■本刊編輯部

歷年自主招生真題中熱學(xué)部分試題涉及的主干知識(shí)點(diǎn)與高考考查的相同的有：分子動(dòng)理論、理想氣體狀態(tài)方程、內(nèi)能和熱力學(xué)第一定律、熱力學(xué)第二定律、熱機(jī)循環(huán)過(guò)程等。

一、以理想氣體為研究對(duì)象,考查氣體分子大小

例1(華約)在壓強(qiáng)不太大,溫度不太低的情況下,氣體分子本身的大小比分子之間的距離小很多,因而在理想氣體模型中可以忽略分子的大小。已知液氮的密度ρ=808.3kg/m3,氮?dú)獾哪栙|(zhì)量Mmol=28×10-3kg/mol。假設(shè)液氮可以視為是由立方體分子堆積而成的,請(qǐng)你根據(jù)所給數(shù)據(jù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氮?dú)膺M(jìn)行估算,說(shuō)明上述結(jié)論的合理性。

解析：標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣體分子數(shù)密度n=,氮?dú)夥肿拥拈g距,而液氮中單位體積的氮分子數(shù),據(jù)此可以估算出液氮分子的直徑。d=8d′,可見(jiàn)氣體分子之間的距離比分子直徑大很多,即氣體分子本身的大小比分子之間的距離小很多,題中的結(jié)論是合理的。

點(diǎn)評(píng):標(biāo)準(zhǔn)狀況下,相鄰分子間的平均距離D與分子直徑d的比值,因此在處理氣體問(wèn)題時(shí),可以把氣體分子視為沒(méi)有大小的質(zhì)點(diǎn);同時(shí)可以認(rèn)為氣體分子除相互碰撞或者與器壁碰撞之外,分子力忽略不計(jì),分子在空間內(nèi)自由移動(dòng),也沒(méi)有分子勢(shì)能。

二、以水銀柱為研究對(duì)象,考查理想氣體的狀態(tài)方程

例2(上海交大自招)如圖1 所示,U形管豎直固定在靜止的平板車上,U 形管豎直部分和水平部分的長(zhǎng)度均為l,管內(nèi)充有水銀,兩管內(nèi)的水銀面距離管口均為。若將U 形管管口密封,并讓U 形管與平板車一起做勻加速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過(guò)程中U 形管內(nèi)水銀面的高度差為。求：

圖1

(1)平板車的加速度。

(2)U 形管底部中央位置的壓強(qiáng)。(設(shè)水銀的質(zhì)量密度為ρ,大氣壓強(qiáng)恰好為p0=ρgl,空氣溫度不變)

解析：當(dāng)平板車加速向右運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)左邊氣體壓強(qiáng)為p1,右邊氣體壓強(qiáng)為p2,U 形管橫截面積為S。

點(diǎn)評(píng):水銀柱模型往往會(huì)結(jié)合物體平衡態(tài)或者加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行研究,在解決這類問(wèn)題時(shí)往往存在一個(gè)假設(shè),即氣體的物理狀態(tài)的變化是十分緩慢的,這就使得氣體有足夠的時(shí)間和外界進(jìn)行熱交換,以保持封閉氣體的溫度不變。

三、以汽缸為研究對(duì)象,考查氣體的臨界問(wèn)題

例3(北大保送考試)如圖2所示,汽缸上部足夠長(zhǎng),質(zhì)量不計(jì)的輕活塞A、B的截面積分別為2S和S,汽缸下部長(zhǎng)為2l。A、B活塞間以長(zhǎng)為的無(wú)彈性輕質(zhì)細(xì)繩相連,A活塞上部有壓強(qiáng)為p0的大氣。開(kāi)始時(shí)封閉氣室M、N中充有同種密度的同種氣體,M的體積是N的2倍,N中氣體恰好為1mol,且小活塞B位于距底部l處,氣體溫度為T0?，F(xiàn)同時(shí)緩慢升高兩部分封閉氣體的溫度至2T0,求平衡后活塞A到底部的距離。

