【摘要】本文以《分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)》為例，呈現(xiàn)了小學(xué)數(shù)學(xué)理性課堂追求的課例實(shí)踐研究，以深入分析學(xué)情為實(shí)踐研究的起點(diǎn)，通過積淀和碰撞堅(jiān)定實(shí)踐研究的方向，在研究的過程中充分考慮小學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維的現(xiàn)狀，通過先后經(jīng)歷合情推理和演繹推理以實(shí)現(xiàn)理性數(shù)學(xué)課堂的追求，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 合情推理 演繹推理 理性課堂

《分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)》是蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級上冊“分?jǐn)?shù)除法”單元的教學(xué)內(nèi)容。分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則是教學(xué)的難點(diǎn)，這不是因?yàn)閷W(xué)生不會(huì)按照法則進(jìn)行計(jì)算，而是因?yàn)閷W(xué)生不易得出并理解法則。使法則的形成過程符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，是蘇教版數(shù)學(xué)教材編排的一個(gè)亮點(diǎn)。然而，怎樣借助這一編排亮點(diǎn)使小學(xué)數(shù)學(xué)課堂真正綻放出理性的光芒？我課題組以課例《分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)》為抓手，深入研究，實(shí)踐思考。

一、分析學(xué)情，找準(zhǔn)思想的起點(diǎn)

在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法”單元前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)分?jǐn)?shù)加法、減法和乘法的計(jì)算，而學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法后，學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。

分別對比人教版教材以及原蘇教版教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)安排，可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)行蘇教版教材對于分?jǐn)?shù)除法計(jì)算的教學(xué)安排得非常細(xì)致，從分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，至整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，最后是分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，在邏輯上逐步形成包攝性很強(qiáng)的法則。學(xué)生通過對例1、例2、例3的學(xué)習(xí)，已經(jīng)明確了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)均可以轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行計(jì)算。

例4和“練一練”安排研究分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)。分析、解讀教材，在分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的研究中，教材利用平均分的意義實(shí)現(xiàn)了思維遷移;在學(xué)習(xí)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)時(shí)，教材利用包含除的概念實(shí)現(xiàn)了算法推理;在分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的研究中，教材意圖利用數(shù)形結(jié)合的方法并借助包含除的意義完成合情推理及直觀驗(yàn)證，從而讓學(xué)生逐步理解轉(zhuǎn)化是必然的，并將積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步歸納、推廣，意圖實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維“理性”的飛躍。

二、積淀碰撞，堅(jiān)定思想的方向

教材的編排重視推理在分?jǐn)?shù)除法算法研究中的運(yùn)用，然而，我們認(rèn)為，只經(jīng)歷了例4這種相除的特例探究就匆忙進(jìn)行算法的歸納，明顯是有邏輯漏洞的，部分學(xué)生提出了質(zhì)疑，而這些質(zhì)疑我們不能視而不見。我們不得不考慮，如何讓學(xué)生經(jīng)歷完整、嚴(yán)密的推理探究之旅，從而讓學(xué)生對算法確認(rèn)無疑，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)理性思維的嚴(yán)謹(jǐn)。

基于以上對教材的解讀，我們調(diào)查了學(xué)生的思維水平現(xiàn)狀，并充分考慮銜接第三學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求，重新審視了本課例。雖然本課例從課型上可類歸為計(jì)算課，但是小學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算，不僅是正確計(jì)算的需要和解決實(shí)際問題的需要，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和發(fā)展的需要。由于六年級學(xué)生已經(jīng)具備了一定的思維和探究能力，為了讓計(jì)算法則的教學(xué)不是被動(dòng)接受，而是主動(dòng)建構(gòu)的過程，課堂教學(xué)中不僅要重視合情推理在研究算法中的作用，更要借助演繹推理實(shí)現(xiàn)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維的生成，從而讓數(shù)學(xué)理性的思維火花真正迸發(fā)。

