羅文軍

從近年高考真題來看，解三角形的考查在全國Ⅰ卷通常以解答題的形式出現(xiàn)在第17題，從考查內(nèi)容上來看，以考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式為主，通常與三角恒等變換和不等式交匯來考查，從考查的思想方法上來看，主要考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程和數(shù)形結(jié)合的思想，從考查的能力上來看，主要考查運算求解能力、推理論證能力，旨在考查考生的邏輯推理和數(shù)學運算的數(shù)學學科核心素養(yǎng). 本文通過預(yù)測2020高考解三角形的核心考點，以期幫助同學們更高效地備考.

一、以四邊形為載體，考查解三角形

這類試題從考查知識點來看，以四邊形為載體，考查余弦定理、三角形面積公式和三角恒等變換，考查化歸與轉(zhuǎn)化和方程的思想，考查應(yīng)用意識.

例1. 四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB=2，BC=6，AD=CD=4.

（1）求A和BD;

（2）求四邊形ABCD的面積和 tan■+tan■+tan■+tan■的值.

解析：（1）由題設(shè)及余弦定理得，

BD2= AB2+AD2-2AB·ADcosA=20-16cosA……①

BD2= BC2+CD2-2BC·CDcosC=52+48cosA……②

由①②得cosA=-■，故A=120°，BD=2■.

（2）四邊形ABCD 的面積為：

S=■AB·AD sinA+■BC·CD sinC

=（■×2×4+■×6×4）sin120°=8■，

由題設(shè)及余弦定理得：

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=40-24cosB……（Ⅰ）

AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD=32+32cosB……（Ⅱ）

由（Ⅰ）（Ⅱ），得cosB=■，cosD=cos（B）=-cosB=-■.

因為00，所以sinB=■=■=■，

所以sinD=sin（B）=sinB=■，

所以tan■+tan■+tan■+tan■=tan60°+tan30°+■+■

=■+■+■+■=■+■+■+■=■.

【評注】破解本題第（1）問先分別在對角線分成的兩個三角形中利用余弦定理列出式子，根據(jù)誘導(dǎo)公式，代入已知條件，解方程組得出角A和對角線BD的值;第（2）問要把求四邊形ABCD的面積問題化歸求△ABD和△CBD的面積之和，結(jié)合三角形面積公式解之可得，求tan■+tan■+tan■+tan■的值，連另一條對角線AC，在AC分四邊形ABCD所得的△BAC和△DAC中，分別利用余弦定理列出式子，解方程組得出cosB的值，運用誘導(dǎo)公式得出cosD的值，再由平方關(guān)系式得出sinB的值，再運用商式關(guān)系和二倍角的正弦公式、余弦公式計算可得.

二、三角形面積的最大值問題

這類試題通常第（1）問考查利用正弦定理或余弦定理解三角形，第（2）問三角形的面積的最大值問題，考查余弦定理、三角形面積公式和重要不等式，考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查推理論證能力和運算求解能力，旨在考查考生的邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

例2. △ABC的內(nèi)角A， B， C的對邊分別為a， b， c，已知3ccosB=（5a-3b）cosC.

（1）求sinC;

（2）若c=2，求△ABC的面積的最大值.

解析：（1）解法1：由正弦定理及已知得：

3sinCcosB=（5sinA-3sinB）cosC，

3（sinBcosC+cosBsinC）=5sinAcosC，

3sin（B+C）=5sinAcosC，

3sin（A）=5sinAcosC，3sinA=5sinAcosC.

因為0

所以cosC=■.

因為00，所以sinC=■=■.

解法2：

由余弦定理可得：

3c·■=（5a-3b）·■，

所以■=■-■，

3a=■，所以a2+b2-c2=■ab.

由余弦定理，可得cosC=■=■=■，因為0

所以sinC=■=■.

（2）由已知及余弦定理，得4=a2+b2-2abcosC=a2+b2-■ab，

由重要不等式，可得a2+b2≥2ab，故4≥2ab-■ab，ab≤5，

當且僅當a=b時，ab取得最大值5，

△ABC的面積的最大值為S=■absinC=■ab=2.

