王佩其

眾所周知，新課標(biāo)高考全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題的最后一題，是一個(gè)分值為10分的選做題，要求二選一作答，其中一題考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程內(nèi)容，另一題考查不等式選講內(nèi)容. 從命題形式來(lái)看，兩個(gè)題目都是具有兩小問(wèn)的解答題;從難度上看，以中檔題為主;從考查目標(biāo)來(lái)看，主要考查考生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

高考命題一向堅(jiān)持穩(wěn)中有變不斷創(chuàng)新的原則. 在2020年的新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)的全國(guó)卷中，選做題會(huì)如何命題，本文分坐標(biāo)系與參數(shù)方程和不等式選講兩個(gè)部分加以預(yù)測(cè)，供考生參考.

一、坐標(biāo)系與參數(shù)方程

（一）考綱回眸

1. 了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況;

2. 了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化;

3. 能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程.

4. 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義;

5. 能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程.

（二）命題規(guī)律

高考對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程考查主要有以下兩方面：

（1）參數(shù)方程、極坐標(biāo)與曲線的關(guān)系;

（2）由參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程求解曲線的一些基本量，主要是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程（直線、圓、橢圓的參數(shù)方程）與普通方程的互化問(wèn)題及應(yīng)用等，考查知識(shí)點(diǎn)較為簡(jiǎn)單和穩(wěn)定.

（三）試題預(yù)測(cè)

【預(yù)測(cè)題1】在新中國(guó)成立周年國(guó)慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛(ài)之情. 在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線. 如圖1，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為ρ=1-sin？茲 （ρ=1-sin？茲， ρ>0），M為該曲線上的任意一點(diǎn).

（1）當(dāng) | OM | =■時(shí)，求M點(diǎn)的極坐標(biāo);

（2）將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)■與該曲線相交于點(diǎn)N，求 | MN | 的最大值.

【詳細(xì)解答】（1）設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（■，），

由ρ=1-sin，得■=1-sin，sin=-■. ∵ 0≤<2？ ■或=■.

所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（■， ■）或（■， ■）.

（2）由題意可設(shè)M（ρ1， ？茲），N（ρ2， ■）.

由ρ=1-sin得ρ1 =1-sin，ρ2 =1-sin（■+=1-cos

| MN |=■=■=■=■，

■時(shí)，| MN | 的最大值為■+1.

【考點(diǎn)說(shuō)明】本題背景新穎，主要考查極徑的幾何意義，三角函數(shù)的性質(zhì)，利用極徑的幾何意義是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

【預(yù)測(cè)題2】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為x=4cos，y=2sin（為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為x=1+cos，y=sin（為參數(shù)）.

（1）求曲線C1直角坐標(biāo)方程以及C2的極坐標(biāo)方程.

（2）若A（ρ1， ），B（ρ2， +■） 是曲線C1上的兩點(diǎn)，求■+■的值.

【詳細(xì)解答】（1）由題可得C1的普通方程為■+■=1，C2的普通方程為（x-1）2+y2=1，

∴將x= ρcos，y= ρsin代入C2的普通方程化簡(jiǎn)得C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos.

（2）將x= ρcos，y= ρsin代入C1的普通方程化簡(jiǎn)得C1的極坐標(biāo)方程為■+■=1，

將A（ρ1， ），B（ρ2， +■） 代入，得■+■=1，■+■=1，

∴ ■+■=（■+■）+（■+■）=■.

【考點(diǎn)說(shuō)明】本題考核參數(shù)方程和普通方程的互化，直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的互化，考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

【預(yù)測(cè)題3】在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2 cos 2？茲+8ρcos？茲=ρ2+8.

（1）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程;（2）曲線C2的方程為x=2+ tcos，y= tsin（t為參數(shù)），若曲線C1與曲線C2交于A、B兩點(diǎn)，且 | AB | =8，求直線AB的斜率.

【詳細(xì)解答】（1）由ρ2 cos 2+8ρcos=ρ2+8得ρ2 （2cos 2 -1）+8ρcos=ρ2+8，2ρ2 cos 2 +8ρcos=2ρ2+8，于是2x2 +8x=2x2 +2y2 +8.

∴ 曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2=4（x-1）.

（2）曲線C2是直線. 且過(guò)點(diǎn)P（2，? 0），傾斜角是？琢，將其參數(shù)方程代入曲線C1的方程得：t2sin 2 -4tcos？茲-4=0，∴ t1+t2=■，t1 t2=-■，于是 | AB | = | t1-t2 | =■=8，即（■）2-4（-■）=64，解得sin 2 ■，即sin■，∴ ■或=■，∴ k=tan=1或k=tan=-1，于是AB的斜率為 ±1.

