浙江省玉環(huán)中學 (317600) 李林靜

一、引言

“簡單的線性規(guī)劃問題”是人教版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學5》第三章教學內(nèi)容的一部分，該課教學分3課時，本課是第一課時，主要目的是讓學生體會數(shù)學知識形成過程中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，掌握處理代數(shù)問題的幾何方法，體會不等式是解決實際問題的重要數(shù)學模型和有效工具，形成良好的思維方式.學習本課之前，學生已掌握不等式的代數(shù)解法，及不等式的幾何意義，為本節(jié)課幾何方法作好了鋪墊.為此在教學策略上采用問題導向，問題研討，問題解決等方式實現(xiàn)知識的遷移拓展應用.本課教學目標是了解線性規(guī)劃的意義及線性規(guī)劃相關概念；能夠正確運用圖解法求解簡單的線性規(guī)劃問題；培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想及作圖能力，從中滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學建模等數(shù)學思想.

二、教學過程

1.呈現(xiàn)背景，提出問題

引例已知實數(shù)x,y滿足不等式組

圖1

生1：式[(ⅰ)+(ⅱ)]÷2，得0≤x≤2；式[(ⅰ)+(-1)×(ⅱ)]÷2，得0≤y≤2.

生2：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域(圖1)，得0≤x≤2，0≤y≤2.

設計意圖:通過讓學生求解x，y的取值范圍，鞏固前面不等式的相關性質(zhì)及二元一次不等式(組)與平面區(qū)域，分別從代數(shù)與幾何角度(圖解法)進行求解，建構(gòu)起知識間聯(lián)系的橋梁，體會數(shù)形結(jié)合的思想.

(3)4x+2y的取值范圍是.

生3：式(ⅰ)×3+(ⅱ)，得2≤4x+2y≤10.

生4：在(1)(2)基礎上得0≤4x≤8，0≤2y≤4，兩不等式相加得0≤4x+2y≤12.

師：為什么兩位同學解出的答案不一樣呢？

設計意圖:問題引導，激發(fā)學生尋找原因，引出下面內(nèi)容：聯(lián)想激活，尋求方法.一聯(lián)想前面學過的知識，從代數(shù)角度找原因；二引導學生從幾何角度尋方法，引出本課課題：簡單的線性規(guī)劃問題(1)——錯在哪兒.

2.聯(lián)想激活，尋求方法

生5：學生4的方法最值取不到，當最大值為12時，x=2，y=2，與已知不等式組中x，y不能同時取到2矛盾，x，y是相互約束的.(鞏固取最值時要驗證等號是否成立，同時為引出線性規(guī)劃相關概念作鋪墊.)

師：剛才同學們從代數(shù)角度進行了分析，能否從幾何角度再來分析下原因呢？

提示：同學3是圖1條件求解的，同學4是在哪個條件下求解的？請畫出該平面區(qū)域，并比較兩個平面區(qū)域來進行錯因分析.

圖2

設計意圖:通過問題導向驅(qū)動學生既要會從數(shù)的角度分析，也要會從形的角度進行更直觀的分析，充分體會數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學中的重要性.

師：如何從幾何角度(圖解法)求解4x+2y的取值范圍？

在此之前，先補充線性規(guī)劃的相關概念：

(1)由x,y的不等式(或方程)組成的不等式組稱為x,y的約束條件；

(2)關于x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式組稱為x,y的線性約束條件；

(3)滿足線性約束條件的解(x,y)稱為可行解；

(4)所有可行解組成的集合稱為可行域；

(5)關于x,y的一次目標函數(shù)稱為線性目標函數(shù)；

(6)使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解稱為最優(yōu)解；

(7)求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題稱為線性規(guī)劃問題.

師：目標函數(shù)4x+2y的幾何意義是什么？

設計意圖:鼓勵學生展開聯(lián)想，與直線聯(lián)系起來，引出第三部分：提出猜想，驗證猜想.

3.提出猜想，驗證猜想

生7：直線；

師：直線是方程式，而4x+2y是什么？

生8：代數(shù)式；

師：怎樣把目標函數(shù)寫成方程式？

生9：令z=4x+2y，這樣就變成了方程式，從而幾何意義就是直線.

師：直線z=4x+2y中z的幾何意義是什么？

生11：所有這些直線都平行.

圖3

師：不妨動手多畫幾條直線z=4x+2y，觀察一下.

