裘江杰

1 引言

一般認(rèn)為，誕生于一百多年前的公理集合論有著兩重身份（[22]）：其一，它是數(shù)理邏輯的四大分支之一1數(shù)理邏輯的另外三個(gè)主要分支是模型論、遞歸論以及證明論。，因此也是數(shù)學(xué)的一個(gè)專(zhuān)門(mén)領(lǐng)域；其二，常規(guī)數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象可以被表示為各種集合，所使用到的方法以及預(yù)設(shè)也可以溯源到集合論公理，概言之，許多數(shù)學(xué)命題可以被視為各種集合論公理系統(tǒng)2最典型的集合論公理系統(tǒng)是ZFC，此外，在研究中還會(huì)涉及到ZFC 的各種子系統(tǒng)、擴(kuò)張系統(tǒng)，甚至與ZFC 不一致的系統(tǒng)，比如ZF+AD。中的定理，因此主流的觀(guān)點(diǎn)也把它當(dāng)作數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)是關(guān)于什么的？數(shù)學(xué)命題在什么意義上為真為假？對(duì)于這樣一些問(wèn)題的不同回答可以粗略地對(duì)應(yīng)到從實(shí)在論到反實(shí)在論的譜系中的不同的位置，那么，基于公理集合論，則產(chǎn)生了對(duì)集合對(duì)象、集合宇宙的客觀(guān)實(shí)在性不同的本體論立場(chǎng)。

數(shù)學(xué)家們對(duì)關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象以及集合對(duì)象的實(shí)在性問(wèn)題的初始反應(yīng)通常是樸素的，他們會(huì)自然認(rèn)為他們自己以及其他嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)家所研究的對(duì)象是獨(dú)立于人類(lèi)心智而客觀(guān)存在著的，這樣一種觀(guān)點(diǎn)屬于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)實(shí)在論。

不過(guò)，從學(xué)術(shù)史的視角反觀(guān)數(shù)學(xué)哲學(xué)中實(shí)在論問(wèn)題爭(zhēng)論的歷史發(fā)展，情況就要變得復(fù)雜了。實(shí)際上，呈現(xiàn)在我們面前的更可能是部分實(shí)在部分反實(shí)在觀(guān)；比如，在數(shù)學(xué)史上，像負(fù)數(shù)、虛數(shù)這樣一些概念在它們被引入之初都曾經(jīng)被視作為本身無(wú)所指的形式或者語(yǔ)言物項(xiàng)，可以對(duì)它們進(jìn)行形式操作，但是這種形式操作只是為了得到描述實(shí)存對(duì)象的性質(zhì)或者實(shí)存對(duì)象之間關(guān)系的數(shù)學(xué)命題，操作本身并無(wú)實(shí)際意義3比如，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（G.Cardano）最早使用虛數(shù)記號(hào)，但他認(rèn)為這僅僅是形式表示。。在這些具體的歷史場(chǎng)景里，學(xué)者們至少是下意識(shí)地承認(rèn)一些數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)在性，但是同時(shí)把那些新被引入的概念則當(dāng)作只是形式表示而已。

十九世紀(jì)末，實(shí)質(zhì)性地探討無(wú)窮以及無(wú)窮對(duì)象的集合論面臨的悖論導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的爆發(fā)，對(duì)危機(jī)的應(yīng)對(duì)的重要結(jié)果之一正是前述的公理集合論的創(chuàng)立4與之競(jìng)爭(zhēng)的有羅素的類(lèi)型論，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域勝出的是公理集合論，不過(guò)，類(lèi)型論在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及計(jì)算機(jī)科學(xué)基礎(chǔ)中仍然有著一定的影響，比如，2002 年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者沃沃斯基（V.Voevodsky）創(chuàng)立的同倫類(lèi)型論（homotopy type theory）就結(jié)合了類(lèi)型論的思想。，另外一個(gè)有影響力的后果則是希爾伯特規(guī)劃的提出與實(shí)施5希爾伯特本人對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的關(guān)注主要有兩個(gè)時(shí)期（19 世紀(jì)末以及20 世紀(jì)20 年代左右），希爾伯特規(guī)劃則主要是在后一個(gè)時(shí)期被提出的，目前公認(rèn)的是，這一規(guī)劃之于希爾伯特，不僅僅是面向應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)危機(jī)的，實(shí)際上也是對(duì)直覺(jué)主義的回應(yīng)，從這一點(diǎn)似乎能看到希爾伯特對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)在論的某種認(rèn)同。，前者在這一百多年里得到了迅猛的發(fā)展，其中一部分相對(duì)深刻的成果被認(rèn)為是受到（特別是實(shí)在論的）數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的指引而達(dá)致的（[16,18]）；后者則是形式主義思想的一個(gè)主要體現(xiàn)，一種常見(jiàn)的觀(guān)點(diǎn)是認(rèn)為希爾伯特規(guī)劃體現(xiàn)了形式主義的反實(shí)在論或者至少是對(duì)無(wú)窮的反實(shí)在論思想（[10,23]）。

如前所述，在公理集合論領(lǐng)域工作的數(shù)學(xué)家可能天然會(huì)傾向于實(shí)在論，但是在哥德?tīng)柌煌耆远ɡ硪约案鞣N自然的獨(dú)立性結(jié)果出現(xiàn)之后，自二十世紀(jì)六十年代以來(lái)，數(shù)學(xué)家們對(duì)自身的本體論立場(chǎng)更為自覺(jué)，同時(shí)他們的立場(chǎng)也進(jìn)一步發(fā)生了分化：其中既有武?。℉.W.Woodin）這樣的堅(jiān)定的實(shí)在論者（[15]），也有像謝拉赫（S.Shelah）這樣的在本體論上更加謹(jǐn)慎的學(xué)者（[10]），后者被“不謹(jǐn)慎地”視為持有形式主義思想，并且因而是反實(shí)在論者（[18]）。

