桂海斌

1 引言

懷疑是在知識論的研究中無法避開的一個概念，因為知識論正是在懷疑的聲浪中不斷發(fā)展前行的。以笛卡兒（R.Descartes）為代表的懷疑論者秉持著普遍懷疑原則主張懷疑一切，而維特根斯坦（L.Wittgenstein）則明確地指出，“如果你試圖懷疑一切，那么你將不能懷疑任何東西”。（[10]，第115 頁）為此，維特根斯坦提出了鮮明的口號：“懷疑來自信念之后”。（[10]，第160 頁）無獨(dú)有偶，波蘭尼（M.Polanyi）在明確了毫無限制的懷疑并不能為我們提供新的認(rèn)識之后，亦提出了“懷疑不能在信托框架之外起作用”的主張。（[5]，第266 頁）

盡管維特根斯坦和波蘭尼使用的術(shù)語不同，但都區(qū)分了“合理的懷疑”和“不合理的懷疑”，將普遍懷疑歸屬于不合理的懷疑范疇，主張合理的懷疑需要理由。（[11]，第59 頁）不同于維特根斯坦和波蘭尼對“不合理的懷疑”的直接拒斥，普賴爾（J.Pryor）在研究所謂的毫無理由的“不合理的懷疑”時，為我們揭示了一種相信與懷疑共存的認(rèn)知狀態(tài)，即僅依據(jù)某種不恰當(dāng)?shù)目赡苄詫σ粋€命題進(jìn)行懷疑時，認(rèn)知主體依然可以形成關(guān)于該命題的信念。（[7]，第525 頁）

簡要言之，維特根斯坦和普賴爾研究懷疑時的進(jìn)路不盡相同，區(qū)別在于分別將“有理由的懷疑”和“僅由某種可能性被提出而產(chǎn)生的懷疑”作為各自的主要研究對象，是兩個不同層次的懷疑研究進(jìn)路。本文的側(cè)重點(diǎn)是前者，以信念和懷疑之間的密切關(guān)系為切入點(diǎn)，將基于證據(jù)的懷疑作為待考察的研究對象。

本文結(jié)構(gòu)如下：第二節(jié)，介紹學(xué)者已經(jīng)提出的懷疑的定義，以及對懷疑進(jìn)行形式化的研究，分析和討論它們的不足之處。第三節(jié)，將懷疑作為靜態(tài)的認(rèn)知態(tài)度，通過考察與懷疑相關(guān)的有效式和非有效式來揭示懷疑的邏輯性質(zhì)。第四節(jié)，將懷疑作為動態(tài)的認(rèn)知過程，考察初始認(rèn)知狀態(tài)為相信某個命題，在引入該命題否定的證據(jù)集后認(rèn)知狀態(tài)所發(fā)生的變化，并給出動態(tài)算子的歸約公理及其有效性的證明。第五節(jié)，總結(jié)本文的研究工作和得到的研究結(jié)果。

2 對懷疑定義的研究

就邏輯的研究而言，對信念的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟，但對懷疑的邏輯研究卻并不多見。要邏輯地研究懷疑，首先需要弄清楚的就是懷疑是什么。薩蒙（N.Salmon）在對懷疑進(jìn)行研究時，曾對懷疑做了如下的定義（[8]，第1 頁）：

·A懷疑p被定義為：A不相信p，或A中止了對p的判斷。

–A不相信p被定義為：A相信?p。

–A中止了對p的判斷被定義為：并非A相信p，且并非A相信?p。

對于薩蒙的定義，撒加德（G.Thagard）直接指出了其中的問題，即對于任意的命題p,要么A相信p，要么A懷疑p。（[9]，第392 頁）而從邏輯的角度上看，薩蒙將“不相信p”和“并非相信p”當(dāng)作了兩個不同的概念也是不對的，因為“不”和“并非”都是否定連接詞“?”的體現(xiàn)，換言之，“不相信p”和“并非相信p”表達(dá)的是同一個涵義。