在人們認(rèn)識(shí)世界的過程中，合情推理和演繹推理分別扮演著重要角色，演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程，而數(shù)學(xué)研究思路的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理。

三、經(jīng)歷“合情推理”，體悟合理

合情推理是指“合乎情理”的推理，歸納和類比是常用的合情推理，它們都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、猜想、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，從而提出猜想。在數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供思路和方向，合情推理顯然貼近小學(xué)生的思維現(xiàn)狀，利于為思維的深入搭建溝通的橋梁。

探究活動(dòng)一：同分母分?jǐn)?shù)相除

1.教學(xué)例題

（1）出示例題。

（2）提出猜想。

談話組織探究活動(dòng)。

（3）自主驗(yàn)證。

（4）展示交流。

組織交流，預(yù)設(shè)：

A.數(shù)形結(jié)合。（板貼色塊展示）

B.轉(zhuǎn)化成以毫升為單位計(jì)算。

C.轉(zhuǎn)化成小數(shù)計(jì)算。

D.利用商不變的規(guī)律轉(zhuǎn)化成整數(shù)計(jì)算。

E.假設(shè)驗(yàn)證。

談話小結(jié)。（相機(jī)板書）

探究[910]÷[310]的算法，理解其算理是本環(huán)節(jié)教學(xué)的核心，教材編排從提出合理猜想起步。因?yàn)楹锨橥评硎恰鞍l(fā)現(xiàn)真理”的思維，它是形象思維最直接的層面，只要建立在合理的問題情境之上，猜想并不用“教”，它是順其自然而生的思維，學(xué)生根據(jù)先前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，水到渠成地提出了對算法的合理猜想。本課例的教學(xué)實(shí)踐中，預(yù)設(shè)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想和假設(shè)驗(yàn)證三個(gè)層次的驗(yàn)證方法，結(jié)合學(xué)生的學(xué)情相機(jī)出示。其中，數(shù)形結(jié)合的驗(yàn)證方法清晰呈現(xiàn)了算理;轉(zhuǎn)化的驗(yàn)證方法實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的滲透;假設(shè)驗(yàn)證法是教師在學(xué)生“驗(yàn)算”經(jīng)驗(yàn)的層面上適當(dāng)提升所得，這一假設(shè)推理整理、疏導(dǎo)已有的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)和思路，這一理性的“感悟”為后續(xù)探究奠定了理性思維的基石。

2.舉例驗(yàn)證

（1）談話組織研究。

明確：大量舉例。

組織探究。

（2）學(xué)生自主驗(yàn)證，教師巡視。

（3）展示交流，分層出示。

預(yù)設(shè)：

A.一般情況：[45]÷[25]=? 。

B.特殊情況，如：[67]÷[57]=? 。追問：為什么不轉(zhuǎn)化成小數(shù)來驗(yàn)證？

C.特殊情況，如[49]÷[89]=? 。

（4）小組交流，追問：你們舉的例子中有反例嗎？

3.歸納結(jié)論

談話回顧。（相機(jī)板貼：猜想，驗(yàn)證，歸納）

本環(huán)節(jié)的探究主要組織學(xué)生經(jīng)歷合情推理中的不完全歸納。由于學(xué)生已經(jīng)有一定的探究經(jīng)驗(yàn)，所以會(huì)想到用舉例驗(yàn)證的方法進(jìn)行研究，但學(xué)生容易先入為主，所舉的例子太過單一，使得探究的有效性大大降低，故通過提問設(shè)疑來組織教學(xué)探究活動(dòng)，讓學(xué)生充分暴露認(rèn)知的局限性，在交流中形成有效舉例探究的共識(shí)，同時(shí)通過“反例意識(shí)”來組織學(xué)生完結(jié)這一階段的不完全歸納的探究之旅。學(xué)生在所經(jīng)歷的“非形式”思維過程中，反思與質(zhì)疑、思維與表達(dá)等能力均得到了提升，從而為逐步抽象形成理性思維架起了溝通的橋梁。

