王邱玉

摘要：利用幾何畫板探究函數(shù)問題在教學上有很大的價值。二次函數(shù)是初中數(shù)學教學的重點內(nèi)容，學好二次函數(shù)，對學生在高中學習圓周曲線有一定的幫助。通過設(shè)計一系列的例題，從所有學生掌握的基礎(chǔ)題型出發(fā)，再通過幾何畫板探究分析動態(tài)問題，隨著題目的改變，不斷發(fā)展學生的探索和推理能力，題目的層層深入符合學生思維的發(fā)展規(guī)律，這對二次函數(shù)學習的通性通法有很大的幫助。同時，還能引導學生通過構(gòu)造思想去解決多種問題。

關(guān)鍵詞：幾何畫板;二次函數(shù)最值問題;數(shù)形結(jié)合

一、幾何畫板在函數(shù)教學中應(yīng)用的可行性、必要性與教學價值分析

函數(shù)的性質(zhì)是通過圖象歸納總結(jié)出來的，因此，用好圖象是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵。圖象能使抽象的數(shù)學問題變得具體、形象，使復雜的“數(shù)”通過直觀的“形”來表示。因此，我們?nèi)裟芾煤脭?shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，就可有效解決函數(shù)問題。

現(xiàn)今計算機技術(shù)在教學中的應(yīng)用已越來越普遍，計算機技術(shù)的運用不僅可以有效提高教學效率，還可很好地調(diào)動學生學習的積極性。作為優(yōu)秀的教學軟件，幾何畫板可以動態(tài)計算、展示幾何模型及幾何對象運動變化規(guī)律，正是實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想的有效輔助教學工具。幾何畫板與數(shù)學教學有機結(jié)合，可以使教學內(nèi)容更生動形象，并且富有多樣性與趣味性，有助于學生建構(gòu)數(shù)學知識尤其是函數(shù)知識體系。在“浙教版”九年級上冊第一章二次函數(shù)的閱讀材料部分“探索函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”的教學中，我向?qū)W生引入了幾何畫板。幾何畫板可動態(tài)研究參數(shù)對函數(shù)圖象變化的影響，其在數(shù)學教學尤其是函數(shù)教學中的應(yīng)用已勢在必行。

從教上看，幾何畫板能更便捷地將數(shù)學知識形象化，便于教師的教學;從學上看，學生通過幾何畫板的演示，一方面可以更清晰明了地理解函數(shù)及動態(tài)問題，另一方面有利于他們清晰地把握問題，由靜到動，利用幾何畫板學會探究函數(shù)的方法，學會研究新問題的方法。通過幾何畫板在學習中的應(yīng)用，學生能夠提高分析問題的能力，逐漸學會用數(shù)學眼光觀察世界，逐步具備探究新問題的能力，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

二、二次函數(shù)最值問題研究的必要性

考綱要求學生能確定簡單實際問題中的函數(shù)的自變量的取值范圍及函數(shù)值范圍，能結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析對變量的變化情況進行初步討論，利用函數(shù)解決實際問題。近幾年各地的中考試題也往往圍繞二次函數(shù)的相關(guān)知識點，通過聯(lián)系實際問題和含參問題考查函數(shù)的最值。

在教學中，我發(fā)現(xiàn)學生其實都知道數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要方法，也知道圖象很重要，但總是不習慣或者說不知道該如何用圖象來解決問題。因此，利用幾何畫板幫助學生分析此類問題，并培養(yǎng)學生具備通過數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題的能力已迫在眉睫。教師應(yīng)通過研究二次函數(shù)的最值問題，使學生掌握解決函數(shù)問題的通性通法。

三、幾何畫板在二次函數(shù)最值問題中的應(yīng)用淺析

（一）分析緣起

分析緣起于2015年天津中考第25題：

已知二次函數(shù) y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）.

（1）當b=2，c=-3時，求二次函數(shù)的最小值;

（2）當c=5時，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應(yīng)，求此時二次函數(shù)的解析式;

（3）當c=b2時，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時二次函數(shù)的解析式.