奧爾森（E.J.Olsson）和普羅耶蒂（C.Proietti）在研究群體信念時，也曾簡要地提到對懷疑的定義（[6]，第503 頁）：

· 懷疑p被定義為：不相信p，且不相信?p。

然而這種定義的問題在于，懷疑p和懷疑?p沒有被區(qū)分出來。換言之，依照該定義，在懷疑p的同時，也懷疑?p。

此外，鮑梅爾（M.M.B?umel）在形式化維特根斯坦觀點(diǎn)的工作中也明確地給出了基于概率理論的懷疑定義（[1]，第36 頁）：

·μ(?H)≠1∧?E ?W(μ(E)<1∧dwE >t ∧μ(H |E)

依據(jù)鮑梅爾提供的定義，“在點(diǎn)w上懷疑一個命題H”需要滿足四個具體的要求：(1)?H的概率小于1；(2)存在證據(jù)E且E的概率小于1；(3)dwE表達(dá)的是證據(jù)E在點(diǎn)w上的安全度，需要E在w點(diǎn)上的安全度比t大1根據(jù)鮑梅爾提供的概率方法，閾值（threshold）t 的取值范圍是(0.5,1]。E 在w 點(diǎn)上的安全度反映了認(rèn)知主體在點(diǎn)w 上拒斥E 的意愿，E 的安全度越高，拒斥E 的可能性越小。；(4)給定證據(jù)E后H的概率至少要小于t。

與其他學(xué)者提出的懷疑的定義有著明顯的不同，鮑梅爾提出的定義，將證據(jù)因素直接納入到了懷疑的定義中。該定義的要求(4)，清楚地表達(dá)了這樣的一個思想，即我們在懷疑命題H時，不相信命題H是因為我們有證據(jù)E。但是，以概率的方式對懷疑進(jìn)行定義，或多或少會帶有一定的局限性，即閾值t的取值難免具有一定的主觀性，在不同的情景下，t的取值總是不盡相同，而不同的t的取值很可能會導(dǎo)致不同的認(rèn)知狀態(tài)。

通過分析和總結(jié)學(xué)者們關(guān)于懷疑的已有研究，不難發(fā)現(xiàn)，我們至少還能從兩個方面推進(jìn)對懷疑的形式化研究。一方面，以非概率的方式，繼續(xù)對基于證據(jù)的懷疑進(jìn)行系統(tǒng)的形式化研究，考察懷疑的邏輯性質(zhì)；另一方面，除了將懷疑定義為靜態(tài)的認(rèn)知態(tài)度，我們還可以把懷疑視作是動態(tài)的過程進(jìn)行研究。本文對懷疑的形式化研究，將基于以上兩個方面展開。不論是對于作為認(rèn)知態(tài)度的靜態(tài)懷疑，還是對于作為動態(tài)過程的動態(tài)的懷疑，本文都將緊緊圍繞著證據(jù)因素對它們進(jìn)行分析和研究。

3 靜態(tài)的懷疑

鄰域語義的證據(jù)模型，最早是由范丙申（J.van Benthem）和帕奎特（E.Pacuit）共同提出的（[3]，第63 頁），用于研究證據(jù)和基于證據(jù)的信念之間的關(guān)系。本文所使用的語義與范丙申等提供的語義的區(qū)別在于信念的定義，而不同之處將直接體現(xiàn)在證據(jù)和信念之間的關(guān)系上。

定義1(語言L).令A(yù)t為原子公式的集合，基礎(chǔ)證據(jù)模型語言的遞歸定義如下：

其中，p ∈At。其它的命題連接詞（∨,→,?）的情況和通常的定義一樣。□?讀作“認(rèn)知主體有?的證據(jù)”，B?讀作“認(rèn)知主體相信?”以及A?讀作“?在所有點(diǎn)上都為真”。將E作為A的對偶算子，E?被定義為?A??。