近年來(lái)，在公理集合論的數(shù)學(xué)以及哲學(xué)研究中，多宇宙觀(guān)（Multiverse View）得到了越來(lái)越多的重視和討論（[1,7,22]）。

哈姆肯斯（J.D.Hamkins）認(rèn)為傳統(tǒng)的集合論實(shí)在論是一種單一宇宙觀(guān)（The universe view），即它斷言，恰有一個(gè)唯一的集合宇宙，這一本體論立場(chǎng)隱含著所謂的絕對(duì)的集合觀(guān)念，但是哈姆肯斯等學(xué)者認(rèn)為這是可質(zhì)疑的，特別的，它與獨(dú)立性現(xiàn)象以及根據(jù)不同的方法構(gòu)造各種集合論模型這樣的數(shù)學(xué)實(shí)踐是不一致的，因此，他們認(rèn)為，集合概念是多元的，進(jìn)而客觀(guān)存在著的是多個(gè)集合宇宙，而非單一的宇宙，這眾多的集合宇宙又組成了集合論復(fù)宇宙（set theory multiverse）6采用楊睿之的譯法。，集合論的一部分研究工作應(yīng)該關(guān)注集合論復(fù)宇宙。

哈姆肯斯等學(xué)者的多宇宙觀(guān)是一種頗為奇特的立場(chǎng)，已有學(xué)者意識(shí)到這一概念及相應(yīng)的理論與形式主義的某種親緣關(guān)系（[1,16]），本文的任務(wù)則是希望能論證多宇宙觀(guān)確實(shí)可以容納到形式主義的框架中，只不過(guò)需要更換對(duì)形式主義的反實(shí)在論的刻板印象，這種新的形式主義在本體論上將是謹(jǐn)慎的，同時(shí)它所注重的主要是方法論或者認(rèn)識(shí)論層面上的，它重視數(shù)學(xué)實(shí)踐，同時(shí)也以促進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)踐為主要目的。

論文的結(jié)構(gòu)如下：首先我們會(huì)在第二節(jié)梳理這種多宇宙觀(guān)的“前世今生”，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)實(shí)在論解讀并不是其唯一可選的本體論立場(chǎng)，也就是說(shuō)，賦予其某種形式主義“色彩”是可能的；其次，在第三節(jié)中，我們會(huì)整理多種視角中的形式主義的形象，這一整理使我們相信形式主義可以擺脫“反實(shí)在論”的帽子，這使得它容納多宇宙觀(guān)成為可能；在第四節(jié)中，我們會(huì)在這種中立的本體論的立場(chǎng)下，基于希爾伯特和科里（H.Curry）的思想重構(gòu)形式主義的框架；最后，在第五節(jié)中，基于這一改造后的形式主義的框架，我們會(huì)試圖“重述”多宇宙觀(guān)“故事”。

2 多樣的多宇宙觀(guān)

顧名思義，集合論多宇宙觀(guān)似乎是這樣一種形上學(xué)觀(guān)點(diǎn)：存在著多個(gè)集合論宇宙。但是，一方面，提出或者持有多宇宙觀(guān)的，幾乎都是集合論學(xué)者，他們的第一身份都是數(shù)學(xué)家，因此，很難說(shuō)他們本身有清晰的形上學(xué)立場(chǎng)，另一方面，就如本節(jié)接下來(lái)將分析的，持有多宇宙觀(guān)的學(xué)者間也存在著分歧，因此我們或許可以首先將注意力投向它們的對(duì)立面，集合論單一宇宙觀(guān)。所謂的單一宇宙觀(guān)指的是這樣一種實(shí)在論立場(chǎng)：存在著唯一一個(gè)包含所有的集合的總體，這一總體我們稱(chēng)為集合宇宙，它本身不是集合，但是它是由獨(dú)立于我們的心智、語(yǔ)言或者概念系統(tǒng)而存在著的所有的集合所組成的。一些學(xué)者認(rèn)為，至少在“哥德?tīng)枙r(shí)代，集合論學(xué)者們還生活在這種（樸素的）單一宇宙觀(guān)下”（[5]）；不過(guò)“曲調(diào)”并不是完全“協(xié)調(diào)的”，比如，哈姆肯斯把多宇宙觀(guān)的思想追溯到了馮·諾依曼1925 年的論文《集合論的一種公理化》，認(rèn)為其中對(duì)“集合論的一個(gè)模型可以是集合論的另外一個(gè)模型中的集合”討論中就蘊(yùn)涵了多宇宙觀(guān)的初步想法（[7]）。

哈姆肯斯的這種追溯并不是孤例，弗里德曼（S.Friedman）與其合作者提出了“垂直”多宇宙（vertical multiverse）的概念，并認(rèn)為這一概念以及相應(yīng)的思想在策梅羅（E.Zermelo）那里就已有了“萌芽”（[1]），策梅羅得到過(guò)這樣的結(jié)果：二階集合論系統(tǒng)Z2是擬范疇的（quasi-categorical），即，對(duì)每個(gè)強(qiáng)不可達(dá)基數(shù)（strongly inaccessible cardinal）κ，Vκ是Z2的同構(gòu)意義上唯一的基數(shù)為κ的模型。

