李紅敏
[摘? ? ? ? ? ?要]? 從微積分在本科教學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用展開研究,舉例說(shuō)明微積分在這些學(xué)科中的重要性,從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到微積分的魅力,并對(duì)其產(chǎn)生興趣。
[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué);微積分;數(shù)學(xué)分析;概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì);高等代數(shù);中學(xué)數(shù)學(xué)
[中圖分類號(hào)]? G645? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603(2020)14-0048-03
一、背景
微積分學(xué),或者數(shù)學(xué)分析[1,2],是人類思維的偉大成果之一。它不僅是高等院校數(shù)學(xué)學(xué)院的一門重要基礎(chǔ)課,是學(xué)習(xí)高等代數(shù)、微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)以及概率論等課程的基礎(chǔ),也是理科專業(yè)的一門重要的公共數(shù)學(xué)課,是學(xué)習(xí)線性代數(shù)、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ),被譽(yù)為“近代技術(shù)文明產(chǎn)生的關(guān)鍵事件之一”。[3,4]它引入了若干極其成功的,對(duì)以后許多數(shù)學(xué)的發(fā)展起決定性作用的思想。[5]微積分的產(chǎn)生革新了數(shù)學(xué)的概念、思想和方法,它的創(chuàng)立是教學(xué)發(fā)展的里程碑,為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。
此外,微積分不僅在天文、力學(xué)、物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等自然科學(xué)方面有廣泛應(yīng)用,在社會(huì)科學(xué)中也有廣泛應(yīng)用??梢哉f(shuō),微積分是這些學(xué)科的基礎(chǔ),同時(shí)這些學(xué)科的發(fā)展也促進(jìn)了微積分的廣泛應(yīng)用和發(fā)展。微積分是高等院校理科專業(yè)學(xué)生大一的基礎(chǔ)課程,為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供工具。微積分學(xué)習(xí)的好壞將直接影響其他課程的學(xué)習(xí)。
微積分是重要的,這是毋庸置疑的。遺憾的是,微積分的方法有時(shí)流于機(jī)械,不能體現(xiàn)出這門學(xué)科乃是一種撼人心靈的結(jié)晶。大部分學(xué)生只知道它是重要的,并沒有深刻地理解其重要性,甚至有的學(xué)生在談到微積分時(shí)緊皺眉頭,對(duì)其產(chǎn)生抵觸情緒,缺乏學(xué)習(xí)微積分的熱情。在我看來(lái),這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)微積分應(yīng)用的理解還只停留在現(xiàn)學(xué)知識(shí)上或者理論上,并沒有深刻理解微積分的思想,也沒有看到微積分在交叉學(xué)科和實(shí)際中的應(yīng)用。
我們不僅要學(xué)習(xí)微積分課本上表面的知識(shí),更要掌握它所體現(xiàn)的思想,例如,極限的思想、函數(shù)構(gòu)造的思想、積分的思想等。這些思想隱含在課本中的定義、定理、命題及解題過(guò)程中。這就要求在學(xué)習(xí)微積分時(shí)要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),這樣才能深刻理解其中的奧妙。本文將以具體的例子說(shuō)明微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)、高等院校本科數(shù)學(xué)和公共數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用,使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)微積分的動(dòng)力,并形成將其學(xué)好的信心。
二、微積分在數(shù)學(xué)本專業(yè)課程中的應(yīng)用
大部分高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的基礎(chǔ)課程有高等代數(shù)[6]、常微分方程[7]、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[8]等。微分方程是一種聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)(或微分)的關(guān)系式,且其中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分是不可缺少的??梢姡⒎址匠淌俏⒎e分的應(yīng)用和拓展。因此,本文不再舉例說(shuō)明微積分在常微分方程方面的應(yīng)用。
選修課有實(shí)變函數(shù)[9]、復(fù)變函數(shù)[10]、數(shù)值分析[11]、近世代數(shù)[12],而非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生要學(xué)的數(shù)學(xué)課程有經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[13]、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[14]、線性代數(shù)[15]。這些課程的基礎(chǔ)都是微積分。接下來(lái),我們將從幾個(gè)方面著手研究微積分在這些課程中的應(yīng)用。為了加深學(xué)生的理解,接下來(lái)以幾個(gè)例子加以說(shuō)明。
(一)微積分在高等代數(shù)中的應(yīng)用
高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生除數(shù)學(xué)分析外的另一門重要的基礎(chǔ)課,也是學(xué)生今后工作和研究必須掌握的內(nèi)容。它和數(shù)學(xué)分析作為兩門重要的課程,相互滲透,相輔相成,缺一不可。其中一門課的發(fā)展必將帶動(dòng)另一門課的研究熱潮。接下來(lái),我們將給出實(shí)例說(shuō)明微積分在高等代數(shù)中的應(yīng)用。
在上述命題中,巧妙地利用微積分中的冪級(jí)數(shù)和反常積分,大大減輕了計(jì)算量,也便于學(xué)生理解,更可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到微積分的強(qiáng)大。
(二)微積分在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用
微積分和概率論是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的兩門基礎(chǔ)課,前者在后者的學(xué)習(xí)中有著不可或缺的作用。概率論中的許多問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為微積分問(wèn)題。微積分中的集合、函數(shù)及微積分思想及計(jì)算方法在概率論中都有重要應(yīng)用,我們以微積分應(yīng)用為例說(shuō)明。
在上題中,我們利用了微積分中的反常積分和反常二重積分計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的期望。顯然,積分掌握得不牢固的話,解答上題是有難度的。微積分中的積分在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有很多應(yīng)用,在此就不一一列舉了。
三、微積分在公共數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
高等院校的很多專業(yè)開設(shè)了公共數(shù)學(xué),以華僑大學(xué)為例,工學(xué)院開設(shè)了高等數(shù)學(xué)[18]、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分[13]、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[14]、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)[15]等。前兩門課刪減了數(shù)學(xué)分析[1、2]中的一些內(nèi)容,提煉出應(yīng)用性較強(qiáng)的內(nèi)容,并對(duì)其做簡(jiǎn)要概述,供非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí);后一門課中的主要內(nèi)容則需要學(xué)生掌握微積分,尤其是定積分和多重積分的計(jì)算;線性代數(shù)則抽取了高等代數(shù)中的主要內(nèi)容。高等代數(shù)和微積分之間的關(guān)系在上面已經(jīng)提過(guò),因此線性代數(shù)與微積分的關(guān)系就不言而喻了。
四、微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
如今,越來(lái)越多的微積分理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用,這不僅擴(kuò)展了中學(xué)生的思維,也讓他們提前感受到微積分的內(nèi)容和重要性,為他們以后學(xué)習(xí)微積分打下了基礎(chǔ)。下面將用微積分解決中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的習(xí)題。
該題把待證明的方程看成某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再利用羅爾定理證明,既巧妙又簡(jiǎn)潔。
綜上所述,我們可以看到微積分在本科教學(xué)和中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用,有了這些實(shí)例,相信學(xué)生能夠更加深刻地認(rèn)識(shí)到它的重要性,從而更好地學(xué)習(xí)微積分。
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編輯 常超波