生13：如圖3，把這些平行線進行平移，發(fā)現(xiàn)在左頂點(0,1)處縱截距有最小值1，即z的最小值為2；在右頂點(2,1)處縱截距有最大值5，即z的最大值為10.

師：在畫直線z=4x+2y時，需要畫很多條嗎？能否簡潔一些？

生14：只需先畫z=0時的直線，然后經(jīng)過平移求出其最優(yōu)解，代入即可得出其最值.

師：是否一定是在最高點處有最值？為什么？

生15：不一定，這與直線的斜率有關系.

師：是否存在x,y，使得z=4x+2y=12？

生16：不存在，因為取定的z必須滿足直線z=4x+2y與可行域有公共點.

師：請總結(jié)圖解法解線性規(guī)劃問題的一般步驟.

生17：①畫出可行域；②畫目標函數(shù)z=Ax+By=0時的直線，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大、最小的直線；③根據(jù)平移結(jié)果，先求區(qū)域內(nèi)特殊點的坐標，再求最優(yōu)解，最后代入目標函數(shù)求出最值.

師：簡寫為：畫、移、求.這樣我們分別從數(shù)與形兩方面分別對目標函數(shù)4x+2y的取值范圍進行了求解，并總結(jié)出了圖解法求解線性規(guī)劃問題的一般步驟；但這里要關注z的幾何意義(z與縱截距的相關性)，以及最優(yōu)解不一定在可行域的上下兩頂點取到.

師：剛才有同學提出在最高點(1,2)處取到最值，那請同學們自己設計一個目標函數(shù)，使得該目標函數(shù)在點(1,2)處取到最大值.

生18：目標函數(shù)z=x+3y在點(1,2)處取到最大值.

師：還有其他不一樣的目標函數(shù)嗎？

生19：其實這樣的目標函數(shù)有很多，只要讓斜率k滿足|k|<1，這個范圍內(nèi)的所有目標函數(shù)z=kx+y都可以.

師：能分析下原因嗎？

生20：可以設目標函數(shù)z=kx+y，經(jīng)過變形得y=-kx+z，先畫y=-kx，經(jīng)平移及旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)，當-k>1時，在點(0,1)處取到最大值；當-k<-1時，在點(2,1)處取到最大值，所以-1<-k<1，即-1

追問：答案完整嗎？等號是否取到？

圖4

生21：如圖4，當-k=1時，在邊AD上均取到最大值；當-k=-1時，在邊CD上均取到最大值；所以等號成立，所以滿足-1≤k≤1的所有k均可以.

師：從研究等號是否成立這個問題中，同學們還發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論及注意事項？

生22：①當k=±1時目標函數(shù)的最優(yōu)解不唯一；②斜率對最優(yōu)解的影響.

生23：同學18提出的目標函數(shù)z=x+3y中y的系數(shù)為3，而同學19提出的目標函數(shù)中y的系數(shù)為1，這不具有一般性，能推廣到一般性嗎？

師生同解惑：推廣到一般的目標函數(shù)z=ax+by，對b進行討論：

師：在推廣到一般性時，我們又發(fā)現(xiàn)了什么需要注意的地方？

生24：圖解法求目標函數(shù)最值要關注z的幾何意義(z與縱截距的相關性):若z隨截距的增加而增加，稱z與截距成正相關；若z隨截距的增加而減小，稱z與截距成負相關.

設計意圖:通過讓學生自編目標函數(shù)，激發(fā)學生學習興趣，提高學生主動探索的能力，并引導學生探究出以下幾點結(jié)論：

①在哪里取到最優(yōu)解有兩種思路：可以經(jīng)過平移得出，也可通過比較斜率大小得出；②在可行域的上下頂點能否取到最值與目標函數(shù)的斜率有關系；③最優(yōu)解不一定唯一；④圖解法求目標函數(shù)最值要關注z的幾何意義.