弗里德曼及其合作者認(rèn)為，策梅羅的這些集合論模型，隨著指標(biāo)κ的增大，形成了一個(gè)塔狀（tower-like）的多宇宙，這是一種縱向“生長(zhǎng)”的復(fù)宇宙。弗里德曼等學(xué)者提煉出這種“垂直”多宇宙的目的是為了發(fā)展他們目前還在進(jìn)行中的超宇宙規(guī)劃（The hyperuniverse program）（[2]），這一規(guī)劃是對(duì)哥德?tīng)柧V領(lǐng)的一種實(shí)現(xiàn)的進(jìn)路7另外一個(gè)著名的進(jìn)路是武丁的終極L 研究，郝兆寬（[17]）對(duì)之有細(xì)致深入的介紹。，由于它并不與我們所討論的主題直接相關(guān)，因此不再詳細(xì)展開(kāi)，我們把討論的焦點(diǎn)集中在“垂直”多宇宙上。

這種“垂直”多宇宙與哈姆肯斯的多宇宙是不同的8對(duì)后者的介紹稍后給出。，但是它們的倡議者都有著實(shí)在論的意向，因此面臨著相似的質(zhì)疑或者問(wèn)題。對(duì)于“垂直”多宇宙，至少有兩個(gè)相關(guān)聯(lián)著的問(wèn)題。

首先，如前所述，構(gòu)成這種復(fù)宇宙的都是集合論的模型，如果我們?nèi)∠鄳?yīng)的集合論系統(tǒng)為ZFC 系統(tǒng)，而這些指標(biāo)κ都是大基數(shù)，那么，眾所周知，ZFC 并未保證任何大基數(shù)的存在，甚至在ZFC 中都無(wú)法證明存在大基數(shù)的相對(duì)一致性9若用LA 表示一條大基數(shù)公理，那么ZFC+LA ?Con(ZFC)；假如有ZFC ?Con(ZFC) →Con(ZFC+LA)，那么將得ZFC+LA ?Con(ZFC+LA)，這與哥德?tīng)柌煌耆远ɡ砻堋?，這意味著“垂直”多宇宙概念本身已經(jīng)預(yù)設(shè)了大基數(shù)這一強(qiáng)的集合概念，但是后者并不是集合論學(xué)者所共同接受的，因此若在本體論上持謹(jǐn)慎的態(tài)度，則先把它們作為理想元，懸置實(shí)在性問(wèn)題可能是一種可采取的策略，這一策略是形式主義的，但是請(qǐng)注意，它并未直接否定大基數(shù)的實(shí)在性，因此不能將之視為反實(shí)在論的。

其次，假如我們接受這種大基數(shù)以及“垂直”多宇宙的客觀(guān)實(shí)在性，那么其中涉及到的大基數(shù)則都存在于集合論宇宙V中，因此，對(duì)這些大基數(shù)κ，Vκ不僅僅是V的真前段，同時(shí)也會(huì)是V中的元素，但是如此一來(lái)，這種“垂直”多宇宙就是V的一個(gè)子類(lèi)，因此，稱(chēng)它是多宇宙更像是一種表達(dá)上的方便。

在集合論的研究中，我們確實(shí)會(huì)使用到V的一些子類(lèi)，比如序數(shù)類(lèi)ON、可定義集類(lèi)L，但是前者本質(zhì)上是對(duì)一種概念（在這里是序數(shù)）的外延表示，這是許多子類(lèi)的用意；對(duì)于后者，我們有時(shí)確實(shí)也會(huì)稱(chēng)其為可定義宇宙，不過(guò)一般我們會(huì)使用其進(jìn)行相對(duì)一致性的證明，而這又是形式主義風(fēng)格的工作。

總之，這種“垂直”多宇宙的概念并不導(dǎo)向?qū)嵲谡撚^(guān)，相反，它與形式主義或許有更加自然的關(guān)聯(lián)。

哈姆肯斯的多宇宙是一種“橫向的圖景”，原因在于哈姆肯斯版本的多宇宙的核心概念是力迫（Forcing），這是一種構(gòu)造集合論模型的方法，它通過(guò)在原模型中加入新的元素而得到更加“龐大”但是“高度”不變的新模型，因此這種多宇宙不會(huì)在其成員間形成有規(guī)律的“個(gè)子”的遞增或者遞減的關(guān)系。

哈姆肯斯已經(jīng)注意到使用力迫法時(shí)會(huì)遇到的困難（[8]）。概言之，標(biāo)準(zhǔn)的集合力迫法建立的仍然是相對(duì)一致性結(jié)果，它的核心是將集合論系統(tǒng)的足夠大的有窮片段的一個(gè)可數(shù)傳遞模型“變胖”為一個(gè)新的可數(shù)傳遞模型，使得后者成為同一系統(tǒng)的另一個(gè)有窮片段加上某個(gè)指定的命題的模型，比如，如果證明中涉及的集合論系統(tǒng)為ZFC，指定的命題為φ，那么力迫法建立的相對(duì)一致性結(jié)果即為Con(ZFC)→Con(ZFC+φ)10關(guān)于力迫法的介紹可以參看苦能（K.Kunen）的經(jīng)典教材[9]。。因此，力迫法本身不能產(chǎn)生新的集合論模型，更不用說(shuō)提供一整個(gè)多宇宙。