第一小題是直接考查二次函數(shù)的最值，學生可利用公式或?qū)⒑瘮?shù)變形為頂點式求取，較為簡單。第二小題需要求解參數(shù)b，其中關(guān)鍵條件為“只有一個自變量x的值與其對應(yīng)”，“此時”即考查二次函數(shù)圖象的對稱性，根據(jù)圖象可知“此時”即為函數(shù)最值。解決此小題需要通過函數(shù)圖象來幫助記憶函數(shù)的性質(zhì)，難度中等。而第三小題不僅給定了自變量的取值范圍，同時還在取值范圍中增加了參數(shù)，大大提高了難度，但若是能通過幾何畫板對問題進行動態(tài)分析，問題便迎刃而解。

此題的核心考點為二次函數(shù)的最值問題，難點除了增加了參數(shù)，還在于函數(shù)本身的最值并不一定處于自變量的取值范圍內(nèi)。因此，學生若不能通過圖象來分析自變量的取值范圍與函數(shù)圖象的關(guān)系，而是僅僅通過背公式來求解，就會出現(xiàn)錯誤。

（二）設(shè)計理念

通過改編課本例題，我設(shè)計了一個課前小測：“某農(nóng)場擬建四間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻長20 m），中間用三道墻隔開。已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50 m，求這四間飼養(yǎng)室的總占地面積的最大值?！迸闹?，我對學生的解答情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)解析式正確率高達87%，取值范圍正確率為56%，最值正確率為48%，利用圖象解決的同學為8%。

由以上數(shù)據(jù)我們不難發(fā)現(xiàn)，學生的問題其實主要體現(xiàn)在沒有關(guān)注到取值范圍，能正確求出取值范圍的學生往往最終能正確求解，這是由于他們關(guān)注到了取值范圍與最值之間的關(guān)系。但是可惜的是，這兩項的正確率較低。歸根結(jié)底，大部分學生在求解二次函數(shù)的最值問題時，仍停留在套取公式的階段，而不能真正理解最值是如何產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的。更可惜的是，能利用圖象來解決最值問題的學生少之又少。如果能利用圖象，運用數(shù)形結(jié)合，更好地分析函數(shù)自變量的取值范圍及對稱軸是否在自變量取值范圍內(nèi)對最值產(chǎn)生的影響，學生便能較好地解決二次函數(shù)的最值問題。學生其實都知道數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要方法，也知道圖象很重要，但總是不習慣或者說不知道該如何用圖象來解決問題。

為解決這一問題，我將題目層層剖析，追本溯源，以培養(yǎng)學生利用圖象，通過數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法來解決函數(shù)問題的能力和習慣。由此，我設(shè)計了一系列的題目，一方面培養(yǎng)學生通過數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題的能力和習慣;另一方面，通過研究二次函數(shù)的最值問題，使學生掌握解決該問題的通性通法。

（三）課堂實踐

首先，我們回歸到問題的本質(zhì)，在給定自變量取值范圍下求解二次函數(shù)的最值，我設(shè)計了例題1：請分別求出在下列條件下，函數(shù)y=x2-4x+2的最小值和最大值：（1）x取任意實數(shù);（2）-2≤x≤3;（3）-2≤x≤1.

在解決例1的第（2）（3）兩問時，學生往往容易被思維定式主導，直接考慮最小值在頂點處求得、最大值在端點處求得，而未考慮對稱軸是否在取值范圍內(nèi)，因此出錯率極高。此時，我們?nèi)裟芾脦缀萎嫲?，通過對取值范圍進行動態(tài)變化，就能讓學生直觀地看到自變量的取值范圍對函數(shù)圖象和函數(shù)最值的影響。因此，我在幾何畫板中制作了y=x2-4x+2的函數(shù)圖象，并設(shè)計了一段取值范圍為-2≤x≤a的對應(yīng)函數(shù)，將數(shù)據(jù)a進行拖動，使學生看到自變量取值范圍是如何影響函數(shù)最值的。

通過幾何畫板的觀察及之后的探討分析，一方面，學生可以體會到用圖象解決最值問題的便利性與必要性;另一方面，學生在探究解題時會思考該如何用圖象以及在使用圖象時應(yīng)關(guān)注什么，即對稱軸與取值范圍的關(guān)系。

之后，我將例1進行了兩次變形，將題目由靜到動進行了變形。一個是在取值范圍上增加參數(shù)，即例2：當-2≤x≤a時，求函數(shù)y=x2-4x+2的最值（可用a表示）;另一個是在解析式上增加參數(shù)，即例3：當-2≤x≤1時，求函數(shù)y=x2-4mx+2的最小值（可用m表示）。

這兩個板塊的設(shè)計意圖有以下三點。首先，我希望通過不斷地重復強化，讓學生逐漸習慣用圖象來解決問題;其次，也讓學生感悟到無論題目如何變化，解決這類問題的方法是不變的，利用圖象可以幫助我們化難為易、化繁為簡;再次，層層遞進，逐漸增加題目的難度，更設(shè)置了終結(jié)挑戰(zhàn)題，以滿足不同能力學生的需求，讓所有學生都能獲得提高。

