孫朝仁

[摘要]在教學(xué)辯證法研究范疇，常態(tài)數(shù)學(xué)實驗涵蓋工具性與概念性的復(fù)合特征、命題性與關(guān)系性的融合特征、合情性與運演性的統(tǒng)一特征、發(fā)展區(qū)與元認知的契合特征，通過對常態(tài)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)特征的研究。旨在助推發(fā)展人的理性精神和健康素養(yǎng)，終于“帶的走課堂”目標的實現(xiàn)，為構(gòu)建初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)支持系統(tǒng)奠定基礎(chǔ)，

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)實驗，教學(xué)特征，核心素養(yǎng)，課例研究

近期，筆者觀摩了一節(jié)數(shù)學(xué)實驗課“做‘菱形”，本節(jié)課突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實驗的常態(tài)教學(xué)特征，把數(shù)學(xué)實驗放在人的全面發(fā)展高度來落地實施，換言之，就是把數(shù)學(xué)實驗課程作為發(fā)展健康人的重要載體，不止于傳統(tǒng)的“實驗科學(xué)身份”“輔助理解身份”，更在于“關(guān)鍵能力”背后的“人文情懷”目標的落細落實，就這一理解來說，數(shù)學(xué)實驗影響著未來人的生活質(zhì)量，支配著“立德樹人”根本任務(wù)的具體實施，因此，研究數(shù)學(xué)實驗常態(tài)教學(xué)特征尤為必要，為構(gòu)建初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的支持系統(tǒng)奠定基礎(chǔ)和指明方向，

演繹推理的結(jié)論具有“普遍性”，合情推理的結(jié)論具有“方向性”，二者在數(shù)學(xué)實驗課程領(lǐng)域的統(tǒng)一就是數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)常態(tài)，在實驗教學(xué)法研究范疇?！俺B(tài)實施”意味著教知識的同時，盡可能教方法：教技能的同時，盡可能教思想：既要層級活動經(jīng)驗，更要獲得關(guān)鍵能力，終于人的實驗感性與實驗理性的高度統(tǒng)一，全面發(fā)展與健康發(fā)展的內(nèi)部關(guān)系一致性，因此，常態(tài)數(shù)學(xué)實驗涵蓋工具性與概念性的復(fù)合特征、命題性與關(guān)系性的融合特征、合情性與運演性的統(tǒng)一特征、發(fā)展區(qū)與元認知的契合特征，終于“帶的走課堂”能力目標的實現(xiàn)（見表1），進而助推學(xué)生理性思維的發(fā)展。

1工具性與概念性復(fù)合特征，落實基本知識的獲得目標

數(shù)學(xué)實驗的工具性，起于概念的發(fā)生，終于概念的理解，終歸于概念特征的有序把握和定向使用，在R，斯根普的工具性理解和概念性理解看來，工具性理解就是一種語義理解的替代概念，特指符號A所指代的是什么（像“HL”就是特有的判定直角三角形全等的方法，其中“H”是指直角三角形的一條直角邊，而“L”是指直角三角形的一條斜邊），或一種程序性理解，即一個規(guī)則R包含的每一個步驟是什么，如何操作？在蘇科版配備的《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)實驗手冊》（共5冊：七年級分上下兩冊、八年級分上下兩冊、九年級全一冊）中，安排的每一個數(shù)學(xué)實驗都包括實驗主題、實驗?zāi)康?、實驗準備、實驗?nèi)容與步驟以及實驗指南等，這就是一種大尺度的工具性理解范式，而概念性理解則還要添加對符號意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認識，即從“形”的角度認識“a²-b²=（a+b）（a-b）”就是一個可靠的例子，就數(shù)學(xué)知識的獲得而言，只有從工具性理解到達概念關(guān)系的理解，學(xué)生才能把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，進而促進知識技能目標的達成與達成度。