哈姆肯斯使用一種變通的方法在類(lèi)模型上使用力迫法，他稱(chēng)其使用的是自然主義的力迫（Naturalist Account of Forcing），這一方法非常類(lèi)似于力迫的布爾值模型方法（Boolean-valued model approach to forcing），因此它們的問(wèn)題也是相似的。如果將它們視為證明相對(duì)一致性的“理想”概念11在集合力迫中，我們也常常稱(chēng)，從ZFC 的一個(gè)可數(shù)傳遞模型M 出發(fā)，這個(gè)M 就是一個(gè)“理性”元素，它是對(duì)在ZFC 中可以明確得到的ZFC 的足夠大的有窮片段的可數(shù)傳遞模型的某種“近似”。，則不成問(wèn)題，但是這種處理是形式主義式的，自然不是哈姆肯斯及其合作者所期待的，因此他們實(shí)質(zhì)上認(rèn)為存在著各種集合宇宙（或者完整的集合論模型），并且對(duì)給定的集合宇宙V可以進(jìn)行相應(yīng)的力迫擴(kuò)張；然而單一宇宙論者會(huì)質(zhì)疑，既然V是集合宇宙，那么可以從何處取來(lái)新的集合，特別的，所使用的力迫對(duì)應(yīng)的脫殊濾（Generic Filter）可以存在于V外嗎？哈姆肯斯的回應(yīng)是力迫法和獨(dú)立性證明的數(shù)學(xué)實(shí)踐表明存在著不同的集合概念，這些概念相互間可以是不一致的，因此必然對(duì)應(yīng)有不同的集合宇宙。這一回應(yīng)與其說(shuō)是對(duì)單一宇宙論者的反駁，不如說(shuō)是對(duì)多宇宙觀(guān)立場(chǎng)的重申，只不過(guò)以更加技術(shù)化的形式呈現(xiàn)。

這樣，是單一宇宙還是多宇宙，就成了立場(chǎng)之爭(zhēng)，從相對(duì)粗淺的本體論直覺(jué)觀(guān)之，前者似乎更能得到“擁護(hù)”，然而，審慎一點(diǎn)，我們或許可以這樣處理：這種多宇宙觀(guān)看起來(lái)與我們的直觀(guān)不太相符，但是，它在邏輯上并不是矛盾的12哈姆肯斯與他的合作者提出了復(fù)宇宙公理，并且證明，它們相對(duì)于ZFC 是一致的，證明的概括可參看楊睿之的文章[22]，詳細(xì)可參看吉特曼（V.Gitman）與哈姆肯斯的論文[6]。，因此不妨?xí)簳r(shí)不否定之，而是在假設(shè)其成立的基礎(chǔ)上，討論這一立場(chǎng)是否可能帶給我們有意義的哲學(xué)上的洞見(jiàn)或者數(shù)學(xué)實(shí)踐上新的成果。這種處理顯然帶有形式主義的色彩。

綜上，我們已經(jīng)了解到，多宇宙觀(guān)有著不同的版本，并且它們都并不只導(dǎo)向這樣或者那樣的實(shí)在論；對(duì)它們的更加謹(jǐn)慎的處理則會(huì)關(guān)聯(lián)到形式主義，或者說(shuō)，這種處理背后體現(xiàn)的正是形式主義的觀(guān)點(diǎn)，因此，一個(gè)自然的想法就是，是否可以將多宇宙觀(guān)容納入到形式主義的框架中？

不過(guò)，盡管形式主義已有百年之久，但是與邏輯主義以及直覺(jué)主義相比，它的“面目”并不是足夠清晰的（[10]），并且歷史上確實(shí)存在過(guò)不同的版本，因此在可以回答上述的問(wèn)題之前，我們首先需要對(duì)形式主義進(jìn)行一個(gè)相對(duì)細(xì)致的梳理；我們會(huì)在第三節(jié)討論形式主義可以有的本體論立場(chǎng)，我們認(rèn)為在此點(diǎn)上，形式主義是相對(duì)靈活的，甚至可以說(shuō)形式主義在本體論上是中立的；然后在第四節(jié)，我們會(huì)重構(gòu)一個(gè)可以回應(yīng)上述問(wèn)題的形式主義框架。

3 形式主義的本體論立場(chǎng)

被認(rèn)為是典型的形式主義的觀(guān)點(diǎn)的，似乎是這樣的：數(shù)學(xué)的對(duì)象就是語(yǔ)言的字符，除此之外，并無(wú)它物，而數(shù)學(xué)知識(shí)則是“關(guān)于那些字符如何彼此關(guān)聯(lián)以及它們?cè)跀?shù)學(xué)實(shí)踐中怎樣被操作的知識(shí)”（[21]，第138 頁(yè)）。

這一觀(guān)點(diǎn)里所包含的，語(yǔ)言物項(xiàng)無(wú)所指這一點(diǎn)可能就是形式主義這個(gè)名稱(chēng)的由來(lái)之一，同時(shí)或許也正是如此，使得形式主義與反實(shí)在論有了某種親緣關(guān)系。然而這只是非常粗略的概括。

不同的形式主義者確實(shí)都會(huì)表現(xiàn)出或者看起來(lái)持某種反實(shí)在論觀(guān)點(diǎn)，但是他們?cè)诔潭壬洗嬖谥鴧^(qū)別，甚至可能是非常不同的，這一點(diǎn)或許可以從持有一些確定的本體論立場(chǎng)的學(xué)者對(duì)他們眼中形式主義的定位中反映出來(lái)。

