江西省萍鄉(xiāng)市湘東中學(xué) (337016) 彭小奇

近日學(xué)校組織的一次聯(lián)考，理科數(shù)學(xué)第20題是一道解析幾何題，涉及直線與圓、向量等內(nèi)容.命題組提供的參考解答是解析幾何的通法，但計(jì)算量較大，學(xué)生得分率較低.

一、試題重現(xiàn)

已知圓C過點(diǎn)(4,1)，(0,1)，(2,3)，過P(-2,0)的直線l與圓C交于M,N兩點(diǎn).

(1)若圓C′:(x+2)2+(y-4)2=9,試判斷圓C與圓C′的位置關(guān)系，并說明理由；

二、解法探究

常規(guī)解：(1)過程略，易得圓C:(x-2)2+(y-1)2=4,兩圓相外切;

圖1

三、教學(xué)感悟

一般地,學(xué)生在解題過程中用聯(lián)立方程的通法陷于繁雜的計(jì)算，茫然不知所措，反映出解析幾何解題教學(xué)中過于有重解題方法，輕數(shù)學(xué)本質(zhì)現(xiàn)象.實(shí)際上,解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題，是數(shù)與形的統(tǒng)一.解決解幾題首先應(yīng)充分利用平面幾何知識(如本例中解法4圓冪定理的運(yùn)用，求圓中弦長運(yùn)用弦心距，直線與圓錐曲線相交求弦長時(shí)，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)和幾何意義等)；其次是運(yùn)用代數(shù)、三角、向量等數(shù)學(xué)知識，這樣才能相得益彰.總之，數(shù)形結(jié)合是解析幾何的本質(zhì)，圖形直觀是高考重點(diǎn)考查的核心素養(yǎng).教學(xué)中只有注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，才能真正地提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.