一般來說，“工具性”對于概念的發(fā)生與理解有直接的支配作用，“概念性”又具有反哺工具理解的意義作用，只有把工具性理解和概念性理解復(fù)合融通，讓學(xué)生真正擁有“帶的走概念”能力。這才是數(shù)學(xué)實驗課程應(yīng)有的常態(tài)教學(xué)研究路徑，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）在知識技能目標維度，明確指出經(jīng)歷圖形與圖形關(guān)系抽象、運算和建模。掌握圖形與幾何的基本知識和基本技能，進而獲得帶有核心素養(yǎng)特征的終身受用的知識與技能，有如概念、規(guī)則、公式等，研究者正是基于這樣的認識，提出了“知識技能=（工具性+概念性）×過程思維量”這一公式，為此。新時期數(shù)學(xué)實驗在知識技能目標維度需要做好以下調(diào)控工作：一是突出工具性，落實概念發(fā)生目標：二是突出概念性，實現(xiàn)基本知識獲得的過程性目標;三是突出工具性到概念性理解，實現(xiàn)基本技能增長的過程目標，終于實驗感性思維及時上升到理性思維，突出數(shù)學(xué)實驗應(yīng)有的“數(shù)學(xué)身份”（數(shù)學(xué)味）特征。

不妨以“做‘菱形”的發(fā)生概念‘思維塊為引例清樣。說明數(shù)學(xué)實驗工具性與概念性理解的復(fù)合特征，揭示當前數(shù)學(xué)實驗常態(tài)實施的方向與尺度，具體來說，首先是讓學(xué)生在“思維預(yù)熱”的環(huán)境下，解釋菱形的事實性概念和確立菱形的形成條件，其事實性概念是：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，形成菱形的條件：一是四邊相等的四邊形是菱形：二是對角線垂直的平行四邊形是菱形，這就為菱形概念的實驗發(fā)生就緒了心理經(jīng)驗，其次是讓學(xué)生任意畫出一個菱形，分析畫法的過程與過程性思維本質(zhì)，揭示形成菱形的條件，即是根據(jù)定義畫圖，還是根據(jù)判定條件畫圖，終于在主體、行為和環(huán)境之間的思維交往中。獲得結(jié)論的工具性理解，進而落實知識的獲得目標，最后是讓學(xué)生在展示自己畫法體系過程中。進一步感悟概念的概念性理解特征，及時將“畫”的感性思維，上升到“說”的理性思維層面，終于概念的工具性到關(guān)系性理解的達成，實現(xiàn)了技能生長目標和確立過程思維量并軌的實驗方向。

2 命題性與關(guān)系性融合特征，發(fā)展數(shù)學(xué)思考的同化目標

在實驗邏輯學(xué)研究范疇，一個外在的客體在心理邏輯中可以以具體形象、概念或命題等形式表現(xiàn)出來，即“菱形衣架”就是具體形象的一個例子：一組鄰邊相等的平行四邊形就是菱形的概念：四邊相等的四邊形就是菱形，這就是一個命題，顯然，這些形象、概念、或命題都是信息的表征形式，反映客觀事物（比如，菱形）的屬性，因此，命題或命題性都是一種邏輯關(guān)系術(shù)語，在認知心理學(xué)看來，邏輯是對數(shù)學(xué)思考的思考。起于條件命題，終于事物的內(nèi)部關(guān)系，一個命題是由一種關(guān)系和一組論題（arguments）構(gòu)成的，換句話說，命題的重建與改組支配著知識的提取質(zhì)量，邏輯變式是命題轉(zhuǎn)化為產(chǎn)生式（production）系統(tǒng)的通用技術(shù)，基于這一認識，在常態(tài)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)背景下，命題性和關(guān)系性的相容行為，有助于同化數(shù)學(xué)思考目標（這里的“同化”是指不改變原有認知結(jié)構(gòu)，直接將原有認知經(jīng)驗應(yīng)用到本質(zhì)特征相同的一類事物中去，有如類比數(shù)學(xué)方法的使用等），提升數(shù)學(xué)實驗感性轉(zhuǎn)化為實驗理性水平，終于學(xué)術(shù)形態(tài)的知識轉(zhuǎn)為教育形態(tài)的實驗?zāi)繕恕?/p>

