馬鵬程

[摘 ?要] “過(guò)程與方法”是幾何定理教學(xué)所倡導(dǎo)的核心內(nèi)容，即基于教學(xué)內(nèi)容開(kāi)展知識(shí)探究，重視知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程，發(fā)揮數(shù)學(xué)方法的價(jià)值. 因此在教學(xué)“直線(xiàn)與平面垂直的判定”內(nèi)容時(shí)需要教師關(guān)注學(xué)生認(rèn)知能力，關(guān)注探究過(guò)程，關(guān)注思想方法，以實(shí)現(xiàn)過(guò)程探究與方法講解的融合.

[關(guān)鍵詞] 直線(xiàn);平面;垂直;引入;過(guò)程;思想

“直線(xiàn)與平面垂直的判定”是人教版必修二的重要內(nèi)容，也是立體幾何學(xué)習(xí)的核心知識(shí)，通過(guò)本章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)需要使學(xué)生感知垂直概念，掌握直線(xiàn)與平面垂直的探究方法，并能初步應(yīng)用定理解決實(shí)際問(wèn)題. 而分析教材內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)其中存在幾個(gè)教學(xué)重點(diǎn)需要關(guān)注，下面結(jié)合具體內(nèi)容對(duì)其加以分析.

關(guān)注學(xué)生認(rèn)知，合理引入課題

該節(jié)內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)直線(xiàn)、平面平行的基礎(chǔ)上開(kāi)展的，但總體而言學(xué)生對(duì)線(xiàn)面垂直關(guān)系沒(méi)有足夠的認(rèn)識(shí)，這也是后續(xù)學(xué)習(xí)的核心. 因此在教學(xué)中教師首先需要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知水平，以學(xué)生熟悉的內(nèi)容和豐富的活動(dòng)作為課堂引入.

學(xué)習(xí)雖然是一個(gè)主動(dòng)的過(guò)程，但這個(gè)過(guò)程也需要一定的動(dòng)力激勵(lì)，開(kāi)展課堂教學(xué)引入最為有效的方式是創(chuàng)設(shè)具有趣味的情境，用學(xué)生感興趣的素材來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知[1]. 線(xiàn)面垂直在我們的生活中十分常見(jiàn)，因此可以從學(xué)生日常生活所見(jiàn)的圖形中選取素材. 例如，給出圖1所示的情境圖片，讓學(xué)生觀(guān)察圖片，分析旗桿和地面、大橋的橋柱與水面之間是什么樣的位置關(guān)系. 而在引導(dǎo)過(guò)程中可以采用幾何類(lèi)比的方式，以第一幅圖為例，讓學(xué)生思考旗桿可以用幾何上的什么來(lái)代替，而地面可以視為幾何中的什么元素，幫助學(xué)生建立生活實(shí)例與幾何圖形之間的聯(lián)系，充分感知直線(xiàn)與平面相互垂直的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)與直觀(guān)生活的關(guān)聯(lián)建立，為后續(xù)學(xué)習(xí)做基礎(chǔ).

利用上述圖形觀(guān)察活動(dòng)建立線(xiàn)面垂直關(guān)系的初步印象后，教學(xué)中還需要引導(dǎo)學(xué)生自己舉例來(lái)強(qiáng)化認(rèn)知. 比如可以讓學(xué)生思考教室中的哪些物品之間存在如圖2所示的線(xiàn)面垂直關(guān)系，或者讓學(xué)生嘗試?yán)谜n本和書(shū)桌來(lái)搭建這種關(guān)系. 需要注意的是，教學(xué)時(shí)需注重學(xué)生的動(dòng)手操作，自我辨析，逐步提升學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的能力.

上述是通過(guò)圖形關(guān)系識(shí)別和幾何關(guān)系搭建活動(dòng)來(lái)進(jìn)行本節(jié)內(nèi)容的課堂引入，符合“數(shù)學(xué)源于生活”的數(shù)學(xué)主題. 隨著科學(xué)的發(fā)展，需要人類(lèi)更多地利用幾何圖形和幾何方法來(lái)研究生活，因此用生活實(shí)例來(lái)開(kāi)展課堂引入可以讓學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，提升學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的積極性.