定義2(證據(jù)模型).一個證據(jù)模型是一個三元組M=，其中W是一個非空點(diǎn)集，N是一個鄰域關(guān)系：V是一個賦值函數(shù)：我們將N(w)記作為集合{X |w N X}，特別地，對于任意的w ∈W，??N(w)并且W ∈N(w)。如果對于模型M中任意的兩個點(diǎn)w和v都有N(w)=N(v)，那么我們稱模型M是均衡的證據(jù)模型。2定義2 中的證據(jù)模型定義引自文獻(xiàn)[3]，因其最早在文獻(xiàn)[3]中被提出。文獻(xiàn)[3]和[2]中的證據(jù)模型的定義是無差異的。其中“uniform evidence model”被筆者譯為“均衡的證據(jù)模型”。所謂“uniform evidence model”的直觀理解是，對于每一個“uniform”的證據(jù)模型中任意的兩個點(diǎn)，它們的鄰域都是相同的或無差別的，故而取“均衡”一詞，以表達(dá)不偏不倚之意。

定義3(極大有窮相交性).一個集簇X是一個W子集的集合，如果對于每一個X的有限子簇{X1,…,Xn}?X都有∩1≤i≤n Xi≠?，那么我們稱X具有有窮相交性（f.i.p）。如果X具有有窮相交性，并且沒有其它X的擴(kuò)充具有這個性質(zhì)，那么我們稱X有極大有窮相交性。3定義3 中的極大有窮相交性定義，參考的是范丙申和帕奎特等人對證據(jù)模型更進(jìn)一步的研究中的定義，即文獻(xiàn)[2]中的定義。對于極大有窮相交性，文獻(xiàn)[2]中的定義（Definition 2.3，在第99 頁處）不同于文獻(xiàn)[3]的定義（Definition 2.2，在第63 頁處）。在帕奎特的專著《模態(tài)邏輯的鄰域語義》（[4]）的一個章節(jié)“證據(jù)和信念的邏輯”中，可以找到與文獻(xiàn)[2]一樣的極大有窮相交性的定義，即文獻(xiàn)[4]第33 頁中，Definition 1.36 對極大有窮相交性的定義。本文的研究結(jié)果是基于文獻(xiàn)[2]中的極大有窮相交性的定義展開的，不依賴于文獻(xiàn)[3]的極大有窮相交性的定義。

命題1.M=是一個任意的證據(jù)模型，w是模型M中任意的一個點(diǎn)。對于任意的極大有窮相交性的簇X ?N(w)，都有W ∈X。

證明.假設(shè)有一個極大有窮相交性的簇X使得W?X。根據(jù)定義，對于每一個X ∈X，X ?W。于是，∩{X ∪W}=∩X。然而，X ?{X ∪W}。于是，X就不是極大的。但這與X是一個極大有窮相交性的簇相矛盾。因此原假設(shè)不成立。

為了讓讀者對極大有窮相交性有更加直觀的了解，我們將通過具體的證據(jù)模型來對它進(jìn)行說明：

M=是一個證據(jù)模型，W={w,u,v}，N(w)={{u},{v},{w,v},{w,u,v}}，N(u)={{u},{w,u},{w,u,v}}，N(v)={{w},{w,u},{u,v},{w,u,v}}，V=?。

圖1:證據(jù)模型例示

其中，w的鄰域N(w) 中有兩個有極大有窮相交性的集簇，分別是X1={{u},{w,u,v}}，X2={{v},{w,v},{w,u,v}}；u的鄰域N(u)中有一個有極大有窮相交性的集簇Y，Y={{u},{w,u},{w,u,v}}；v的鄰域N(v)中也有兩個有極大有窮相交性的集簇，分別是Z1={{w},{w,u},{w,u,v}}，Z2={{w,u},{u,v},{w,u,v}}。