事實上，命題性與關(guān)系性相容行為是數(shù)學(xué)實驗變遷“純感性思維身份”的基本標志，有助于邏輯技能的生長，換句話說，就是讓數(shù)學(xué)實驗的功能上升到學(xué)理層面，側(cè)重于數(shù)學(xué)思考目標的大化釋放，提升知識獲得的質(zhì)量及其知識背后的邏輯水平，為學(xué)生的未來生活奠定思考基礎(chǔ)和思維素養(yǎng)，基于這一認識，研究者提出了“邏輯技能=（操作性+關(guān)系性）”的公式，在這里，“操作性”可以解釋為數(shù)學(xué)實驗的出生身份，“關(guān)系性”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)實驗的學(xué)理目標，“已有經(jīng)驗水平”支配著數(shù)學(xué)實驗的命題性與關(guān)系性相容的速度與質(zhì)量，反映數(shù)學(xué)實驗的邏輯技能層次及其水平，顯然，邏輯技能公式的確立，目的就是將數(shù)學(xué)實驗?zāi)繕擞芍R本位上升到能力本位，由操作本位上升到價值本位（品格本位），事實上，這也是深化數(shù)學(xué)實驗課程課改、常態(tài)實施數(shù)學(xué)實驗教學(xué)、落實“立德樹人”目標的迫切需要，為此，數(shù)學(xué)實驗在常態(tài)教學(xué)價值視域下，需要做好三個層面的數(shù)學(xué)思考工作：一是通過技術(shù)操作與具身“做”，感知命題的存在性：二是建立表象關(guān)系。揭示概念的本質(zhì)屬性：三是同化已有事實經(jīng)驗，落地數(shù)學(xué)思考邏輯目標，終于概念邏輯技能產(chǎn)生式形成。

不妨以“‘做菱形”的形成概念‘思維塊為研究載體。突出命題性與關(guān)系性并軌特征。同化數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)思考的邏輯目標，具體執(zhí)行流程運演如下：第一是，讓學(xué)生用兩張全等的彩色矩形紙片疊出一個菱形，說明“是菱形”這一命題的“合規(guī)則性”，并交流各自的疊法：第二是，讓學(xué)生用同樣規(guī)格的彩色矩形紙片疊出面積最小的菱形，展示各自的算理過程及其“是”的真命題屬性：第三是，讓學(xué)生用同樣規(guī)格的彩色矩形紙片疊出面積最大的菱形，展示各自的算理過程及其邏輯證明過程，“演”“算”是用來證明有效公式和論證（argument）的邏輯系統(tǒng)，就這一認識來說，“具身‘疊菱形”的過程就是感知命題存在的“演”“算”過程，在具體“疊”中，確立菱形面積“最值”（面積最小，即矩形紙片垂直狀態(tài)下構(gòu)造的正方形面積最?。好娣e最大，即矩形紙片對角線重合狀態(tài)下，構(gòu)造的菱形面積最大）過程就是建立表象關(guān)系行為，而“疊→演→算”邏輯行為則是數(shù)學(xué)思考目標落地的邏輯表現(xiàn)，終于邏輯技能產(chǎn)生式形成，事實上，“疊出”是一種實驗現(xiàn)象，需要經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象，方能轉(zhuǎn)化為實驗研究對象，因此，學(xué)習(xí)主體的已有經(jīng)驗水平，支配著實驗技能層次及其產(chǎn)生式，這就是命題性與關(guān)系性融合的最大價值，也是數(shù)學(xué)實驗轉(zhuǎn)向常態(tài)教學(xué)的關(guān)鍵。