有一些嚴(yán)格有窮主義者會(huì)把（提出規(guī)劃時(shí)期的）希爾伯特當(dāng)作他們的“同路人”，比如，葉峰認(rèn)為，“希爾伯特提出，有一個(gè)有窮主義數(shù)學(xué)，它的陳述可以被解釋為關(guān)于有限具體事物的陳述，特別是，關(guān)于有限具體事物的數(shù)量屬性與排列組合屬性的陳述，因此是有實(shí)在內(nèi)容的數(shù)學(xué)”（[24]，第138 頁(yè)）；因此，在葉峰看來(lái)，作為形式主義者的希爾伯特持有的是部分實(shí)在部分反實(shí)在論的觀(guān)點(diǎn)，實(shí)在論的部分在于承認(rèn)有窮的數(shù)學(xué)對(duì)象，盡管可能是在曲折的意義上的；而反實(shí)在論部分則是否定無(wú)窮對(duì)象的存在；當(dāng)然，嚴(yán)格有窮主義者會(huì)否定大的有窮數(shù)目的實(shí)在性，但是作為有窮主義者則很可能并不會(huì)如此，但是至少，從嚴(yán)格有窮主義者的角度看，作為有窮主義者的希爾伯特所能承認(rèn)的數(shù)學(xué)對(duì)象不會(huì)超出有窮物項(xiàng)。

另一端，一些實(shí)在論者會(huì)把某些承認(rèn)更多數(shù)學(xué)對(duì)象實(shí)在性的學(xué)者劃歸為形式主義者。例如，郝兆寬與楊躍把科恩（P.Cohen）與謝拉赫都視作形式主義者13科恩是力迫法的發(fā)明者、邏輯學(xué)界唯一的菲爾茲獎(jiǎng)獲得者；而謝拉赫則是邏輯學(xué)界唯一的沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)獲得者，這兩位數(shù)學(xué)家都是數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中的佼佼者，他們的觀(guān)點(diǎn)值得反思。，并把他們的觀(guān)點(diǎn)總結(jié)為：“一個(gè)集合論語(yǔ)言中的語(yǔ)句σ是真的當(dāng)且僅當(dāng)σ在ZFC 中可證”，特別的，認(rèn)為他們持有的形式主義立場(chǎng)是與實(shí)在論的“柏拉圖主義”相對(duì)立的（[18]）；因此，至少一部分實(shí)在論者會(huì)認(rèn)為像科恩與謝拉赫這樣的形式主義者所能承認(rèn)的數(shù)學(xué)對(duì)象是ZFC 系統(tǒng)所承諾的，而在標(biāo)準(zhǔn)的形而上學(xué)解釋下，ZFC系統(tǒng)允許有任意大基數(shù)的集合，因此，這些形式主義者所承認(rèn)的數(shù)學(xué)對(duì)象將是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出有窮物項(xiàng)的。

在本小節(jié)一開(kāi)頭所引的觀(guān)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的，被稱(chēng)為是詞項(xiàng)形式主義，這種形態(tài)的形式主義在希爾伯特之前就已經(jīng)出現(xiàn)，它是弗雷格所批評(píng)的對(duì)象（[21]，第139頁(yè)），從我們上面的討論中不難了解，這種觀(guān)點(diǎn)并不被后來(lái)的形式主義者所認(rèn)同。

同詞項(xiàng)形式主義同樣“古老”的，是所謂的游戲形式主義。這一版本的形式主義認(rèn)為“數(shù)學(xué)各分支中的印刷字符并沒(méi)有什么數(shù)學(xué)的解釋”，注意，它與詞項(xiàng)形式主義是不同的，因?yàn)楹笳咧辽佟罢J(rèn)為數(shù)學(xué)是關(guān)于其詞項(xiàng)的”（[21]，第140 頁(yè)）；游戲形式主義在本體論上更加激進(jìn)，它所對(duì)應(yīng)的是一種徹底的反實(shí)在論，即認(rèn)為不存在任何的數(shù)、集合等等這樣的數(shù)學(xué)對(duì)象，顯然這也不會(huì)被后來(lái)的形式主義者認(rèn)同。

二十世紀(jì)四十年代以后，被認(rèn)為具有相對(duì)系統(tǒng)的形式主義思想的學(xué)者主要是科里。14這是夏皮羅（S.Shapiro）的觀(guān)點(diǎn)（[21]），不過(guò)這可能并不完全正確，因?yàn)楦油斫淖哉J(rèn)或者被認(rèn)為論述過(guò)形式主義思想的學(xué)者還有如加貝（M.Gabbay）等學(xué)者，只不過(guò)他們的思想似乎并不是相對(duì)純粹的形式主義的，而是與，比如虛構(gòu)主義（Fictionalism）等交織在一起，更詳細(xì)的介紹請(qǐng)參看斯坦福哲學(xué)百科的詞條數(shù)學(xué)哲學(xué)中的形式主義（[14]）?？评锍钟蟹葱味蠈W(xué)的立場(chǎng)（[14]），他認(rèn)為，“數(shù)學(xué)不應(yīng)該受任何（基本的形而上學(xué)假設(shè)以外的）假設(shè)的限制”（[21]，第165 頁(yè)），但是這并不是反實(shí)在論的；更確切地說(shuō)，科里在本體論上是中立的，比如，“他非常樂(lè)意致力于一個(gè)無(wú)限的本體論，這個(gè)本體論假定是抽象的表達(dá)式類(lèi)型”（[14]）。

從到目前為止的梳理中，我們似乎可以得出這樣的結(jié)論：形式主義并不必然導(dǎo)致反實(shí)在論，它可能并不那么支持實(shí)在論，但是也不會(huì)否定之，它應(yīng)該是謹(jǐn)慎的，因此形式主義可以在本體論是中立的。

4 重構(gòu)形式主義

在本節(jié)中我們會(huì)試圖重構(gòu)形式主義框架；這一框架應(yīng)該面向數(shù)學(xué)實(shí)踐，允許數(shù)學(xué)家們把一些概念視為是“理想元”，但是在本體論上又不做斷然的限制，同時(shí)這一框架應(yīng)該免于哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼摹肮簟薄?/p>