定義4(真值條件).令M=(W,N,V)是一個證據(jù)模型，點(diǎn)w ∈W是模型M中任意的一個點(diǎn)。公式? ∈L的真值條件被遞歸定義為：

·M,wp，當(dāng)且僅當(dāng)，w ∈V(p)。

·M,w??，當(dāng)且僅當(dāng)，

·M,w? ∧ψ，當(dāng)且僅當(dāng)，M,w?，并且M,wψ。

·M,w□?，當(dāng)且僅當(dāng)，存在一個有關(guān)系wNX的集合X，使得對每一個點(diǎn)v ∈X，都有M,v?。

·M,wB?，當(dāng)且僅當(dāng)，對于每一個具有極大有窮相交性的簇X ?N(w)和對每一個點(diǎn)v ∈∩X都有M,v?，并且對于任意的X ∈N(w)，倘若存在一個點(diǎn)x ∈X ∈X使得M,x??，那么存在另一個點(diǎn)u ∈X使得u ∈∩X。

·M,wA?，當(dāng)且僅當(dāng)，對于所有的點(diǎn)v ∈W,M,v?。

將模型M中所有滿足?的點(diǎn)的集合記作可滿足性和有效性的定義和它們在標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)邏輯中的定義一樣。

就基于證據(jù)的信念而言，我們認(rèn)為有證據(jù)支持?并不意味著認(rèn)知主體就會相信?。為了相信一個命題?，認(rèn)知主體需要考慮他所持有的全部證據(jù)，具體而言，就是考察證據(jù)集中每一個具有極大有窮相交性的證據(jù)集簇X。這樣的思想，在范丙申等人定義的B算子中就已經(jīng)被體現(xiàn)出來了。（[3]，第64 頁）在他們的基礎(chǔ)上，本文對B算子還做了額外的要求：相信一個命題?，就意味在證據(jù)集中的每一個證據(jù)里，都至少有一個滿足?的點(diǎn)。

通過考察公式□? →?B??的有效性，就能夠體現(xiàn)出二者的區(qū)別。在范丙申等人對證據(jù)模型的進(jìn)一步研究中，曾通過一個無窮模型指出，依據(jù)他們對B算子的定義，□? →?B??在所有證據(jù)模型的類上不是有效的，僅在這樣的證據(jù)模型類上才是有效的，即極大有窮相交性簇的廣義交集不為空的模型類。4因此，范丙申等在保持信念語義不變的情況下轉(zhuǎn)向研究極大有窮相交性的簇的廣義交集不為空的證據(jù)模型類。（[2]，第100 頁）

依據(jù)本文所提供的語義，□? →?B??在所有證據(jù)模型的類上也是有效的。就直觀理解而言，該命題的有效性體現(xiàn)了證據(jù)和信念之間的關(guān)系：證據(jù)集中有某個命題的證據(jù)，就意味著不會相信該命題的否定。從另一個方向上說，相信了某個命題的否定，就意味著，證據(jù)集中沒有該命題的證據(jù)。

命題2.□? →?B??是有效的。

證明.假定M,w□?，根據(jù)定義，存在一個證據(jù)X ∈N(w)使得又根據(jù)定義??N(w)，因此X不是空集。也就是說，X中的每一個點(diǎn)都滿足?，并且X中至少有一個點(diǎn)x使得M,x?。假設(shè)M,wB??，首先，根據(jù)定義，對于每一個有極大有窮相交性的簇X，都會使得∩X中的每個點(diǎn)都滿足??。其次，由于X不是空集，于是根據(jù)定義，對于每個含有X的簇X，還要求X中存在另一個點(diǎn)u使得u ∈∩X，也就是說，M,u??。這就與矛盾了。因此，原假設(shè)不成立。

由命題2 很容易聯(lián)系到引文中已經(jīng)提到的內(nèi)容，即在維特根斯坦看來，“合理的懷疑”需要理由。就證據(jù)模型而言，懷疑命題?就需要有??的證據(jù)，這也正是懷疑?意味著不相信?的原因之所在。于此同時，懷疑?也意味著并非模型中所有的點(diǎn)都滿足??，因為倘若所有的點(diǎn)都滿足??將會直接拒斥?，而不會懷疑?。因此，本文將懷疑定義為“存在滿足?的可能性，但是有??的證據(jù)”：