3 合情性與運演性統(tǒng)一特征，落地問題解決的順應(yīng)目標

在原型定向研究范疇，數(shù)學(xué)實驗作為常態(tài)課程，其上位發(fā)展就在于能夠?qū)ⅰ昂锨椤迸c“演繹”功能并重，而不僅僅止于傳統(tǒng)的“合情發(fā)現(xiàn)”作用（合情發(fā)現(xiàn)的過程就是定向原型過程，即專家頭腦中高度約簡的經(jīng)驗），在發(fā)展核心素養(yǎng)思維環(huán)境下，邏輯推理是高中課程修訂組專家提出的6個核心素養(yǎng)的一個成分，可描述為從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推理出一個命題的思維過程，主要涵蓋兩個方面，一方面是通過歸納、類比得到數(shù)學(xué)結(jié)論或數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的合情推理：另一方面是構(gòu)建數(shù)學(xué)體系，使得數(shù)學(xué)具有嚴謹性的演繹推理，有如從“金字塔”“帆船”“紅領(lǐng)巾”“三明治”等實物中抽象、歸納出“三角形概念”這一數(shù)學(xué)研究對象就是合情性歸納推理，而通過類比“分數(shù)”建立“分式”描述性概念的過程就是合情性類比推理的一個例子，進一步來說，通過“拼平角”方式發(fā)現(xiàn)“三角形的內(nèi)角和是180°”就是一種合情性原型定向，而依據(jù)“邏輯規(guī)則”證明“三角形的內(nèi)角和是180°”思維過程就是演繹性原型定向，事實上，數(shù)學(xué)的身份就是“理性精神”，而數(shù)學(xué)實驗的“合情性”往往打上感性色彩的烙印，在發(fā)展“關(guān)鍵能力”范疇，數(shù)學(xué)實驗變革勢必需要將合情與演繹并重，渲染數(shù)學(xué)實驗的理性色彩，才有助于問題解決目標的實現(xiàn)和進一步順應(yīng)原型定向的瞭望目標（提出問題），這里的“順應(yīng)”是指概括新舊經(jīng)驗，形成能包容新舊經(jīng)驗的更高一級的認知結(jié)構(gòu)即心理原型，以適應(yīng)外界變化，一般來說，問題解決是合情與演繹統(tǒng)一的結(jié)果，數(shù)學(xué)實驗常態(tài)教學(xué)的前提就是起于合情，重于演繹，終于順應(yīng)，這才有助于形成原型定向產(chǎn)生式。

一般來說，抽象、推理和模型是數(shù)學(xué)的基本思想，推理支配著數(shù)學(xué)實驗課程的性質(zhì)，是數(shù)學(xué)實驗的基本思維方式，為此，研究者提出“基本思想：合情性×真?zhèn)沃庇X+運演性×關(guān)系邏輯”的公式，目的就是強調(diào)真?zhèn)沃庇X決定合情的質(zhì)量，而關(guān)系邏輯支配運演的規(guī)范屬性，終于數(shù)學(xué)實驗理性發(fā)展，在愛因斯坦看來，理論家的工作可分成兩步，首先是發(fā)現(xiàn)公理（合情推理），其次是從公理推出結(jié)論（演繹推理），在《標準（2011年版）》看來，合情推理是從已有的基本事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷出某些結(jié)果：演繹推理是從已有的“經(jīng)驗事實”，包括定義、公理、定理等以及確定的規(guī)則，包括運算的定義、運算法則、運算順序等序思維出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算，在問題解決過程中，合情性用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：演繹性用于證明結(jié)論，使得數(shù)學(xué)具有形式上的邏輯關(guān)系，毋容置疑，一般化、形式化、逐級抽象是合情與演繹統(tǒng)一的結(jié)果，在真?zhèn)沃庇X的作用下，具有普遍意義，也是今天數(shù)學(xué)實驗課程對于人的思維方式最有價值的影響，為此，在數(shù)學(xué)實驗問題解決范疇，需要做好三個層面的思維工作：一是通過合情歸納，在真?zhèn)沃庇X作用下，落實發(fā)現(xiàn)問題目標：二是借助邏輯演繹，在邏輯關(guān)系支配下，實現(xiàn)“知其所以然”目標：三是通過“合情性”與“演繹性”的統(tǒng)一，落地提出問題目標，終于問題解決目標的有序?qū)崿F(xiàn)，

