標(biāo)準(zhǔn)分析不相容，是矛盾的。因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)分析是以否定與非標(biāo)準(zhǔn)分析等價(jià)的第一代微積分為成立前提的。明確說(shuō)，如果非標(biāo)準(zhǔn)分析成立，標(biāo)準(zhǔn)分析必不成立。理由是標(biāo)準(zhǔn)分析認(rèn)為或承認(rèn)第一代微積分不成立(否則還需要第二代微積分也就是標(biāo)準(zhǔn)分析嗎)，而第一代微積分又與被認(rèn)為是成立的非標(biāo)準(zhǔn)分析事實(shí)上等價(jià)。當(dāng)然，非標(biāo)準(zhǔn)分析創(chuàng)建了整個(gè)無(wú)窮小理論，但在微積分求導(dǎo)過(guò)程中又與第一代微積分一樣地舍棄了這個(gè)無(wú)窮小，而沒(méi)有像筆者所做的那樣給出任何令人信服的理由，這不能不是一種缺憾。在筆者前文的詮釋下，此問(wèn)題不復(fù)存在。因此，在新詮釋下，無(wú)窮小仍可有一席之地，但不可達(dá)極限法求導(dǎo)，不應(yīng)再出現(xiàn)于教科書中；

7．特別應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，筆者給出的微積分新詮釋，實(shí)際只是對(duì)牛頓、萊布尼茲第一代微積分原本是正確的、但卻被誤解為錯(cuò)誤的實(shí)際操作過(guò)程的理論解釋。是對(duì)微積分誕生之初就早已踐行的“老方法”的新詮釋。并不應(yīng)被誤解成是筆者獨(dú)出心裁地提出了一個(gè)新的求導(dǎo)方法。此外，在邏輯上它與所謂標(biāo)準(zhǔn)分析是互相獨(dú)立的，即它與極限法的“標(biāo)準(zhǔn)分析”(第二代微積分)的對(duì)錯(cuò)無(wú)關(guān)。即：即使退一步說(shuō)后者不錯(cuò)，也并不意味著筆者的理論解釋錯(cuò)。而反之，后者如被證明有問(wèn)題，在這種新詮釋下的所謂第一代微積分就是唯一正確的。無(wú)論哪種情況，我們其實(shí)都可以鄭重提示：教科書中的微積分理論，應(yīng)該返璞歸真，在簡(jiǎn)單明確的新詮釋下，重新回到牛頓、萊布尼茲意義的第一代去，以求剔除矛盾、堅(jiān)持本初、簡(jiǎn)化教材、有利教學(xué)。

以上論題受篇幅限制，未及詳論。比如微分特別是自變量的微分合理性問(wèn)題、積分問(wèn)題、三角函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題、指數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題、弧度的微分問(wèn)題、力學(xué)中的虛位移問(wèn)題、虛功問(wèn)題等等，在新的導(dǎo)數(shù)詮釋下的求出、解釋，有興趣的讀者可以參考文末參考文獻(xiàn)中列出的筆者論文及后續(xù)論文。