重構(gòu)的基礎(chǔ)是希爾伯特規(guī)劃，它是一個(gè)受到哥德?tīng)柌煌耆远ɡ怼捌茐摹钡男问街髁x框架，我們需要細(xì)致地整理希爾伯特的構(gòu)想，這一工作會(huì)結(jié)合著與科里的相關(guān)思想的對(duì)比討論來(lái)進(jìn)行。

科里從希爾伯特那里繼承下來(lái)的形式主義思想中主要有兩個(gè)基本概念：一是形式系統(tǒng)，二是元數(shù)學(xué)；可以認(rèn)為這兩個(gè)概念張成了形式主義框架的基本架構(gòu)。

所謂的形式系統(tǒng)是指形式化的公理系統(tǒng)。對(duì)形式系統(tǒng)的關(guān)注并不是在希爾伯特的第二個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究時(shí)期才發(fā)生的，他的1899 年的名著《幾何基礎(chǔ)》就構(gòu)造了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的第一個(gè)真正嚴(yán)格的形式系統(tǒng)，他在這方面的思考和研究的時(shí)間還可以往前推，比如有學(xué)者曾談到，早在1891 年希爾伯特就這樣說(shuō)過(guò)：“在一個(gè)真正的幾何學(xué)的公理化中你總能用‘桌子、椅子和啤酒杯’來(lái)代替‘點(diǎn)、直線(xiàn)和平面’?！保╗21]，第147 頁(yè)）科里則認(rèn)為，“隨著一門(mén)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，在其方法論上會(huì)變得越來(lái)越嚴(yán)格，結(jié)果是該分支在形式演繹系統(tǒng)中被編集成典”（[21]，第164頁(yè)）。也就是說(shuō)足夠成熟的數(shù)學(xué)分支最終都會(huì)形成一個(gè)形式系統(tǒng)，科里進(jìn)而“把這種形式化的進(jìn)程（當(dāng)）作為數(shù)學(xué)的本質(zhì)”（[21]，第165 頁(yè)）。更細(xì)致而言，即使我們接受實(shí)在論，認(rèn)為任何數(shù)學(xué)命題都非真即假，但是對(duì)那些真的數(shù)學(xué)命題，我們總需要把它們納入到一個(gè)形式系統(tǒng)中，即要么作為系統(tǒng)的公理，要么則是在一個(gè)形式系統(tǒng)中作為定理被推演得到。

形式主義的第二個(gè)基本概念是元數(shù)學(xué)，元數(shù)學(xué)在希爾伯特那里的要點(diǎn)是一致性證明。對(duì)希爾伯特規(guī)劃的一種工具主義（instrumentalism）的解讀是：希爾伯特把無(wú)窮數(shù)學(xué)當(dāng)作“理想元”，通過(guò)證明“理想元”對(duì)有窮主義數(shù)學(xué)的保守性來(lái)為這部分?jǐn)?shù)學(xué)辯護(hù)（[24]，第295 頁(yè)），這里的保守性指的是“如果借助于無(wú)窮數(shù)學(xué)可以證明某個(gè)有窮主義數(shù)學(xué)命題，那么在有窮主義數(shù)學(xué)中就可以證明該命題”15取自[24]，表述上有稍微的調(diào)整。；如果采用前述的約定，用PRA 表示有窮主義數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)，那么保守性的任務(wù)可以轉(zhuǎn)化為在PRA 中證明“理想元”對(duì)應(yīng)的形式系統(tǒng)的一致性（[24]，第296–300頁(yè)）這樣就導(dǎo)出了通常所說(shuō)的，元數(shù)學(xué)的主要任務(wù)是證明形式系統(tǒng)的一致性。

科里則認(rèn)為“一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)理論的論斷不應(yīng)該被解釋為某一特定的演繹系統(tǒng)（形式系統(tǒng)）之中若干動(dòng)作的結(jié)果，而應(yīng)該是關(guān)于形式系統(tǒng)的論斷”（[21]，第165 頁(yè)），他明確寫(xiě)道：“數(shù)學(xué)是關(guān)于形式系統(tǒng)的科學(xué)”16科里的論述（[3]），轉(zhuǎn)引自夏皮羅（[21]）。；關(guān)于形式系統(tǒng)、關(guān)于數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)研究正是元數(shù)學(xué)。由此可見(jiàn)科里對(duì)希爾伯特思想的某種繼承性，但是這不意味著科里只是對(duì)希爾伯特“錦上添花”似的發(fā)展?？评镏辽僭趦蓚€(gè)關(guān)鍵點(diǎn)上與希爾伯特存在著分歧。

第一點(diǎn)是，希爾伯特把元數(shù)學(xué)限制在有窮主義數(shù)學(xué)上17希爾伯特本人并未明確論述有窮主義數(shù)學(xué)的含義，自然也未給出其形式系統(tǒng)，一種較為常見(jiàn)的觀(guān)點(diǎn)是把原始遞歸算術(shù)PRA 視為有窮主義數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)，更加詳細(xì)的討論可參看[11,20,24]。，但是科里認(rèn)為“元數(shù)學(xué)本身也是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，……也應(yīng)該被形式化。元數(shù)學(xué)中的非有窮元結(jié)果通過(guò)建立元數(shù)學(xué)的一個(gè)形式系統(tǒng)而被納入考慮，……不會(huì)形成一個(gè)惡性無(wú)窮倒退”（[21]，第165 頁(yè)），因此并不需要在進(jìn)行元數(shù)學(xué)討論時(shí)進(jìn)行這種限制?？评镌谶@一點(diǎn)上可能是對(duì)的，但是要注意到，希爾伯特在提出他的規(guī)劃時(shí)尚未出現(xiàn)哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?，因此希爾伯特?duì)有窮性的限制可能是出于最大理想化的考慮，而并不是希爾伯特在數(shù)學(xué)本體論上的思想的反映18希爾伯特在[8]中確實(shí)有強(qiáng)烈的有窮主義哲學(xué)的色彩，但是希爾伯特的思想在不同的時(shí)期里并不那么固定。，因此希爾伯特很有可能會(huì)認(rèn)同科里的觀(guān)點(diǎn)。