【考點(diǎn)說(shuō)明】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

【預(yù)測(cè)題4】已知直線l過(guò)點(diǎn)（1， 0），傾斜角為60°，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為ρ2=■.

（1）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)F（1， 0），求■+■的值.

【詳細(xì)解答】（1）∵直線l過(guò)點(diǎn)（1， 0），傾斜角為60°，

∴可設(shè)直線l的參數(shù)方程為x=1+■t.y= ■t（t為參數(shù)），

∵曲線C的方程為ρ2=■，∴ 2ρ2+ρ2sin 2 =6，

∴ 2（x2 +y2 ）+y2=6，即2x2 +3y2 =6，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為■+■=1.

（2）由（1）知，直線l的參數(shù)方程為x=1+■t，y= ■t（t為參數(shù)），A、B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將的參數(shù)方程代入到曲線C的直角坐標(biāo)方程為■+■=1中，化簡(jiǎn)得：

11t2+8t-16=0，∴由韋達(dá)定理，得t1+t2=-■，t1t2=-■，

∵ t1·t2=-■<0，∴ | FA |·| FB | = | t1·t2 |=■.

| FA | + | FB | = | t1 | + |t2 |=| t1-t2 | =■=■=■ ，

∴ ■+■=■=■.

【考點(diǎn)說(shuō)明】本題綜合考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，韋達(dá)定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，利用直線的參數(shù)方程可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵. 屬于中檔題.

【預(yù)測(cè)題5】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：x=2cos，y= sin？（？茁為參數(shù)），將曲線C1上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的■，縱坐標(biāo)不變，得到曲線C2，過(guò)點(diǎn)（0， -■）且傾斜角為？琢的直線l與曲線C2交于A、B兩點(diǎn).

（1）求曲線C2的參數(shù)方程和？琢的取值范圍;（2）求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.

【詳細(xì)解答】 （1）曲線C2的參數(shù)方程為x=cos，y= sin（為參數(shù)）

當(dāng)=■時(shí)，l與C2交于兩點(diǎn);當(dāng)≠■時(shí)，記tan？琢=k，則l的方程為y=kx-■，l與C2交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) |■| <1，解得k<-1或k>1，即？（■， ■）或∈（■， ■）.

綜上，？琢的取值范圍是（■， ■）.

（2）l的參數(shù)方程為x= tcos，y= -■+tsin（t為參數(shù)，■<）.

設(shè)A、B、P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA、tB、tP，曲線C2的普通方程為x2 +y2 =1，

將直線l的參數(shù)方程與曲線C2的普通方程聯(lián)立得t2 -2■tsin+1=0，

則tP=■，且tA、tB滿足t2 -2■tsin+1=0.

于是tA+tB=2■sin，tP=■sin，

又點(diǎn)P的坐標(biāo)（x， y）滿足x= tP cos？琢，y= -■+ tP sin

所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是x=■sin2，y= -■-■cos2（為參數(shù)，■<）.

【考點(diǎn)說(shuō)明】本題考查伸縮變換、曲線的參數(shù)方程的求解以及動(dòng)點(diǎn)軌跡參數(shù)方程的求解，涉及直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

二、不等式選講

（一）考綱回眸

1. 理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：| a+b|≤| a |+| b|（a， b∈R）;| a-b|≤| a-c|+| c-b|（a， b，c∈R）;

2. 會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.

3. 通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.

（二）命題規(guī)律

高考對(duì)不等式選講的考查主要有以下兩個(gè)方面：

（1）絕對(duì)值不等式的求解與函數(shù)問(wèn)題的綜合，這是高考命題的熱點(diǎn);

（2）絕對(duì)值不等式中的恒成立問(wèn)題與不等式的證明相結(jié)合.

（三）試題預(yù)測(cè)

【預(yù)測(cè)題1】已知函數(shù)f（x）= |2x-3| + |2x+1|.

（1）解不等式：f（x）≥6;（2）設(shè)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為M. 若正實(shí)數(shù)a， b，c滿足a+b+c=M，求ab+bc+ca的最大值.

【詳細(xì)解答】（1）當(dāng)x≤-■時(shí)，不等式化為-2x+3-2x-1≥6，解得x≤-1;

當(dāng)-■< x <■時(shí)，不等式化為-2x+3+2x-1≥6，解得x∈？準(zhǔn);

當(dāng)x≥■時(shí)，不等式化為2x-3+2x+1≥6，解得x≥2;

綜上，不等式的解集為（-∞， -1]∪[2， +∞）.

（2）由 |2x-3| + |2x+1|≥|（3-2x）+（1+2x）|=4，

所以f（x）的最小值M=4，∴ a+b+c=4，

因?yàn)閍2+b2 ≥2ab，b2+c2 ≥2bc，c2+a2 ≥2ca，

可得a2+b2 +c2≥ab+bc+ca，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號(hào).