不妨以“‘做菱形”的概念使用“思維塊”為研究對象，說明“合情性”與“演繹性”統(tǒng)一的思維方式對于數(shù)學(xué)實驗課程發(fā)展的指導(dǎo)意義，以及問題解決能力的促進作用，具體來說，第一步是讓學(xué)生用一張矩形紙片任意折出一個菱形，比較折法的異同，突出真?zhèn)沃庇X特征（最特殊的是將矩形的寬與長疊合構(gòu)造正方形：最普遍的是兩次對折矩形紙片構(gòu)造的菱形;還有的是沿對角線翻折構(gòu)造的菱形，等等）;第二步是讓學(xué)生通過賦值的方式（比如，矩形紙片的規(guī)格可以為“4×8型”），在算理的基礎(chǔ)上，比較“通過兩次對折”構(gòu)造的菱形與“沿一條對角線翻折”構(gòu)造的菱形，哪一個面積更大，并說明理由，突出邏輯關(guān)系特征（在算理基礎(chǔ)上，可知前者面積是原矩形紙片面積的一半，即是16個平方單位：后者可設(shè)折出菱形的邊長為x個單位，則由勾股定理可得：x²=（8-x）²+4²，x=5.其面積為20個平方單位，顯然，后者面積較大）;第三步是讓學(xué)生編制類同問題或者在上述活動的基礎(chǔ)上，提出一個具有演繹屬性的高階問題，突出原型定向的過程（上述活動中，兩次使用對角線構(gòu)造菱形，哪一個面積大？為什么？）實現(xiàn)順應(yīng)遷移概念的能力，落實“經(jīng)驗數(shù)學(xué)”與“標準數(shù)學(xué)”之間的思維互動，讓學(xué)生在使用概念中獲得“帶的走課堂”的關(guān)鍵能力及其背后的數(shù)學(xué)品格，

大數(shù)學(xué)家希爾伯特在《數(shù)學(xué)問題》演講中強調(diào)，數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯(lián)系，這就是數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，有如“基本思想=合情性×真?zhèn)沃庇X+運演性×關(guān)系邏輯”的使用，使得數(shù)學(xué)實驗更像數(shù)學(xué)，其形式與內(nèi)容在基本思想層面具有高度的統(tǒng)一特征，這才是數(shù)學(xué)實驗常態(tài)教學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)實驗作為常態(tài)課程。需要將“合情”與“演繹”并重，方能促進原型定向和問題解決，有如上述活動中，如果把“折法比較”看作是合情歸納，那么“面積比較”是一種算子邏輯演繹，則“提出問題”是合情與演繹高度統(tǒng)一的原型定向，促進數(shù)學(xué)實驗功能關(guān)系化，進而培養(yǎng)智慧的、嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)人。

另外，在數(shù)學(xué)實驗審美范疇，實現(xiàn)審美素養(yǎng)的層級目標。抑或健康素養(yǎng)的人文情懷，需要基于馬斯洛的“審美需要層次論”，方能落地發(fā)展區(qū)與元認知契合特征，為此，研究者提出“基本經(jīng)驗=（有效知識量+透視本質(zhì)力）元認知×審美力”這一公式，旨在培養(yǎng)學(xué)生的健康素養(yǎng)和數(shù)學(xué)實驗情懷，進一步而言，有效知識量就是“事實經(jīng)驗”的替代概念，透視本質(zhì)能力就是真?zhèn)沃庇X，元認知就是反觀內(nèi)省抑或監(jiān)控反思，比如“還有其它的折法嗎？”審美力是審美意識、審美需要、審美價值的替代概念，為此，在認知需要、審美需要和自我實現(xiàn)需要高度契合環(huán)境下，可以說元認知支配著基本經(jīng)驗的質(zhì)量和審美速度，有如文指出的那樣，“在復(fù)雜事物中揭示出極度的簡單性（認知需要），在孤立的事物中概括出極度的統(tǒng)一性（審美需要），在無序的事物中發(fā)掘出極度的規(guī)律性（自我實現(xiàn)需要），”像復(fù)雜與簡單、孤立與統(tǒng)一、無序與規(guī)律本身就是矛盾的對立與統(tǒng)一，即美的實現(xiàn)產(chǎn)物，是未來數(shù)學(xué)實驗的研究方向和發(fā)展區(qū)，能讓學(xué)生獲得健康素養(yǎng)和人文情懷，終于“立德樹人”目標的統(tǒng)一與實現(xiàn)。