甘肅省永昌縣第一高級中學 (737200) 張得南

學會學習是學生發(fā)展核心素養(yǎng)之一.開展研究性學習，也是培養(yǎng)學生學會學習的有效方法之一，而對學科課程教學內容中的問題、方法、規(guī)律的探究是研究性學習的形式之一.因此，我們在平時的教學中，要把研究性學習滲透到學科課程教學中，就要幫助學生樹立正確的學習觀念、激發(fā)學生學習的濃厚興趣、培養(yǎng)學生良好的學習習慣、使學生掌握科學的學習方法，通過學習實踐、自我審視，達到學習的最終目的.本文通過復習雙絕對值不等式恒成立問題為例，立足發(fā)展學生核心素養(yǎng)，助力學會學習,在此拋磚引玉，供同仁和學習者借鑒.

一、教學素材(不等式模塊復習結束后布置的課外作業(yè)，也是學習小組3提出的問題)

1.(2018年高考數(shù)學全國1卷)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

2.(2018年高考數(shù)學全國2卷)設函數(shù)f(x)=5-|x+a|-|x-2|.

(1)當a=1時，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范圍.

作業(yè)要求：分析題目考察的主要知識點；探索雙絕對值不等式問題的解題思路；總結解決恒成立問題的規(guī)律與方法.

點評：1.教學素材的確定，是不等式模塊復習完成后，學生對這一階段的所學內容已經(jīng)有了較為全面的理解和掌握之后進行的.準確確定有研究價值的教學素材，是復習課的關鍵之一，內容豐富的教學素材，對復習能起到事半功倍的效果.

2.選擇學生提出的問題為研究對象，并且提出作業(yè)要求，較好地體現(xiàn)了學生的主體地位，把主動獲取知識、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的權利還給了學生.

二、教學實施

(師)本節(jié)課我們來研究解決上節(jié)課布置的作業(yè).(即第3學習小組提出的問題)解含有絕對值不等式的基本思想是什么？

(生)去絕對值符號，使不等式變?yōu)椴缓^對值的不等式.

(師)很好，那么我們在解決含有雙個絕對值符號不等式的題目時，常用的方法有哪些？

(生)零點分段法去絕對值符號；利用絕對值的幾何意義去絕對值符號；利用數(shù)形結合法去絕對值符號.

(師)請兩個學習小組來展示這兩道題目的第一問解法.

(第1學習小組、第2學習小組分別展示)

(師簡單講評)

(師)現(xiàn)在我們研究從恒成立和有解問題可轉化為函數(shù)的最值問題這個角度來重新審視和解決含有2個絕對值符號不等式的問題——即這兩道題目的第二問.

(一)知識儲備

(第3學習小組展示)1.恒成立問題的轉化

(1)?x∈A,使得f(x)fmax(x);

(2)?x∈A,使得f(x)>a恒成立??x∈A,都有a

記憶口訣“參數(shù)a大于大的”“參數(shù)a小于小的”，簡記為：“取兩邊”．

(第4學習小組展示)2.有解問題的轉化

(1)?x∈A,使得f(x)fmin(x);

(2)?x∈A,使得f(x)>a有解??x∈A,有a

記憶口訣“參數(shù)a大于小的”“參數(shù)a小于大的”，簡記為：“取中間”．

(第7學習小組展示)3.含有兩個絕對值符號函數(shù)，形如“f(x)=|x+a|±|x+b|”的最值，利用絕對值的幾何意義可推導出以下結論：

(1)若f(x)=|x+a|+|x+b|,則fmax(x)無,fmin(x)=|a-b|；

(2)若f(x)=|x+a|-|x+b|,則fmax(x)=

|a-b|,fmin(x)=-|a-b|.

點評：通過學習小組自主合作、探究、總結知識規(guī)律，促使學生“要我學”變成“我要學”.

(二)實戰(zhàn)訓練(解決含參并且含有兩個絕對值不等式的高考題)

(師)同學們總結的很好，請哪位同學給我們舉出一些實例來強化訓練？

(第5學習小組展示)例1 關于x的不等式

|x+1|+|x-2|≤|a|存在實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.