所以 3（ab+bc+ca）≤（a+b+c）2=16？圯ab+bc+ca≤■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號(hào).

故ab+bc+ca 的最大值為■.

【考點(diǎn)說(shuō)明】本題主要考查了含絕對(duì)值不等式的求解，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記絕對(duì)值不等式的解法，以及合理應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【預(yù)測(cè)題2】已知函數(shù)f（x）= | x-5| + | x-3|.

（1）求函數(shù)f（x）的最小值m;（2）若正實(shí)數(shù)a ， b滿足a2+■=m，證明：■+■≥2.

【詳細(xì)解答】（1）f（x）= | x-5| + | x-3|≥|（x-5）-（x-3）|=2，

所以函數(shù)f（x）的最小值m=2.

（2）由（1）知a2+■=2，因?yàn)椋ā?■）2=■+■+■，

所以■+■+■=■×（a2+■）×（■+■+■）=■×（■+■+■+■+2），

因?yàn)椤?■≥2，■+■≥4（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a 時(shí)取等號(hào)），

所以（■+■）2≥■×（2+4+2）=4（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a 時(shí)取等號(hào)），

即■+■≥2（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a 時(shí)取等號(hào)），當(dāng)b=2a ，a2+■=2時(shí)，解得a=1，b=2，

即■+■≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=2時(shí)取等號(hào)）.

【考點(diǎn)說(shuō)明】本題考查絕對(duì)值不等式公式| a |+| b|≥| a-b|以及基本不等式的應(yīng)用，是中檔題.

【預(yù)測(cè)題3】已知函數(shù)f（x）=2| x+1| + | x-2|，f（x）的最小值為M.

（1）求M;（2）若a>0，b>0且a+b=M，求■+■的最小值.

【詳細(xì)解答】（1）f（x）=2| x+1| + | x-2|=-3x， x≤-1x+4， -1

函數(shù)f（x）的圖像如圖2所示：

∴ f（x）min = f（-1）=3.

（2）由（1）可知a+b=3，故

■+■=■[（3a+b）+（a+3b）]·（■+■）=■（2+■+■）. 又a>0，b>0，∴■>0，■>0，

∴ ■+■≥2，∴ ■+■≥■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=■時(shí)“=”成立，

∴ ■+■的最小值為■.

【考點(diǎn)說(shuō)明】本題主要考查了利用基本不等式求最值以及利用圖象法解絕對(duì)值不等式，屬于中檔題.

【預(yù)測(cè)題4】已知函數(shù)f（x）= | x-3| + | x-1|.

（1）若f（x）≥x+m對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

（2）記函數(shù)f（x）的最小值為s，若a，b，c>0，且a+b+c=s，證明：4ab+bc+ac≥8abc.

【詳細(xì)解答】（1）設(shè)g（x）= f（x）-x = | x-3| + | x-1| -x，

∵ g（x）≥m恒成立

∴ g（x）=x-4， x≥3-x+2，? 1

故g（x）min = g（3）=-1，

∴ m∈（-∞， -1].

（2）f（x）= | x-3| + | x-1|≥

|（x-3）-（x-1）|=2，

當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤3時(shí)等號(hào)成立，∴ s=2，即a+b+c=2，

原不等式等價(jià)于■+■+■≥8，由柯西不等式得：

（a+b+c）（■+■+■）≥（■·■+■·■+■·■）2 =16，

∴ ■+■+■≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=■，b=■，c=1時(shí)等號(hào)成立，

∴ 4ab+bc+ac≥8abc成立.

【考點(diǎn)說(shuō)明】本題主要考查了含絕對(duì)值不等式的求解，以及含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題，其中解答中合理分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類(lèi)討論思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題，

【預(yù)測(cè)題5】已知函數(shù)f（x）=x2-x+1，且a，b，c∈R.

（1）若a+b+c=1，求f（a）+f（b）+f（c）的最小值;

（2）若 | x-a |<0，求證：| f（x）-f（a）|<2（| a |+1）.

【詳細(xì)解答】（1）由柯西不等式，得a2+b2 +c2≥■（a+b+c）2 =■（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=■時(shí)取等號(hào)），所以f（a）+f（b）+f（c）=（a2+b2 +c2）-（a+b+c）+3≥■+1=■，

即f（a）=f（b）=f（c）的最小值為■.

（2）因?yàn)?|x-a|<1，所以 |f（x）-f（a）|=|（x2-a2）-（x-a）|=|x-a |· | x+a-1| <| x+a-1| = |（x-a）+（2a-1）|≤| x-a |+| 2a-1|<1+（2| a | +1）=? 2| a | +1，故結(jié)論成立.

【考點(diǎn)說(shuō)明】本題考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用絕對(duì)值三角不等式證明的問(wèn)題，屬于中等題.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)