四、經(jīng)歷“演繹推理”，呈現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)

演繹推理也稱為邏輯推理，是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。第三學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“演繹推理”是用于數(shù)學(xué)證明和研究的主要手段，但是小學(xué)生的抽象能力尚有限，過于理性的學(xué)術(shù)抽象顯然會(huì)讓學(xué)生在斷層的思維中迷失方向，如何能真正“演繹”出數(shù)學(xué)理性的嚴(yán)謹(jǐn)呢？

探究活動(dòng)二：異分母分?jǐn)?shù)相除（練一練）

1.談話設(shè)疑

預(yù)設(shè)：

A.舉例驗(yàn)證。

B.轉(zhuǎn)化成同分母。

出示“練一練”，談話組織研究。

2.展示交流

（1）轉(zhuǎn)化成同分母計(jì)算;數(shù)形結(jié)合明確算理。（相機(jī)板貼）

（2）直接乘倒數(shù)計(jì)算。

3.觀察比較，溝通聯(lián)系

追問：用第二種方法只驗(yàn)證了這一個(gè)例子，還需要更多的例子進(jìn)行驗(yàn)證嗎？

小結(jié)。（相機(jī)板書）

本環(huán)節(jié)的教學(xué)主要組織學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的探究學(xué)習(xí)過程。由于學(xué)生的思維層次不同，再加上先前同分母分?jǐn)?shù)相除的研究，針對“異分母分?jǐn)?shù)相除”的研究，學(xué)生水到渠成地形成了兩種探究的思路，這完全是學(xué)生思維能力原生態(tài)的呈現(xiàn)，理性的思維花火在以上兩個(gè)層次的交流和推進(jìn)中得以進(jìn)一步迸發(fā)。然而，在這里確定思路并非難處，教學(xué)中促進(jìn)理性思維提升的關(guān)鍵點(diǎn)在巧妙的追問：“利用這種方法進(jìn)行研究的學(xué)生，是不是遇到異分母分?jǐn)?shù)相除都要化成同分母分?jǐn)?shù)相除來計(jì)算呢？”教師設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察，讓學(xué)生在觀察中實(shí)現(xiàn)自我認(rèn)知的突破。通過本環(huán)節(jié)的探究學(xué)習(xí)，學(xué)生的思想從合情推理的“合理”體驗(yàn)逐漸上升為領(lǐng)略演繹推理的“嚴(yán)謹(jǐn)”魅力，那一層層推波助瀾式的表達(dá)交流讓數(shù)學(xué)理性抽象的線索逐漸清晰。教學(xué)中摒棄了字母抽象的形式，而是圍繞[35]÷[310]這一特例展開探究，但這絕不是摒棄簡潔、概括、輻射面廣的優(yōu)點(diǎn)。太過抽象的純教條化學(xué)術(shù)抽象完全脫離了小學(xué)生需求的“理性”，這種為了理性而理性的做法并非小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中理性教學(xué)的追求初衷。

小學(xué)階段的技能教學(xué)既要教“術(shù)”，也要教“理”，同時(shí)更要突出對基本數(shù)學(xué)思想的感悟和數(shù)學(xué)方法的積累。研究課例《分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)》，不僅幫助學(xué)生完整地統(tǒng)攝了分?jǐn)?shù)除法計(jì)算乃至除法計(jì)算的算法，同時(shí)促使教師進(jìn)一步思考和實(shí)踐計(jì)算教學(xué)的力量。教師應(yīng)意識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想之于數(shù)學(xué)教學(xué)的意義，而這樣的數(shù)學(xué)課堂才是真正“理性”的課堂，長此以往方能真正促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，讓小學(xué)數(shù)學(xué)課堂綻放理性思維的魅力火花。

作者簡介：姚翕蔚（1985— ），女，江蘇無錫人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 雷 靖）