科里與希爾伯特的第二個(gè)分歧則是，希爾伯特注重在元數(shù)學(xué)中證明“理想”數(shù)學(xué)的一致性，但是科里“并不要求一個(gè)一致性的證明”（[21]，第166 頁(yè)）。科里在這一點(diǎn)上對(duì)希爾伯特的偏離可能是有問(wèn)題的，盡管在哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼谋尘跋?，希爾伯特的“一致性證明”需要換以“相對(duì)一致性證明”以及其他的一些關(guān)于形式系統(tǒng)的研究。

哥德?tīng)柌煌耆远ɡ肀砻鳎魏伟銐蚨嗟乃阈g(shù)的形式系統(tǒng)，如果它是一致的，那么它無(wú)法證明其自身的一致性，自然也無(wú)法證明比它更“龐大”的系統(tǒng)的一致性，因此希爾伯特原初的元數(shù)學(xué)目標(biāo)確實(shí)不可能完成。不過(guò)，希爾伯特的“一致性證明”的受挫并不意味元數(shù)學(xué)的“消亡”，元數(shù)學(xué)的重要意義在于，它強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)的形式化，以及對(duì)形式系統(tǒng)的研究，這種研究是反思性的，一致性或者相對(duì)一致性只是其中的一個(gè)方面，盡管可能是最重要的方面之一；此外，我們還可以討論對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)命題的“辯護(hù)”恰好需要什么樣的公理，此即目前已經(jīng)得到了豐富成果的反推數(shù)學(xué)（Reverse Mathematics，[19]）；邏輯學(xué)家弗里德曼（H.Friedman）另辟蹊徑，研究了需要大基數(shù)公理的有窮數(shù)學(xué)命題（[4]），這一工作有兩方面的元數(shù)學(xué)意義：其一，由此可以走向?qū)ΤＲ?guī)數(shù)學(xué)完全的形式系統(tǒng)的找尋；其二，它也可以視為對(duì)那些新公理的某種辯護(hù)——屬于常規(guī)數(shù)學(xué)的有窮數(shù)學(xué)命題的獲取需要它們。

上面的討論使我們看到，盡管希爾伯特原初的“一致性證明”的元數(shù)學(xué)失敗了，但是，作為對(duì)數(shù)學(xué)的反思性研究的元數(shù)學(xué)仍然具有著強(qiáng)勁的生命力，因此它（們）仍然是形式主義的重要組成部分。

綜上，我們認(rèn)為，形式主義仍然是一個(gè)有著獨(dú)特生命力的研究框架，它的核心“構(gòu)件”是形式系統(tǒng)與元數(shù)學(xué)。各種形式系統(tǒng)一方面可以是對(duì)已有數(shù)學(xué)結(jié)果的系統(tǒng)化整理，另一方面，或許更加重要的是，可以以“隱定義”的方式引入“理想元”，在擱置對(duì)其本體論地位的爭(zhēng)論的前提下促發(fā)新的數(shù)學(xué)研究；而對(duì)形式系統(tǒng)的性質(zhì)、形式系統(tǒng)之間關(guān)系等的研究則為典型的元數(shù)學(xué)工作。

5 形式主義視角下的多宇宙觀(guān)

在第三、四節(jié)里我們討論一種新的形式主義框架，它在本體論上是中立的，而在第二節(jié)中，我們也了解到多宇宙觀(guān)并不必然導(dǎo)向?qū)嵲谡摚虼?，將多宇宙觀(guān)納入到這種新的形式主義框架是可能的。在這一節(jié)里，我們將嘗試把基于多宇宙概念的幾方面的具體工作，納入到框架的合適的“位置”上去。

首先是獨(dú)立性研究，這方面的工作反映的是相應(yīng)的形式系統(tǒng)的非完全性。自二十世紀(jì)六十年代以來(lái)，獨(dú)立性相關(guān)的工作在公理集合論研究中蔚為大觀(guān)。從形式主義的角度看，一個(gè)獨(dú)立性結(jié)果一般由兩個(gè)相對(duì)一致性證明組成：假設(shè)我們認(rèn)為T(mén)是一個(gè)一致的理論，進(jìn)入，如果我們獲得了兩個(gè)相對(duì)一致性命題Con(T)→Con(T+φ)以及Con(T)→Con(T+?φ)，那么就得到了φ相對(duì)于T的獨(dú)立性，即，我們必須承認(rèn)，T既證明不了φ，也證明不了φ的否定，除非我們認(rèn)為T(mén)是不一致的。多宇宙觀(guān)則為這種獨(dú)立性證明提供了“工業(yè)化”的程序：假設(shè)在多宇宙中有T的模型，如果能使用力迫法在多宇宙中構(gòu)造T+φ的模型以及T+?φ的模型，即可獲得相應(yīng)的獨(dú)立性結(jié)果。許多重要的獨(dú)立性研究都以這種方式完成。（[13]）