【評注】第（1）問解法1是利用正弦定理化邊為角后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與三角恒等變換進行轉(zhuǎn)化，得出cosC的值，再運用平方關(guān)系式得出 sinC的值;第（1）問解法2是利用余弦定理推論化為邊的關(guān)系，整理后通過觀察發(fā)現(xiàn)右邊有項和左邊分母相同，移項化簡，再結(jié)合余弦定理推論和整體代換思想得出cosC的值，同解法1可得sinC的值;第（2）問運用余弦定理得出關(guān)于a和b邊的等式，運用重要不等式將等式放縮為不等式，解得ab的最大值，再運用三角形面積公式可得△ABC的面積最大值.

三、與邊有關(guān)的最值問題

這類題型第（1）問通?？疾檎嘞叶ɡ淼膽?yīng)用，第（2）考查正弦定理和三角恒等變換以及三角函數(shù)的最值問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想和函數(shù)與方程的思想.

例3. △ABC的內(nèi)角A， B， C的對邊分別為a， b， c，設(shè)（sinA-sinB）2 = sin2C-sinAsinB.

（1）求角C;

（2）若AB=■，求AC+2BC的最大值.

解析：（1）因為 sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，

由正弦定理，可得 a2+b2-c2=ab，

由余弦定理，可得cosC=■=■=■，

因為0

（2）由余弦定理，可得■=■=■=■=2，

所以AC=2sinB，BC=2sinA，

AC+2BC=2sinB+4sinA=4sinA+2sin[？仔-（A+■）]

=4sinA+2sin（A+■）=4sinA+2（■sinA+■cosA）=5sinA+■cosA=2■sin（A+？漬），其中cos？漬=■，sin？漬=■.

因為0

【評注】第（1）問先運用正弦定理實現(xiàn)角化邊，再運用余弦定理推論和整體代換的思想得出角C的余弦值，從而得出角C;第（1）問運用正弦定理實現(xiàn)邊化角，應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成求關(guān)于角A的三角函數(shù)在給定范圍上的值域問題，運用輔助角公式可得出最大值.

四、三角形的周長問題

這類解三角形中的求三角形周長的問題，通?？疾檎叶ɡ怼⒂嘞叶ɡ砗腿切蚊娣e公式，也有時運到完全平方式.

例4. 在△ABC中，角A， B， C所對邊分別為a， b， c，且■+■=■.

（1）求 ■ 的值;

（2）若△ABC的面積S=■，△ABC的外接圓的直徑為2，求△ABC的周長.

解析：（1）由正弦定理和已知可得，■+■=■=1，

所以■=1，

所以■=1，所以■=1，所以■=1.

（2）由正弦定理，得■=■，所以b=■，

所以S=■absinC=■a2■=■a2=■，所以a=1.

由正弦定理，可得■=■=2R=2，所以sinA=■，所以A=■.

由三角形面積公式，得S =■bcsinA=■bc=■，所以bc=2，

由余弦定理，可得a2=b2+c2-2bccosA，1= b2+c2-■bc.

所以（b+c）2-（2+■）bc=1，所以b+c=■，

所以△ABC的周長為1+■.

【評注】本題第（1）問借助正弦定理實現(xiàn)邊化角，再運用三角恒等變化中的兩角和的正弦公式，再運用三角形內(nèi)角和定理和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可求出■ 的值;第（2）問先運用正弦定理和三角形面積公式可求出邊a和角A的值，再運用三角形面積公式可得出bc的值，運用余弦定理和完全平方式可得出b+c的值，從而求出△ABC的周長值.

五、解三角形問題與三角恒等變換的綜合問題

解三角形問題與三角恒等變換問題的綜合問題，也是高考命題的一個熱點問題.

例5. △ABC的內(nèi)角A， B， C的對邊分別為a， b， c，滿足4S△ABC =■（a2+b2-c2）.

（1）求角C 的大小;

（2）已知cos（B+■）=■，求cos2A的值.

解析：（1）由三角形面積公式及已知可得：

2absinC=■（a2+b2-c2）.

由余弦定理，可得c2=a2+b2-2abcosC，所以2abcosC=a2+b2-c2，

所以2absinC =2■abcosC，所以tanC=■.

因為0

（2）令t=B+■，則B=t-■，cost=■，

由 B∈（0，■），則 t=B+■∈（■，■），

所以sint=■=■=■，

所以sin2t=2sintcost=2×■×■=■，

cos2t=cos2t-sin2t=■-■=■，

所以cos2A=cos[2-B-C）]=cos（2B+2C）=cos[2（t-■）+■]

=cos（2t+■）=cos2tcos■-sin2tsin■=■.

