許少華

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 設集合A= {x│-2

A. （0， 2） ? ? ? ? ? ? ? ? B. （-2， 4）

C. （-2， 0）∪（2， 4） ? ?D. （-2， 0]∪[2， 4）

2. 已知復數(shù)z1=2+i， z1·z2 =2-i，則復數(shù)z2的共軛復數(shù)為 （）

A. ■+■i? ? ?B. -■-■i? ? ?C. ■-■i? ? ?D. -■+■i

3. 設f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當x≤0時，f（x）=2x+log2（x2+1）+a （a為常數(shù)），則f（1）=（）

A. ■B. 1C. -1D. -■

4. 據(jù)統(tǒng)計中國人民政治協(xié)商會議第十二屆全國委員會到會委員有1500名，從中抽取150名對他們的年齡進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖，其中年齡在[30，40）的委員人數(shù)為30人，則估計年齡在[60，80）之間的委員人數(shù)為（）

A. 150? ? ? ? ? B. 200? ? ? ? ? C. 225? ? ? ? ? D. 250

5. 已知雙曲線C ∶ ■-■=1（a>0，b>0）的焦距為2c，焦點到雙曲線的漸近線的距離為■，則雙曲線C的離心率為（）

A. 2 B. 3 C. ■ D. ■

6. 若？琢為銳角，且cos（+■）=■，則sin（+■）=（）

A. ■B. ■C. ■D. ■

7. 如圖所示，正方體AC1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為點H，則以下命題中，錯誤的命題是（）

A. 點H是△A1BD的垂心

B. AH垂直于平面CB1D1

C. AH的延長線經(jīng)過點C1

D. 直線AH和BB1所成角為45°

8. 若△ABC的三邊長a，b，c滿足a=4sinB，sin2AsinC=■且，則△ABC的面積為（）

A. ■ B. ■ C. 25 D. 24

9. 如圖，ABCD為等腰梯形，若CD=■AB=4，且梯形面積為20，當E為BC中點，F(xiàn)，G分別為DA的三等分點時，■·■ 的值為 （）

A. -■B. -■

C. -■D. -■

10. 已知函數(shù)f（x）=Asin（x+）（A>0，>0，<■）， 在一個周期內(nèi)的圖像如右圖所示，函數(shù)f（x）的圖像向右平移■后得到g（x）的圖像，則g（x）的一個單調(diào)區(qū)間為 （）

A. （0，■）? B. （■，■）

C. （-■，■）D.（-■，■）

11. 拋物線y=2x2一條弦的垂直平分線l的斜率為2，則l在y軸上截距的取值范圍為（）

A. （■，+∞）B.（■，+∞）

C. （■，+∞）D.（■，+∞）

12. 若函數(shù)f（x）=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+3a（sinx-cosx）+（2a+1）x在（-■，0）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（）

A. [-1，■]B. [-1，■]C. [-1，■]D. [-■，1]

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.（1+x）3（1+■）3的展開式中，含■的項的系數(shù)是_______.

14. 設點P（x， y）滿足：x+y-3≤0，x-y+1≥0，x≥1，y≥1，則■的取值范圍是_______.

15. 已知A、B、C、D四點在半徑為■的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=■，AB=CD，則三棱錐D-ABC的體積是_______.

16. 點P（2，2），圓C ∶? x2+y2-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A， B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點. 若OP=OM，則△POM的面積為_______.

三、解答題：共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答. 第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（本小題滿分12分）已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的前 n項和為Sn，滿足S6=■且a2， a4， a3成等差數(shù)列.

（1）求等比數(shù)列 {an} 的通項公式.

（2）設數(shù)列{bn}滿足bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn .

18.（本小題滿分12分）在三棱錐A-BCD中，AB=AD=BD=2，BC=DC=■，AC=2.

（1）求證：面ABD⊥面BCD;

（2）點P 在AC上，若二面角P-BD-A為60°，求■的值.

19.（本小題滿分12分）張先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有L1， L2兩條路線（如圖），L1 路線上有A1， A2， A3三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為■;L2路線上有B1， B2兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為■，■.

（1）若走L1 路線，求最多遇到1次紅燈的概率;

（2）若走L2 路線，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學期望;

（3）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由.

20.（本小題滿分12分）已知■+■=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)1F2=2■，點P在橢圓上，tan∠PF2F1 =2且△PF1F2的面積為4.

（1）求橢圓的方程.

（2）點B（1，■）是橢圓上的一定點，B1， B2是橢圓上的兩動點，且直線BB1與BB2關于直線x=1對稱，試證：直線B1B2的斜率為定值.

21.（本小題滿分12分）函數(shù)f（x）=a·ex，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖像在其與坐標軸的交點處的切線互相平行.