圖2

解析：初始時(shí)刻VM=2VN,而VN=lS,VM=lS+x·2S,解得。這表明開(kāi)始時(shí)兩活塞的距離為,即開(kāi)始時(shí)細(xì)繩處于松弛狀態(tài),且pM=pN=p0?，F(xiàn)同時(shí)緩慢升高兩部分封閉氣體的溫度,兩部分氣體都開(kāi)始等壓膨脹。設(shè)小活塞B能夠上移的距離為l,細(xì)繩仍然未張緊,此時(shí)對(duì)應(yīng)的溫度T′滿足,解得T′=2T0。對(duì)M中氣體有,解得。這表明在這之前細(xì)繩已經(jīng)張緊。現(xiàn)設(shè)想升溫至2T0時(shí)刻小活塞B上移的距離為x,且x＜l(M、N兩部分氣體未混合),則對(duì)N中氣體有pN(l+x)S=nNR·2T0=2RT0,對(duì)M中氣體 有=nMR·2T0=4RT0,對(duì)A、B兩活塞有p0·2S+pM·S=pN·S+pM·2S,對(duì)N中氣體初態(tài)進(jìn)行分析有p0lS=nNRT0=RT0,解得x=1.186l＞l。這表明升溫至2T0時(shí),M、N兩部分氣體已混合。故p0[2lS+(x-2l)·2S]=(nN+nM)R·2T0=6RT0,且p0lS=nNRT0=RT0,解得x=4l。

點(diǎn)評(píng):解決理想氣體的變化過(guò)程的關(guān)鍵在于抓住三個(gè)特殊的狀態(tài),即初態(tài)、末態(tài)和臨界態(tài)。本題只有通過(guò)對(duì)臨界態(tài)的分析確定細(xì)繩的拉伸狀態(tài)和小活塞B所處的位置,才能得到正確的結(jié)果。

四、以汽缸為研究對(duì)象,考查熱力學(xué)第一定律

例4(博雅計(jì)劃)如圖3所示,有一個(gè)頂部開(kāi)口、橫截面積為S的絕熱圓柱形容器,放在水平地面上。容器內(nèi)有一質(zhì)量為m的勻質(zhì)絕熱擋板在下,另一個(gè)質(zhì)量可忽略的絕熱活塞在上,活塞與容器頂端相距甚遠(yuǎn)。擋板下方容積為V0的區(qū)域內(nèi),盛有摩爾質(zhì)量為μ1、摩爾數(shù)為v1的單原子分子氣體；擋板與活塞之間容積為V0的區(qū)域內(nèi),盛有摩爾質(zhì)量為μ2、摩爾數(shù)為v2的雙原子分子氣體。擋板和活塞與容器內(nèi)壁之間無(wú)縫隙,且都可以無(wú)摩擦地上下滑動(dòng)。設(shè)兩種氣體均處于平衡狀態(tài),而后將擋板非常緩慢、絕熱且無(wú)漏氣地從容器壁朝外抽出,最終形成的混合氣體達(dá)到熱平衡態(tài)。設(shè)整個(gè)過(guò)程中雙原子分子的振動(dòng)自由度始終未被激發(fā)。將大氣壓強(qiáng)記為p0,設(shè),將μ1、v1、μ2、v2、p0、V0處理為已知量。

圖3

(1)將末態(tài)混合氣體內(nèi)的單原子分子氣體和雙原子分子氣體的密度分別記為ρ1和ρ2,試求ρ1∶ρ2。

(2)求混合氣體的體積V。

解析：(1)擋板上方氣體壓強(qiáng)p2=p0,擋板下方氣體壓強(qiáng),因?yàn)?所以ρ1∶ρ2=μ1v1∶μ2v2。

(2)因?yàn)殡p原子分子的振動(dòng)自由度未被激發(fā),所以不考慮振動(dòng),即1mol雙原子分子氣體的內(nèi)能為,1mol單原子分子氣體的內(nèi)能為,設(shè)末態(tài)混合氣體的溫度為T,由理想氣體的狀態(tài)方程得p0V=(v1+v2)RT,系統(tǒng)內(nèi)能的改變量,對(duì)擋板上方氣體有p2V0=v2RT2,對(duì)擋板下方氣體有p1V0=v1RT1,所以。外界對(duì)氣體做功W=p0(2V0-V),由熱力學(xué)第一定律W=ΔU,解得。

