石雅言，孫廣人

（安慶師范大學數(shù)理學院，安徽安慶246133）

令? 表示所有非負整數(shù)構成的集合，若? 的子集S滿足加法封閉，0 ∈S，且S關于? 的補集為有限集，則稱S是一個數(shù)字半群。設A是?的一個非空子集，用A表示由A生成的( ? ,+ )的幺子半群，即

設n是數(shù)字半群S的一個非零元，則數(shù)字半群S關于n的Apéry 集表示為Ap(S,n)=對于任意一個數(shù)字半群，只要確定了數(shù)字半群S中任一非零元n的 Apéry 集，則S的Frobenius數(shù)和虧格即可確定。數(shù)字半群的Frobenius問題是數(shù)字半群領域中的經(jīng)典問題[2-4]，對于嵌入維數(shù)為2的數(shù)字半群的Frobenius數(shù)和虧格的相關問題已經(jīng)得到解決。目前，對于嵌入維數(shù)大于2的數(shù)字半群的Frobenius數(shù)和虧格還沒有一般的計算公式。

設S是數(shù)字半群，p為正整數(shù)，則數(shù)字半群S的商表示為數(shù)字半群的商的Frobenius 問題是由線性Diophantine Frobenius 問題變形得來，假設n1,n2,…,np,d都是正整數(shù)，且，線性Diophantine Frobenius問題是找到最大的不屬于且整除d的數(shù)的計算公式，即數(shù)字半群的Frobenius 數(shù)。文獻[5]中已經(jīng)得出了形如的數(shù)字半群的Frobenius數(shù)和虧格的計算公式，本文研究的是形如的數(shù)字半群，通過d模3余數(shù)的不同，分成3種情況，通過確定該類數(shù)字半群的極小生成元系，進而得到Apéry集，最后得出3種情況下數(shù)字半群的商的Frobenius數(shù)和虧格的計算公式，并給出證明。

1 相關引理

引理1[1]設S是數(shù)字半群，p為正整數(shù)，則是數(shù)字半群當且僅當p∈S。

引理2[1]設a和b都是正整數(shù)，且gcd(a,b)=1，則

引理3[1]設S是數(shù)字半群，n是S中非零元，則Ap(S,n)={ 0 =w( 0 ),w( 1 ),…,w(n-1 )},其中w(i)是S中與i模n同余的最小的數(shù)，其中i∈{ 0 ,1,…,n-1 }。

引理4[1]設S是數(shù)字半群，n是S中非零元，則

2 主要結論

對于數(shù)字半群a,a+k,a+3k d，根據(jù)d模3 余數(shù)為0、1、2 得到3 種情況，下面給出3 種情況下數(shù)字半群a,a+k,a+3k d的Frobenius數(shù)和虧格的計算公式并證明。

定理1設數(shù)字半群S=a,a+k,a+3k，其中a，k為正整數(shù)，gcd(a,k)=1，a=sd，且d=3t，t為正整數(shù)，則F(S d)=s2t+ (k-t-1)s-k,g(S d)=[s2t+ (k-t-1)s-k+1 ]2。

證明由引理1 知是數(shù)字半群。由gcd(a,k)=1，知gcd(d,k)=1，任何屬于S的元素都可表示成ax+ (a+k)y+ (a+3k)z的形式，其中x，y，z為非負整數(shù)。要使屬于S的元素能被d整除，即d|ax+ (a+k)y+ (a+3k)z，所有形如[(a+k)y+ (a+3k)z]d的整數(shù)都滿足d|y+3z，其中y,z∈{ 0 ,1,…,d-1 }。 數(shù) 對 (y,z)滿 足d|y+3z，其 中y,z∈{ 0 ,1,…,d-1 }的 所 有 數(shù) 對 為(d-3,1 ),(d-6,2 ),…,( 0,t),…,(3 ,3t-1 ),[(a+k)y+ (a+3k)z]d的對應值為3st+k-2s,3st+k-4s,…,st+k,…,3st+3k+2s,顯然s∈S d，st+k∈S d，可得數(shù)字半群S d中每一個元素都可由集合{s,3st+k-2s,3st+k-4s,…,st+k,…,3st+3k+2s}線性組合生成，而{s,3st+k-2s,3st+k-4s,…,st+k,…,3st+3k+2s}中每一個元素都可由集合{s,st+k}線性表示，故因此S d=由gcd(s,k)=1知gcd(s,st+k)=1，再由引理2可得：

定理2設數(shù)字半群S=a,a+k,a+3k，其中a，k為正整數(shù)，gcd(a,k)=1，a=sd，且d=3t+1，t為正整數(shù)，則,

當s-1=3p時；

當s-1=3p+1時；

當s-1=3p+2時。

證明由引理1 知是數(shù)字半群。由gcd(a,k)=1，知gcd(d,k)=1，任何屬于S的元素都可表示成ax+ (a+k)y+ (a+3k)z的形式，其中x，y，z為非負整數(shù)。要使屬于S的元素能被d整除，即d|ax+ (a+k)y+ (a+3k)z，所有形如[(a+k)y+ (a+3k)z]d的整數(shù)都滿足d|y+3z，其中y,z∈{ 0 ,1,…,d-1 }。數(shù)對(y,z)滿足d|y+3z，其中y,z∈ { 0 ,1,…,d-1 }的所有數(shù)對為

[(a+k)y+ (a+3k)z]d的對應值為

顯然s∈S d，st+k+s∈S d，a+3k=3st+3k+s∈S d，可得數(shù)字半群S d中每個元素都由集合{ }s,3st+k-s,3st+k-3s,…,st+k+s,4st+2k,…,2st+2k+2s,…,3st+3k+3s線性組合生成。而集合{ }s,3st+k-s,3st+k-3s,…,st+k+s,4st+2k,…,2st+2k+2s,…,3st+3k+3s中每一個元素都可由集合{ }s,st+k+s,3st+3k+s線性表示，故因此S d=故由引理3知，

當s-1=3p時 ，,

當s-1=3p+1 時 ，,

當s-1=3p+2 時。

定理3設數(shù)字半群其中a，k為正整數(shù)，gcd( )a,k=1，a=sd，且d=3t+2，t為正整數(shù)，則，

證明由引理1 知是數(shù)字半群。由gcd(a,k)=1，知gcd(d,k)=1，任何屬于S的元素都可表示成ax+ (a+k)y+ (a+3k)z的形式，其中x，y，z為非負整數(shù)。要使屬于S的元素能被d整除，即d|ax+ (a+k)y+ (a+3k)z，所有形如[(a+k)y+ (a+3k)z]d的整數(shù)都滿足d|y+3z，其中y,z∈{ 0 ,1,…,d-1 }。數(shù)對(y,z)滿足d|y+3z，其中y,z∈ { 0 ,1,…,d-1 }的所有數(shù)對為[(a+k)y+ (a+3k)z]d的對應值為

顯 然s∈S d，st+2s+k∈S d，2st+2s+2k∈S d，a+3k=3st+2s+3k∈S d，可 得數(shù)字半群S d中每一個元素都可由集合

線 性 組 合 生 成 。 而 集 合 {s,3st+k,3st+k-2s,…,st+k+2s,4st+2k+2s,…,2st+2k+2s,5st+3k+2s,…, 3st+3k+4s}中每一個元素都可由集合{s,st+2s+k,2st+2s+2k,3st+2s+3k}線性表示，故因此故由引理3知，

則由引理4可得，

當s-2=3p時，

當s-2=3p+1時，

當s-2=3p+2時，

3 總 結