（1）求此平行線的距離;

（2）若存在x使不等式■>■成立，求實數(shù)m的取值范圍;

（3）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數(shù)x0，我們把f（x0）-g（x0）的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差. 求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

（二）選考題：共10分. 請考生在第22、23題中任選一題作答. 如果多做，則按所做的第一題計分.

22.（本題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線C1：x=cos？茲，y=sin？茲（？茲為參數(shù)），曲線C2：

x=■t-■，y=■（t為參數(shù)）.

（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數(shù);

（Ⅱ）若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C1′， C2′. 寫出C1′， C2′的參數(shù)方程. C1′與C2′公共點的個數(shù)和C1與C2公共點的個數(shù)是否相同？說明你的理由.

23. 選修4-5：不等式選講

對于函數(shù)f（x）= ax2+bx+c

（1）若f（x）>0的解集為{x│10的解集.

（2）若在x=-1， 0， 1三點處的函數(shù)值的絕對值均不大于1，則x∈[-1， 1]時，求證：ax+b≤2.

2020年全國高考理科數(shù)學模擬試題參考答案

一、選擇題

1. D. A={x│-2

2. A. 由z1=2+i，z1·z2=2-i？圯z2=■=■-■i

所以，復數(shù)z2的共軛復數(shù)為■+■i .

3. D. 由f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，可知f（0）=1+a = 0，∴ a=-1. 于是f（-1）=■+1-1=■，∴ f（1）=-■.

4. C. 年齡在[30，40）的委員人數(shù)為30人，所占頻率為■=10b，所以b=0.02，根據(jù)頻率分布直方圖知（0.005+2a+0.015+0.02+0.04）×10=1，解得a=0.01，所以年齡在[60，80]之間的頻率為（0.01+0.005）×10=0.15，估計年齡在[60，80]之間的委員人數(shù)為1500×0.15=225.

5. B. 不妨設右焦點F2（c，0），漸進線方程為l ∶ bx-ay=0，則點F2（c， 0）到l ∶? bx-ay=0的距離為■=b，則b=■？圯9b2=8c2？圯e=3.

6. A. 由cos（+■）=■？sin（+■）=■.

于是sin（+■）=2sin（+■）cos（+■）=2×■×■=■.

cos（+■）= cos2（+■）-sin2（+■）=■，

sin（+■）=sin[（+■）-■]=sin（+■）cos■-cos（+■）sin■=■.

7. C. 在A中，△A1BD為等邊三角形，所以三心合一.∵AB=AA1=AD，∴ H到△A1BD各頂點的距離相等，即H為外心垂心，∴ A正確;∵CD1∥BA1 ，CB1∥DA1，CD1∩CB1=C，∴平面CD1B1∥平面A1BD. ∴ AH⊥平面CB1D1，∴ B正確;連AC1，則AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴ AC1⊥BD同理AC1⊥BA1. ∴ AC1⊥平面A1BD. ∴ A、H、C1三點共線，∴ C正確.

8. B. 由a2=abcos C+bccosA？圯a2=ab·■+bc·■，

得a=b？圯sinA=sinB.

由a=4sinB 2RsinA=4sinB 2RsinA=4sinA R=2.

sin2AsinC=■ sinAsinBsinC=■.

那么△ABC的面積S=■absinC=■（2RsinA）（2RsinB）sinC=2×22×■=■.

9. C. 由CD=■AB=4及面積為20可得梯形的高為4. 以AB為x軸，AB的中垂線為y建立直角坐標系，則A（-3， 0），B（3， 0），E（■， 2），G（-■， ■），F(xiàn)（-■， ■）.

那么■=（-■，■），■=（■，■），于是■·■=-■×■+■×■=-■.

10. C. 由圖像知A=2，T= 4[■-（-■）]=4 ，

那么■= 4 ， =■，所以f（x）=2sin（■+ ）.

又由f（-■）=0，即2sin（-■+ ）=0結合 <■，得 =■.

即f（x）=2sin（■+■）， 而g（x）=2sin[■（x-■）+■]=2sin■.

由2k -■≤■≤2k +■ 4k - ≤x≤4k + ，結合選項可得C.

11. D. 設弦兩端點分別為A（x1， y1），B（x2， y2），l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b;過點A、B的直線方程可寫為y=-■x+m，所以x1， y2滿足方程2x2+■x-m=0，得x1+x2=-■，A、 B為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式△=■+8m>0，即m>-■;設AB的中點N的坐標為（x0，y0），則x0 =-■，y0 =-■x0+m=■+m.

由于N∈l，得■+m=-■+b，于是b=■+m>■-■=■.