【評注】第（1）問要借助三角形面積公式、余弦定理和三角函數(shù)的商式關(guān)系可得出角C的正切值，從而得出角C 的大小;第（2）問換元后，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出B的范圍，從而得出角t的范圍，再運用平方關(guān)系式得出sint的值，再運用二倍角公式得出sin2t 和cos2t 的值，再運用三角形內(nèi)角和定理、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和三角恒等變換可得出cos2A的值.

六、三角形的內(nèi)切圓半徑問題

這類問題，先要根據(jù)已知條件，通過解三角形得出三角形的所有邊長和面積，再根據(jù)三角形的內(nèi)切圓半徑等于三角形面積的二倍除以三角形的周長可破解.

例6. △ABC的內(nèi)角A， B， C所對的邊分別為a， b， c，已知sin2B-2cos2■=■.

（1）求B 的大小;

（2）若b=3■，a+c=9，求△ABC的內(nèi)切圓的半徑.

解析：（1）由sin2B-2cos2 ■=■，

得4sin2B-8cos2■=1，

得4sin2B-8cos2（■-■）=1，得4sin2B-8sin2■=1，

4（1-cos2B）-8×■=1，

整理，可得4cos2B-4cosB+1=0，

所以cosB=■，因為0

（2）由余弦定理可知：

b2=a2+c2-2accosB，b2=（a+c）2-2ac（1+cosB），

所以（3■）2=92-2ac（1+■），得ac=18.

由三角形面積公式S△ABC=■acsinB=■×18×■=■，

記△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，

則 ■（a+b+c）r=S△ABC，所以r=■=■=■=■.

【評注】第（1）問根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)平方關(guān)系式和降冪擴角公式可得出關(guān)于cosB的一元二次方程，根據(jù)三角形內(nèi)角B 的范圍可得出角B 的值;第（2）問根據(jù)余弦定理和完全平方公式可得出ac的值，再運用三角形面積公式可得出△ABC的面積，再運用等面積法可求出△ABC的內(nèi)切圓半徑公式.

七、解三角形中的數(shù)學文化問題

例7. 勃羅卡是法國著名的數(shù)學家，已知三角形△ABC中，P是其內(nèi)部一點，如果∠PAB=∠PBC=∠PCA= ？琢，則稱？琢為勃羅卡角，點P稱做勃羅卡點（如圖所示）

已知如圖△ABC的內(nèi)角A， B， C的對邊分別為a， b， c，且a=3，b=7，c=5，

（1）求△ABC的面積;

（2）求△ABC的勃羅卡角a 的余弦值cosa.

解析：（1）在△ABC中，由余弦定理可得：

cos∠ABC=■=■=-■，

因為0<∠ABC<，所以∠ABC=120°，

所以S△ABC =■acsin∠ABC=■×3×5×■=■.

（2）設(shè)PA=x，PB=y，PC=z，

由三角形面積公式可得：

S△ABP =■cxsin=■xsin，

S△BCP =■aysin=■ysin，

S△CAP =■bzsin=■zsin，

由上可得，（5x+3y+7z）sin=2（S△ABP +S△BCP +S△CAP）=2S△ABC ，

所以（5x+3y+7z）sin=■……①

分別在△ABP、△BCP、△CAP中運用余弦定理可得：

y2=52+x2-10xcos，

z2=32+y2-6ycos，

x2=72+z2-14zcos，

將以上三式相加可得：

（5x+3y+7z）co=■×（52+32+72），

即（5x+3y+7z）cos=■……②

①式和②式兩邊平方相加可得：

（5x+3y+7z）2=1891，5x+3y+7z=■，

cos=■=■.

【評注】本題是一道給出背景的顯性數(shù)學試題，取材于著名的數(shù)學名題勃羅卡點問題. 第（1）問根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可求出三角形△ABC的問題;第（2）問先根據(jù)三角形面積公式可得出△ABP、△BCP、△CAP 的面積，再相加整理可得出①式，再分別在△ABP、△BCP、△CAP 中運用余弦定理，相加可得出②式，再把①和②平方相加整理可得出勃羅卡角？琢的余弦值cos？

責任編輯 徐國堅