關(guān)注探究過(guò)程，重視定理生成

分析“直線(xiàn)與平面垂直的判定”的教材內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)教材中隱去了命題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、證明思路的探索過(guò)程，對(duì)于判定定理則是采用了直接證明的方式. 雖然通過(guò)熟記強(qiáng)背學(xué)生也可以掌握定理，但學(xué)生難以真正理解定理的知識(shí)本質(zhì)，不能獲得相應(yīng)的分析思維，這對(duì)于后續(xù)的應(yīng)用解題是十分不利的. 幾何定理的教學(xué)是一個(gè)思維嚴(yán)密的推理過(guò)程，因此教學(xué)中需要關(guān)注探究過(guò)程，全方位地呈現(xiàn)定理產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維活動(dòng)[2].

如線(xiàn)面垂直定理的猜想教學(xué)時(shí)，可以以上述課題引入的旗桿為例，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型，讓學(xué)生思考隨著時(shí)間的推移直立在地面上的旗桿與影子之間的位置關(guān)系. 可以以問(wèn)題的形式來(lái)引導(dǎo)探究，探究旗桿與影子之間的夾角是多少度. 同時(shí)可以設(shè)計(jì)如下具有引導(dǎo)作用的拓展性問(wèn)題：

問(wèn)題1：如果學(xué)校準(zhǔn)備更換新的旗桿，你有哪些檢驗(yàn)旗桿與地面垂直的辦法？

問(wèn)題2：說(shuō)出你所知道的關(guān)于線(xiàn)面垂直的判定依據(jù)？

問(wèn)題3：是否可以通過(guò)判定直線(xiàn)與平面內(nèi)有限條直線(xiàn)相互垂直來(lái)確定線(xiàn)面垂直？

問(wèn)題4：如果可以，是否可以?xún)H分析直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)相互垂直呢？

問(wèn)題5：如果不可以，那么平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)呢，這兩條直線(xiàn)需要具備哪些性質(zhì)呢？

幾何模型是支撐學(xué)生思維推理的基礎(chǔ)，因此在教學(xué)中可以給出如圖3所示的模型，其中AB表示旗桿，BC表示某一時(shí)刻旗桿的影子. 在探究過(guò)程中，首先引導(dǎo)學(xué)生猜想出需要確定直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別垂直才可確定線(xiàn)面垂直，然后引導(dǎo)學(xué)生思考若平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)為平行關(guān)系是否可以確定線(xiàn)面垂直，從而利用思辨思維來(lái)獲得準(zhǔn)確的幾何定義.

而在線(xiàn)面垂直定理的論證階段，則可以引入折紙實(shí)驗(yàn)，通過(guò)直觀(guān)的圖形來(lái)完成定理證明，給出圖4所示的幾何△ABC. 首先讓學(xué)生沿著過(guò)頂點(diǎn)的任意直線(xiàn)進(jìn)行翻折，設(shè)折痕為線(xiàn)段AD，然后將翻折后的紙片豎立在桌面上，使線(xiàn)段BD，DC同時(shí)與桌面相接觸，讓學(xué)生思考如下的問(wèn)題.

問(wèn)題6：觀(guān)察圖形，折痕AD是否與桌面垂直，如果不垂直，那么需要怎樣翻折才能確保折痕與桌面垂直呢？你可以得出哪些結(jié)論？

在教學(xué)中教師可以首先進(jìn)行動(dòng)畫(huà)演示，完成平面向立體的切換，逐步引導(dǎo)學(xué)生向線(xiàn)面垂直條件的方向思考，“問(wèn)題鏈”需要根據(jù)課堂實(shí)際靈活設(shè)計(jì). 首先引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，然后由“一般條件”向“特殊有限條件”轉(zhuǎn)化，從而論證線(xiàn)面垂直的定理. 另外也可以進(jìn)行反向設(shè)計(jì)，首先給出如圖5所示的幾何圖形，其中AD⊥BC，沿著AD翻折將圖形豎立在桌面上（如圖6所示），然后讓學(xué)生思考直線(xiàn)AD與線(xiàn)段BD，CD之間的位置關(guān)系，再思考直線(xiàn)AD與平面α之間的位置關(guān)系，最后分析兩種關(guān)系之間存在怎樣的聯(lián)系. 活動(dòng)設(shè)計(jì)提升了學(xué)生的參與度，幫助學(xué)生完成了由“幾何猜想”到“幾何論證”的過(guò)渡，實(shí)現(xiàn)了感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)知的升華.