其次是新公理的搜尋。對(duì)于實(shí)在論者，自然不會(huì)僅滿(mǎn)足于ZFC 中的可證性，而是希望能夠獲取更強(qiáng)的新公理。對(duì)新公理的搜尋目前也是公理集合論的一個(gè)主要的研究方向。這方面的工作仍然是可以在新的形式主義框架下進(jìn)行的：我們可以先把新公理所表達(dá)的視為理想元，然后去考察增加了新公理后的新的形式系統(tǒng)的豐富性，這是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)一直在實(shí)踐著的方法。那么一個(gè)自然的問(wèn)題是，什么樣的數(shù)學(xué)命題可以作為新公理的候選？前述的弗里德曼規(guī)劃是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的一種回應(yīng)：為獲得具有某種獨(dú)立性的常規(guī)數(shù)學(xué)結(jié)果所必須的命題可能可以作為新公理的候選。這一進(jìn)路是形式主義的。

對(duì)探究新公理問(wèn)題的另外一個(gè)回應(yīng)則改造自武丁的一個(gè)批評(píng)（[15,18]）。武丁認(rèn)為19更詳細(xì)的介紹請(qǐng)參看[18]的第二節(jié)。，在假設(shè)武丁基數(shù)類(lèi)是真類(lèi)和Ω 猜想下，脫殊多宇宙真理觀(guān)只是“把整個(gè)集合宇宙的真歸結(jié)為這個(gè)宇宙的某個(gè)清晰片段的真”，因此“只是一種更為精致的形式主義”（[18]）。如前所述，那種把真視為某個(gè)固定的形式系統(tǒng)中的可證性的意象只是對(duì)形式主義的“卡通般”的描畫(huà)，新的形式主義框架自然不會(huì)限制于這種“片段的真理”，盡管它確實(shí)強(qiáng)調(diào)可證性，但是它允許有多種的形式系統(tǒng)，并且并不否定形式系統(tǒng)中使用到的理想元和理想命題可能的實(shí)在性，因此武丁的批評(píng)或許可以說(shuō)是對(duì)形式主義的一個(gè)具體策略的駁斥，但是并未直接否定形式主義本身，相反，由武丁的批評(píng)可以導(dǎo)向?qū)η笆鰡?wèn)題的這樣的一個(gè)回應(yīng)：一個(gè)數(shù)學(xué)命題是脫殊絕對(duì)的或者在力迫下不變的可能是它可以作為新公理候選的一個(gè)必要條件，其理由恰恰在于，作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的集合論應(yīng)該是對(duì)數(shù)學(xué)的最基本、最普遍的描畫(huà)，因此，集合論公理應(yīng)該具有某種絕對(duì)性。

最后，就如希爾伯特規(guī)劃促生了證明論那樣，在新的形式主義的框架下，對(duì)于多宇宙的研究也在形成新的數(shù)學(xué)實(shí)踐。例如，前面介紹過(guò)的多宇宙觀(guān)的主要倡導(dǎo)者，哈姆肯斯與弗里德曼都與他們各自的合作者進(jìn)行了系統(tǒng)性的研究20前一方面的工作請(qǐng)參看[22]，后一方面的工作請(qǐng)參看[1,2]。，這方面的工作也得到了其他研究者的跟隨與呼應(yīng)21比如，最近文丘里（G.Venturi，[12]）將羅賓遜無(wú)窮力迫法應(yīng)用到脫殊多宇宙上，以對(duì)脫殊模型的選取進(jìn)行代數(shù)探討。。

6 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)對(duì)象，或者更一般的集合對(duì)象的實(shí)在性一直是數(shù)學(xué)哲學(xué)中爭(zhēng)論的焦點(diǎn)。形式主義常常被與反實(shí)在論相關(guān)聯(lián)著，但是這并不確切，許多擁護(hù)形式主義的學(xué)者至多只是持有部分實(shí)在部分反實(shí)在觀(guān)，而這在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是非常常見(jiàn)的。更重要的是這一斷定或許是偏離形式主義的真正要點(diǎn)的：形式主義的真正要義在于注重形式系統(tǒng)、注重元數(shù)學(xué)；它注意到了數(shù)學(xué)實(shí)踐中存在著理想元和理想命題這一事實(shí)，從而在本體論上采取相對(duì)謹(jǐn)慎的態(tài)度，但是這并不意味著它對(duì)那些理想元持反實(shí)在論的看法，事實(shí)上，理想元、理想命題的提出恰恰是人類(lèi)創(chuàng)造力和想象力的產(chǎn)物，它們是否最終被接受依賴(lài)于它們是否提供了深刻的洞見(jiàn)、是否帶來(lái)了豐富的數(shù)學(xué)成果，而這與形式主義對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的注重是一致的。

多宇宙觀(guān)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中新近出現(xiàn)的一組觀(guān)點(diǎn)，它（們）的特點(diǎn)在于其并非只是純哲學(xué)概念性的，與之對(duì)應(yīng)著精確的數(shù)學(xué)概念以及豐富的研究課題，它并不必然導(dǎo)向?qū)嵲谡摿?chǎng)，因此可以容納到新的形式主義框架中去，在這種改造后的形式主義的框架下，它會(huì)為當(dāng)前的數(shù)學(xué)實(shí)踐提供認(rèn)識(shí)論上的理?yè)?jù)，同時(shí)也像希爾伯特規(guī)劃樣式的形式主義那樣，創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)實(shí)踐形式。形式主義以及多宇宙觀(guān)最終都是“為了人類(lèi)心智的榮耀”。