(解答后由第6學習小組展示)解析：構造含兩個絕對值函數(shù)：令f(x)=|x+1|+|x-2|，根據(jù)題意，題目可轉化為有解問題，?x∈A，使得f(x)≤|a|有解??x∈A，有fmin(x)≤|a|．

參考結論：若f(x)=|x+a|+|x+b|,則fmax(x)無,fmin(x)=|a-b|，解得fmin(x)=3．

綜上所述，|a|≥3，解得a的取值范圍為{a|a≤-3或a≥3}．

(第2學習小組展示)例2 存在x實數(shù)使不等式|x-a|+|x-1|≤3成立，求a的取值范圍．

(解答后由第1學習小組展示)解析：構造含兩個絕對值函數(shù)：令f(x)=|x-a|+|x-1|，根據(jù)題意，題目可轉化為有解問題，?x∈A，使得f(x)≤m有解??x∈A，有fmin(x)≤m．

參考結論：若f(x)=|x+a|+|x+b|,則fmax(x)無,fmin(x)=|a-b|，解得fmin(x)=|a-1|．

綜上所述，|a-1|≤3，解得a的取值范圍為{a|-4≤a≤2}．

(第6學習小組展示)例3 設a,b∈R,|a-b|>2，求關于實數(shù)x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集．

(解答后由第4學習小組展示)解析：構造含兩個絕對值函數(shù)：令f(x)=|x-a|+|x-b|，根據(jù)題意，題目可轉化為恒成立問題，即?x∈A，使得f(x)>2恒成立??x∈A，都有2

參考結論：若f(x)=|x+a|+|x+b|,則fmax(x)無,fmin(x)=|a-b|，解得fmin(x)=|a-b|．

由題意知|a-b|>2，解得原不等式的解集為x∈R．

點評:自己提出問題，自己探究解決問題的這種“樂學善學”局面，這正是師生共同追求的目標.

(三)思維拓展

(由師生共同討論總結得出，師點撥、板書)

1.在解不含參的含有兩個絕對值不等式形如“|x+a|±|x+b|≥c，|x+a|±|x+b|≤c”問題時，可以利用含兩個絕對值符號函數(shù)形如“f(x)=|x+a|±|x+b|”的最值結論：

(1)若f(x)=|x+a|+|x+b|,則fmax(x)無,fmin(x)=|a-b|；

(2)若f(x)=|x+a|-|x+b|,則fmax(x)=

|a-b|,fmin(x)=-|a-b|.

2.已知f(x)=|Hx+b|+|x+c|，求f(x)的最小值(高考考試題型)其中H≥1，b和c中有一個是參數(shù)，一個是已知量.

(師)請哪位同學給再給我們舉出一些實例來強化訓練？

(第3學習小組展示)例1 若f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5，求實數(shù)a的值.

(第6學習小組展示)解析：∵H=2≥1,∴f(x)≥|x+1|+|x-a|,由|p|+|q|≥|p-q|得f(x)≥|(x+1)-(x-a)|=|a+1|,所以f(x)的最小值是|a+1|.由已知|a+1|=5，解得a=-6或4.

(第8學習小組展示)例2 若f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，求實數(shù)a的值.

點評：通過小組合作學習，自主總結、強化訓練、鞏固提高，進一步幫助學生掌握了有效的學習方法.

三、教學反思

1.以學生提出的問題為教學“引子”，調動了學生濃厚的學習興趣，放手引導學生進行探究，進一步刺激了學生主動探究問題的欲望和樂趣，培養(yǎng)了學生自主學習的意識與習慣.

2.研究性學習，打破了傳統(tǒng)課堂教學以灌輸為主的教學方式，教師成為了學生學習的引導者、合作者、促進者.特別是以小組合作交流學習，讓學生發(fā)現(xiàn)問題，并分析、探究、解決問題，有效地發(fā)展了學生的核心素養(yǎng).

3.本節(jié)課改變了學生原來那種被動的、偏重于死記、機械訓練的接受性學習方式，進而采用對知識進行主動探求、在探求中掌握知識、并重視解決實際問題的主動積極的學習方法，這是一種有利于學生終身學會學習、學會應用、學會創(chuàng)新的學習方式.