12. D. 由于f ′（x）=-2sin2x+3a（cosx+sinx）+2a+1

=-2（cosx+sinx）2+3a（cosx+sinx）+2a+3≥0恒成立.

由于cosx+sinx=■sin（x+■），因為x∈（-■，0），得-1≤cosx+sinx≤1.

令g（t）=-2t2+3at+2a+3（-1≤t≤1），欲使g（t）≥0恒成立，只需 g（-1）≥0，g（1）≥0，即-2（-1）2+3a×（-1）+2a+3≥0，-2+3a+2a+3≥0 -■≤a≤1

二、填空題

13. 15. （1+x）3（1+■）3=（1+3x+3x2+x3）（1+■+■+■），其中含■項是1×■+3x×■+3x2×■=■. 故（1+x）3（1+■）3的展開式中含■的項的系數(shù)是15.

14.[-■，■]. 不等式組x+y-3≤0，x-y+1≥0，x≥1，y≥1所以表示平面區(qū)域，如圖，根據(jù)t的幾何意義，t 值即為區(qū)域內(nèi)的點與坐標原點連線的斜率，顯然OA的斜率■最小，OB的斜率2最大，即■≤t≤2. 由于函數(shù) f（t）=■-t在[■，2]上單調(diào)遞減，故-■≤ f（t）≤■.

15. 20. 因為AC=BD=5，AD=BC=■，AB=CD，可以構造長方體，如圖設該長方體的長、寬、高分別為x，y， z由已知可得：

x2+y2+z2=（5■）2，x2+y2=25，y2+z2=41

x2=9，y2=16??=xyzz2=25=3×4×5=60.

那么，三棱錐D-ABC的體積為VABCD =V-4×■xyz=60-40=20.

16. ■. 設M（x， y），則■⊥■，

于是（x， y-4）·（x-2， y-2）=0，即N ∶ （x-1）2+（y-3）2=2此為點M的軌跡方程 .

由于OP=OM，故O在線段PM的垂直平分線上. 又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3，所以l的斜率為■，故l的方程為y=-■x+■.

又OP=OM=2■，O到l的距離為■，PM=■，所以△POM的面積為■.

三、解答題

（一）必考題

17.（1）設數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，

由題意得S6 =■，a2+a3=2a4? ■ =■，a1q+a1q2=2a1q3 a1=3，q=-■.

從而an=a1qn-1 =3（-■）n-1.

（2）由（1）得bn= 3n（-■）n-1，

由Tn=3×（-■）0+3×2（-■）+3×3（-■）2+…+3n×（-■）n-1……（1）-■Tn=3×（-■）+3×2（-■）2+3×3（-■）3+…+3n×（-■）n……（2）

（1）-（2）得■Tn =3×（-■）0+3（-■）+3（-■）2+…+3（-■）n-1-3n×（-■）n.

整理得：Tn =■-（2n+■）（-■）n.

18.（1）取BD中點E，連接AE，CE，∵AB=AD=BD=2，又E為BD中點，∴ AE⊥BD，AE=■，

同理可得：CE⊥BD，CE=1.

于是角∠AEC為二面角A-BD-C的平面角，由于AC=2得AE2 +CE2 = AC2，

即∠AEC=90°，故面ABD⊥面BCD.

（2）∵ AB=AD=BD=2，BC=DC=■，

∴ △BCD為直角三角形，且AE=■，CE=1，

∴? AE2 +EC2 = AC2，∠AEC=■，即AE⊥EC.

又AE⊥BD，所以AE⊥平面BCD，∴以E為坐標原點，EC為x軸，ED為y軸，EA為z軸建立如圖直角坐標系. ∴ B（0，-1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），A（0，0，■）.

設P（x0， y0， z0），■ = ■（0≤≤1），■（1，0，-■），■=（x0， y0， z0-■），∴（x0， y0， z0-■）= （1，0，-■）=（ ，0，-■ ），

∴x0 = ，y0 =0，z0 -■=-■ ，即x0= ，y0=0，z0=■-■ ，∴ P（？姿， 0， ■-■ ），

■ =（ ，1，■-■ ），■ =（0，2，0）.

設 ■=（x1， y1， z1）是平面BPD的法向量，

∴ ■·■ =0， ■·■ =0? x1+y1+（■-■ ）z1=0，2y1=0，令z1=■，得y1=0，x1=3-■，

∴ ■=（3-■， 0， ■）.

由于面PBD的法向量為 ■=（1， 0， 0），

∴cos？茲=cos< ■， ■>= ■=■ =■即■=■.

19. （1）設走L■路線最多遇到1次紅燈為A事件，則：

P（A）=C 03×（■）3+C 13×■×（■）2=■.

所以走L■路線，最多遇到1次紅燈的概率為■.

（2）依題意，知X的可能取值為0，1，2.

