■艾升東

我們在復習時發(fā)現(xiàn)這樣一道試題,可以從不同的角度來解答,現(xiàn)呈現(xiàn)給大家。

例題如圖1 所示,設雙曲線C：的一個焦點為點F,過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線,垂足為點A,且與另一條漸近線交于點B,若,則雙曲線C的離心率為____。

圖1

思維方式一：由焦點F寫出F的坐標。過點F作雙曲線C的一條漸近線的垂線,可以用點斜式寫出直線方程。因為垂足為點A,所以聯(lián)立兩直線方程,求出A的坐標。又由與另一條漸近_線交于點B,可求出點B的坐標。最后由3,用向量的坐標形式表示,得到a,b,c的一個齊次式,解出e。

點評:該思維方法對題目逐句分析,邏輯思維清晰,若是解答綜合題,應該來說是一種很正規(guī)的方法。但是,對于填空題來說,如果完成全部計算,至少需要10min以上,費時、費力。請同學們思考一下“3這個條件,我們能否從幾何方法上突破呢?

思維方式二：思考片刻后,有一個同學發(fā)現(xiàn)該條件可以變?yōu)?得出A,B,F三點共線,進而得到。而漸近線所夾的軸其實是角平分線,由角平分線定理得|OB|∶|OA|=2∶1。因為△OAB是直角三角形,從而得到∠AOB=60°,∠BOx=60°,所以直線OB的正切=,從而得到e。

思維方式三：另一個同學又提出,既然要得到這個關系式,我們可以直接從3轉(zhuǎn)化到。其余過程同上。

思維方式四：又有一名同學提出,本題是向量之和,如果我們延長為其2 倍至E點,依托作平行四邊形,y軸是∠BOA的平分線,所作的平行四邊形就是一個菱形,OE=OB。A是OE的中點,BA⊥OE,所以OB=EB,△OBE為等邊三角形,漸近線的傾斜角為60°。其余過程同“方式二”。

點評:以上幾位同學善于思考,抓出了三點共線原理及角平分線定理,能由垂直中點想到等腰及由直線角度聯(lián)想到正切,說明這幾位同學的綜合分析能力較強。

思考：我們注意到,最開始的同學采用的方法體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)中的運算能力,若是解答題,該方法中規(guī)中矩,可以盡可能地有效得分。但在解答選擇題和填空題時,我們更要注重數(shù)形結(jié)合思想的運用,盡量多思考,簡化運算。同學們在做題時,要學會發(fā)散思維,多角度、多層面地思考問題,逐步提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,注重數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng),以應對即將到來的新高考。