關(guān)注思想方法，進(jìn)行思想滲透

數(shù)學(xué)的思想方法是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，也是學(xué)生核心素養(yǎng)提升的重要內(nèi)容，因此幾何定理教學(xué)另一個(gè)需要關(guān)注的內(nèi)容是思想方法[3]. 相對(duì)于固體的知識(shí)而言，思想方法較為抽象，無(wú)法通過(guò)直觀(guān)的知識(shí)教學(xué)來(lái)掌握. 實(shí)際上，思想方法是問(wèn)題處理的基本策略和指導(dǎo)思想，隱含在數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容中，因此進(jìn)行思想方法的教學(xué)可以借助具體的教學(xué)內(nèi)容，采用思想滲透的方式，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步感悟，逐步開(kāi)化.

以線(xiàn)面垂直階段的課堂引入為例，教學(xué)中給出對(duì)應(yīng)的圖片后，需要從中衍生出對(duì)應(yīng)的幾何模型，而幾何模型的構(gòu)建過(guò)程實(shí)際上就是模型思想的應(yīng)用指導(dǎo). 在這個(gè)過(guò)程中需要教師詳細(xì)指導(dǎo)模型構(gòu)建的過(guò)程，即以旗桿所在直線(xiàn)畫(huà)線(xiàn)段AB，以地面所在平面繪制幾何平面α，其中直線(xiàn)AB與平面α的接觸點(diǎn)為點(diǎn)B. 上述模型構(gòu)建的過(guò)程既還原了旗桿和地面兩者的基本特征，又隱含著兩者之間的位置關(guān)系.

而在定理論證的第一階段，則可以滲透數(shù)學(xué)的類(lèi)比思想，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比直線(xiàn)與平面平行的判定定理，思考直線(xiàn)與平面垂直時(shí)需要滿(mǎn)足的條件，從而將直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系的探究轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)之間的位置關(guān)系的探究. 而在思辨階段，則同樣可以類(lèi)比直線(xiàn)與平面平行，分析是否可以通過(guò)證明直線(xiàn)分別與平面內(nèi)的兩條平行線(xiàn)相互垂直來(lái)完成直線(xiàn)與平面垂直關(guān)系的確定. 需要指出的是由“線(xiàn)面關(guān)系”向“線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系”的轉(zhuǎn)化過(guò)程隱含著數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和降維思想，教師在講解時(shí)不需要特意指出，只需引導(dǎo)學(xué)生思考這樣處理的思維優(yōu)勢(shì)即可.

數(shù)學(xué)定理探究的最后階段，需要引導(dǎo)學(xué)生從一般的空間問(wèn)題中獲得具有總結(jié)性的結(jié)論，這個(gè)過(guò)程必然隱含著數(shù)學(xué)的化歸思想. 實(shí)際教學(xué)中需要教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言之間的聯(lián)系，全方位地完成數(shù)學(xué)定理的提煉、總結(jié)、歸納，如對(duì)于 “BD？奐α，CD？奐α，BD∩CD=D”，在化歸時(shí)需要描述為平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn).

數(shù)學(xué)的思想方法是學(xué)生終生受用的知識(shí)技能，直接決定學(xué)生的思維能力，因此開(kāi)展課堂教學(xué)不可忽視對(duì)數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo). 另外課堂教學(xué)采用探究式的教學(xué)方式，不僅可以使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探究過(guò)程，而且在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生還可以逐步掌握猜想、分析、歸納、特殊到一般、推理驗(yàn)證等探究手段，這些技能方法可以在潛移默化中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.

總之，高中階段的課堂教學(xué)需要教師準(zhǔn)確把握教材的核心內(nèi)容，以學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)作為課堂教學(xué)的起點(diǎn)，緊密聯(lián)系實(shí)際開(kāi)展新知探究;對(duì)于論證過(guò)程中重要的幾何定理內(nèi)容，需要采用課堂引導(dǎo)探究的教學(xué)方式，使學(xué)生掌握定理的同時(shí)獲得思維的提升;以教學(xué)內(nèi)容為載體滲透數(shù)學(xué)的思想方法，逐步提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，為學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展做好基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1] ?杜慧. 立足核心素養(yǎng) ?構(gòu)建高效課堂——以“直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（05）：3-7.

[2] ?潘小梅. 遵循定理教學(xué)規(guī)律 ?追求凸顯思維的教學(xué)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（11）：18-19.

[3] ?胡吉蔚.為直觀(guān)插上想象的翅膀，為邏輯鑲上思辨的光芒——直線(xiàn)與平面垂直的定義及其判定的教學(xué)設(shè)計(jì)分析[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（36）：16-18+40.