P（X=0）=（1-■）×（1-■）=■，

P（X=1）=■×（1-■）+（1-■）×■=■，

P（X=2）=■×■=■.

隨機變量X的分布列：

∴ E（X）=■×0+■×1+■×2=■.

（3）設選擇L■路線遇到紅燈次數(shù)為Y，隨機變量Y服從二項分布Y B（3，■），所以E（Y）=3×■=■.

因為E（X）

20.（1）由tan∠PF2F1=2？圯sin∠PF2F1=■，cos∠PF2F1=■.

由題意得：

■×2■·PF2×■= 4，PF12=PF22+（2■）2-2·PF2×（2■）×■？圯 PF1= 4，PF2= 2.

從而2a=PF1+PF2=4+2=6？圯a=3，結合2c=2■，得b2=4.

故橢圓的方程為■+■=1.

（2）設直線BB1的斜率為k，因為BB1與BB2關于直線x=1對稱，所以BB2的斜率為-k，于是BB1的方程為y-■=k（x-1），再設B1（x1，y1），B2（x2，y2）.

由y-■= k（x-1），■+■=1？圯（4+9k2）x2+6k（4■-3k）x+9k2-24■k- 4=0，因為該方程有一根為x=1，于是x1=■.

同理可得x2=■.

而■=■=■=■=■=■為定值.

21.（1）由于 f ′（x）=aex，g ′（x）=■，y= f（x）的圖像與坐標軸的交點為（0，a），y=g（x）的圖像與坐標軸的交點為（a，0），由題意得 f ′（0）=g′（a），即a=■.

又∵a>0，∴a=1. ∴ f（x）=ex，g（x）=lnx，∴函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖像在其坐標軸的交點處的切線方程分別為：x-y+1=0，x-y-1=0 ∴兩平行切線間的距離為■.? ?（4分）

（2）由■>■得■>■，故m

令h（x）=x-■ex，則m

當x=0時，m<0;

當x>0時， ∵h′（x）=1-（■ex+■ex）=1-（■+■）ex， ∵x>0，

∴■+■≥2■=■，ex>1，∴（■+■）ex>■.

故h′（x）=1-（■+■）ex<0.

即h（x）= x-■ex在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，故h（x）max=h（0）=0，∴ m<0.

故實數(shù)m的取值范圍為 （-∞， 0）.

（3）∵函數(shù)y= f（x）和y= g（x）的偏差為：F（x）= ex-lnx，x∈（0， +∞），

∴ F′（x）= ex-■，設x=x0為F′（x）= ex-■=0的解，

則當x∈（0， x0），F(xiàn) ′（x） < 0;當x∈（x0， +∞），F(xiàn) ′（x）> 0，∴ F（x）在（0， x0）單調(diào)遞減，在（x0， +∞）單調(diào)遞增.

故F′（1）= e-1>0，F(xiàn)′（0.5）=■-2<0 ∴■

又■-■=0，故∴ Fmin（x）=■-lnx0=■+x0>2■，

即函數(shù)y= f（x）和y= g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

（二）選考題

22.（Ⅰ）C1是圓，C2是直線. C1的普通方程為x2+y2=1，圓心C1（0，0），半徑r=1. C2的普通方程為x-y+■=0.

因為圓心C1到直線x-y+■=0的距離為1，所以C2與C1只有一個公共點.

（Ⅱ）壓縮后的參數(shù)方程分別為：

C1′： x=cos ，y=■sin （？茲為參數(shù)）;C2′： x=■t-■，y=■t（t為參數(shù)）.

化為普通方程為C1′：x2+4y2=1，C2′：y=■x+■，聯(lián)立消元得2x2+2■x+1=0，其判別式△=（2■）2-4×2×1=0，

所以壓縮后的直線C2′與橢圓C1′仍然只有一個公共點，和C1與C2公共點個數(shù)相同.

23.（1）由于 f（x）>0的解集為{x│1

a<0，1+3=-■， 1×3=■■=-4，■=3，-■=2.

于是，不等式x-■+x+■>■即為x-3+x-4>2.

由x-3+x-4>2？圯x<■或x>■.

故不等式x-■+x+■+■>0的解集 {x│x<■或x>■}.

（2）由? f（1）=a+b+c， f（-1）=a-b+c， f（0）=c？圯 a=■[? f（1）+f（-1）]-f（0）， b=■[? f（1）-f（-1）]， c= f（0）.

則ax+b≤max{a+b，a-b} .

由a+b=■[? f（1）+f（-1）]-? f（0）+■[? f（1）-f（-1）]≤f（1）-? f（0）≤2.

同理a-b≤2.

故ax+b≤2.

責任編輯? ?徐國堅