點(diǎn)評(píng):在解決涉及能量變化的熱力學(xué)問(wèn)題時(shí),需要綜合應(yīng)用熱力學(xué)第一定律和理想氣體的狀態(tài)方程求解相關(guān)物理量。

五、借助圖像,考查熱機(jī)的循環(huán)過(guò)程

例5(卓越)如圖4所示,一定質(zhì)量的理想氣體由狀態(tài)a經(jīng)過(guò)Ⅰ、Ⅱ兩過(guò)程到達(dá)狀態(tài)c。其中Ⅰ為等溫過(guò)程；Ⅱ?yàn)橄冉?jīng)過(guò)等壓過(guò)程至狀態(tài)b,再經(jīng)過(guò)等容過(guò)程至狀態(tài)c。則該氣體( )。

圖4

A.在過(guò)程Ⅰ中吸收的熱量大于在過(guò)程Ⅱ中吸收的熱量

B.在過(guò)程Ⅰ中吸收的熱量小于在過(guò)程Ⅱ中吸收的熱量

C.在過(guò)程Ⅰ中對(duì)外做的功大于在過(guò)程Ⅱ中對(duì)外做的功

D.在過(guò)程Ⅰ中對(duì)外做的功小于在過(guò)程Ⅱ中對(duì)外做的功

解析：在p-V圖像中對(duì)外做的功對(duì)應(yīng)面積,故在過(guò)程Ⅱ中做功較多。內(nèi)能只與狀態(tài)有關(guān),與具體過(guò)程無(wú)關(guān),即兩個(gè)過(guò)程從a狀態(tài)到c狀態(tài)內(nèi)能都不能變,由Q=ΔU+W可知,在過(guò)程Ⅱ中一定比在過(guò)程Ⅰ中吸熱多。

答案：BD

點(diǎn)評(píng):在熱機(jī)的循環(huán)過(guò)程中,若循環(huán)沿順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行,則系統(tǒng)對(duì)外所做的功為正;若循環(huán)沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行,則系統(tǒng)對(duì)外所做的功為負(fù)。如果構(gòu)成一個(gè)循環(huán)過(guò)程,若循環(huán)沿順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行,則閉合曲線所圍的面積就是系統(tǒng)對(duì)外界做正功;若循環(huán)沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行,則閉合曲線所圍的面積就是外界對(duì)系統(tǒng)做正功。

六、借助前沿信息,考查建模能力

例6(清華自招)就黑體輻射而言,輻射最大波長(zhǎng)λmax滿足λmaxT=b(T為黑體的熱力學(xué)溫度,b是常量),同時(shí)黑體單位面積上的輻射功率P=σT4(σ為常量)。已知人體的λmax1=9.6μm,太陽(yáng)的λmax2=509.6nm。

(1)如圖5 所示,真空中有四塊完全相同且彼此靠近的大金屬板A、B、C、D平行放置,表面涂黑(可以看成黑體),最外側(cè)兩塊板的熱力學(xué)溫度各維持為T1和T4,且T1＞T4。當(dāng)達(dá)到熱穩(wěn)定時(shí),求B板的溫度。

(2)火星到太陽(yáng)的距離為400R(R是太陽(yáng)的半徑,為696300km),認(rèn)為火星受熱的面積為πr2(r為火星的半徑,為3395km),把火星看成黑體,估算火星表面的溫度。

圖5

解析：(1)對(duì)一個(gè)物體來(lái)說(shuō),吸收熱量和輻射熱量是同時(shí)進(jìn)行的。溫度為T2的B板左側(cè)單位時(shí)間內(nèi)凈獲得的輻射熱量Q2左=,B板右側(cè)單位時(shí)間內(nèi)凈獲得的輻射熱量,達(dá)到熱穩(wěn)定時(shí)應(yīng)有Q2左+Q2右=0,解得。同理,對(duì)溫度為T3的C板有,解得。

(2)由λmax1T1=λmax2T2=b,以及人的體表溫度T1=310K,解得太陽(yáng)的溫度T2=5840K。熱穩(wěn)定時(shí),火星吸收太陽(yáng)光的功率,火星輻射的功率·4πr2,且,解得火星表面溫度T′=210K。

點(diǎn)評(píng):這是一個(gè)信息給予題,根據(jù)題目提供的信息,正確建立輻射模型并明確熱平衡的條件即可順利求解。