例2看似與例1的幾何畫板演示一樣，那么為何要設(shè)計例2呢？這并不是多此一舉。要知道，學生在考試時是不可能利用幾何畫板來解決問題的，因此，幾何畫板在教學中的作用主要是讓學生直觀感悟圖象，并理解動態(tài)變化對圖象所帶來的影響。在用完幾何畫板之后，一定要及時地讓學生進行相似題的練習，從而將幾何畫板中感悟到的直觀經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為自身的實踐經(jīng)驗，這樣才能使學生真正學會用圖象解決最值問題。

當例3展示給學生時，它又給學生帶來了新的難點沖擊。它從自變量范圍的變化轉(zhuǎn)變成了解析式的變化。此時，我們就要再一次引入幾何畫板。這次，我在幾何畫板中制作了y=x2-4mx+2的函數(shù)圖象，并設(shè)計了一段取值范圍為-2≤x≤1的對應(yīng)函數(shù)。在幾何畫板中我們可以清楚地看到，這個動態(tài)函數(shù)的變化實際上主要源于對稱軸x=2m的變化，因此我們可以將x=2m進行拖動。

我通過這次幾何畫板的演示，一方面，通過不斷地重復強化，讓學生逐漸習慣用圖象來解決問題;另一方面，也讓學生感悟到無論題目如何變化，解決函數(shù)問題的方法是不變的，利用圖象可以幫助我們化難為易、化繁為簡。

對應(yīng)地，我又設(shè)計了一個變式：當-2≤x≤1時，函數(shù)y=-（x-m）2+m2+1的最大值為4，試著求m的值。讓學生真正內(nèi)化通過幾何畫板所掌握的利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法解決函數(shù)最值問題。

經(jīng)過一系列層層遞進、步步深入的訓練，學生已能初步利用圖象來分析問題，并能抓住問題變化過程中的不變性，通過研究對稱軸與自變量取值范圍之間的關(guān)系來突破解決問題的難點。根據(jù)之前兩次利用幾何畫板觀察分析問題的經(jīng)驗，我們可以發(fā)現(xiàn)前文提到的2015年天津中考第25題的第（3）小題可以分三類進行作圖討論，分別是：對稱軸在取值范圍左側(cè)，對稱軸在取值范圍內(nèi)，對稱軸在取值范圍右側(cè)。接下來，可以根據(jù)圖形分別求出三種情況下的函數(shù)最小值，根據(jù)已知最小值為21即可求出b的值，進而求出二次函數(shù)的解析式。

四、總結(jié)

我們不難發(fā)現(xiàn)，利用幾何畫板幫助學生分析二次函數(shù)的最值問題，不僅能培養(yǎng)學生利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題的能力和習慣，還能充分調(diào)動學生學習的積極性。筆者設(shè)計一系列的例題，從所有學生掌握的基礎(chǔ)題型出發(fā)，再通過幾何畫板不斷探究分析新的動態(tài)問題。隨著題目的改變、深入，一方面能滿足不同層次學生的需求;另一方面，層層深入的改變更符合學生的發(fā)展規(guī)律，在課堂中不斷發(fā)展學生的探索和推理能力，這對二次函數(shù)學習的通性通法有很大的幫助。

一系列的探究過程，能夠引領(lǐng)學生利用幾何畫板分析函數(shù)問題及動態(tài)幾何問題。這樣，我們通過研究二次函數(shù)的最值問題，不僅可以使學生掌握解決最值問題的方法，更可使學生掌握解決、探究函數(shù)問題的通性通法，為學生研究動態(tài)問題（含幾何動態(tài)問題）打開了新的思路，對學生后續(xù)學習圓周曲線也會有幫助。

此外，利用幾何畫板教學，有利于學生對問題有清晰的把握。通過由靜到動地利用幾何畫板探究函數(shù)問題，學生學會了研究新問題的方式。通過幾何畫板在教學中的應(yīng)用，學生能夠提高分析問題的能力，逐漸學會用數(shù)學眼光觀察世界，逐步具備探究新問題的能力，最終形成“數(shù)學建?！钡暮诵乃仞B(yǎng)。

我們平時在教學中可以多利用幾何畫板讓學生形象直觀地感知復雜抽象的數(shù)，幫助學生構(gòu)建函數(shù)及幾何的知識體系，引領(lǐng)學生學會自己探究數(shù)學問題，充分調(diào)動學生的學習積極性。這對教學實踐有極其重要的意義，對學生后續(xù)的探究學習有著極其深遠的影響。

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（責任編輯：韓曉潔）