4.運用鞏固，內(nèi)化遷移

師：大家看到這些閥門圖片應該都不陌生，因為家鄉(xiāng)是有名的閥門之都，每個工廠經(jīng)常會遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，這就用到運籌學，而本節(jié)線性規(guī)劃正是運籌學最主要的一部分，通過數(shù)學建模把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來求解，所以線性規(guī)劃是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，集數(shù)與形于一身，下面我們來看具體實例：

例1 某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h,該廠每天最多從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，按每天工作8h計算，采用哪種日生產(chǎn)安排利潤最大？

師：面對繁雜冗長的應用題，該如何處理相關信息？

生25：列表：

所需材料產(chǎn)品類型 A配件(≤16)B配件(≤12)耗時t(≤8)甲401乙042

圖5

解：設甲、乙兩種產(chǎn)品分別日生產(chǎn)x,y件，利潤為z，則z=2x+3y，且約束條件為

點評:這里要注意可行域是由整點組成的一個區(qū)域，可行域內(nèi)的所有整點即為所有可行的日生產(chǎn)安排.在可行解為整點且個數(shù)比較少時求最值及最優(yōu)解有無更簡潔的方法？

生26：可以直接選擇相對較大的(x,y)代入嘗試即可得出最值及最優(yōu)解.

師：請歸納一下圖解法求解線性規(guī)劃實際應用問題的一般步驟.

生27：①根據(jù)已知條件寫出線性約束條件及目標函數(shù)；②畫出可行域；③平移目標函數(shù)找出與可行域有公共點且縱截距最大、最小的直線；④根據(jù)平移結(jié)論求出最優(yōu)解；⑤作出答案(還原成實際問題).

簡化為：寫、畫、移、求、答.

設計意圖:對如何求解線性規(guī)劃問題本節(jié)課從課后閱讀與思考出發(fā)進行了研討，成功突破一個重難點，而實際應用問題也是本節(jié)的一個重難點，這就需要建立數(shù)學模型將復雜的實際問題轉(zhuǎn)化為易于理解和操作的數(shù)學問題，再利用線性規(guī)劃求解，使學生在具體情境中感受并由此產(chǎn)生用數(shù)學知識解決實際生活中問題的愿望，體會不等式是解決實際問題的重要數(shù)學模型和有效工具，形成良好的思維方式，進一步明確數(shù)學問題源于生活并可用于生活，學好數(shù)學的目的在于應用.

5.回顧反思，拓展問題

請總結(jié)一下我們這節(jié)課學到了哪些知識(構(gòu)建知識框架)？

課后作業(yè)：教材P91：練習1，2;

練習3 已知函數(shù)f(x)=ax2-c，且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍；

練習4 設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

設計意圖:通過課本練習1鞏固圖解法求解線性規(guī)劃的一般步驟，并再次理解最優(yōu)解不一定在上下頂點取到，以及目標函數(shù)z的幾何意義；通過課本練習2促使學生面對實際應用問題該如何處理，明白數(shù)學源于生活，也應用于生活；另外補充了兩道練習，學生猛一看是前面知識內(nèi)容，自然而然會用前面知識求解，這兩道練習的目的是激發(fā)學生創(chuàng)設觀察、比較、歸納、探究老題新做，促使學生用線性規(guī)劃去求解，發(fā)現(xiàn)一題多解，多題歸一；另一方面提示學生在學習中要學會新舊知識之間的融匯貫通，及時去歸納總結(jié)，反思提升，建立起新舊知識間的橋梁.

三、教后反思

“數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建?！笔歉咧袛?shù)學六大核心素養(yǎng)的一部分.如何使該核心素養(yǎng)落實到教學實處？本課采用問題導學的方式激發(fā)學生的認知結(jié)構(gòu)，建立新舊知識間的聯(lián)系，促使學生從數(shù)、形兩方面學會數(shù)據(jù)分析，推理錯誤原因.利用問題串來調(diào)控教學，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)問題，質(zhì)疑探索，拓展問題，培養(yǎng)學生的問題意識、反思意識.通過解決問題、自編題目、推廣問題、歸納總結(jié)等靈活的教學手段，發(fā)展學生認識數(shù)學知識背后的一些通性通法，提高學生的邏輯思維能力；并引導學生面對繁雜冗長的實際應用問題，能夠建立相應的數(shù)學模型進行求解；通過課堂小結(jié)驅(qū)動學生建構(gòu)起本節(jié)內(nèi)容的知識框架；以及通過課下作業(yè)促使學生發(fā)現(xiàn)新舊知識間的聯(lián)系，提升學生歸納總結(jié)、一題多解、多題歸一的能力.因此設計有效的課堂教學內(nèi)容，創(chuàng)設導學功能強的問題，激發(fā)學生深入探索知識間的聯(lián)系和數(shù)學思想，探索數(shù)學學習的基本方法和步驟，達到對數(shù)學知識和概念的深入理解，是落實數(shù)學核心素養(yǎng)目標的基本途徑，也是核心素養(yǎng)下數(shù)學課堂教學追求的高度.