將D?讀作“?是可疑的”，其真值條件如下：

相應(yīng)地，與懷疑相關(guān)的有效式和非效式主要有：

表1:與懷疑相關(guān)的有效式和非有效式

從表1 上看5表1 中的公式有效性的證明參見附錄A。，?B? →D?不是有效的，解決了薩蒙的定義中的問題，即并非對于任意的命題，要么相信該命題，要么懷疑該命題。此外，D? →□??的有效性直接表達(dá)了懷疑是基于證據(jù)的思想，再結(jié)合D? →D??不是有效的，則解決了奧爾森和普羅耶蒂所提供的定義中的問題，即懷疑狀態(tài)可以通過審視證據(jù)模型中的證據(jù)來判定，是懷疑一個命題，還是懷疑一個命題的否定，而不是像奧爾森和普羅耶蒂給出的定義那樣，懷疑一個命題的同時，總會懷疑該命題的否定。

□? →?B??是有效的，表達(dá)了不相信一個命題的認(rèn)知狀態(tài)，是由該命題的否定的證據(jù)導(dǎo)致的。再結(jié)合D? →?B?的有效性和D? →□??的有效性，不難發(fā)現(xiàn)懷疑狀態(tài)下的不相信狀態(tài)，正是由引發(fā)懷疑的證據(jù)所導(dǎo)致的，即在懷疑某個命題?時，不相信?的原因在于有??的證據(jù)。而這點(diǎn)恰與鮑梅爾提出的定義中的要求(4)是契合的，即我們在懷疑命題H時，不相信命題H是因為我們有證據(jù)E。

更進(jìn)一步的，對D算子的邏輯性質(zhì)進(jìn)行考察，發(fā)現(xiàn)D(? →ψ)→(D? →Dψ)不是有效的，這說明D算子在分配律上是不成立的。

命題3.D(? →ψ)→(D? →Dψ)不是有效的。

證明.考慮這樣的一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w}，V(q)=?。

· 由于，也就是(p →q)，根據(jù)定義，M,w□?(p →q)。又因為，也就是，根據(jù)定義，(p →q)。于是，(p →q)。

· 由于M,u并且，根據(jù)定義，M,w□?p。又因為，根據(jù)定義，。于是，。但是，由于V(q)=?，根據(jù)定義，M,wEq。于是，M,wDq。因此，M,wDp →Dq。

綜上，M,wD(? →ψ)→(D? →Dψ)。

雖然公式D(? →ψ)→(D? →Dψ)不是有效的，但我們總能找到懷疑算子所遵循的規(guī)律，比如公式D(? →ψ)→(A? →Dψ)就是有效的。

命題4.D(? →ψ)→(A? →Dψ)是有效的。

證明.假定M,wD(? →ψ)并且M,wA?。根據(jù)定義，M,wD(? →ψ)當(dāng)且僅當(dāng)M,w□?(? →ψ)∧E(? →ψ)，也就是M,w□(? ∧?ψ) 并且M,wE(?? ∨ψ)。再根據(jù)定義，M,w□(? ∧?ψ)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個X∈N(w)使得X中的每一個點(diǎn)都滿足? ∧?ψ，因此也就存在一個X ∈N(w)使得X中的每一個點(diǎn)都滿足?ψ，即M,w□?ψ。由于M,wA?，故模型中所有的點(diǎn)都滿足?，而M,wE(?? ∨ψ)，也就是模型M中存在一個點(diǎn)滿足?? ∨ψ，因此，模型M中存在一個點(diǎn)滿足ψ，即M,wEψ。綜上，M,wDψ。

D(? →ψ)→(A? →Dψ)是有效的，該公式有效性的直觀意義在于，如果被懷疑的命題是一個蘊(yùn)涵式，那么，一旦我們確認(rèn)該蘊(yùn)涵式的前件在所有的點(diǎn)上都為真，我們的懷疑焦點(diǎn)就會轉(zhuǎn)移到該蘊(yùn)涵式的后件上。它給予我們的一些啟發(fā)在于，在推理過程中，懷疑也有著它所遵循的規(guī)律，我們通過發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用這些規(guī)律也可以獲得新的認(rèn)識。

4 動態(tài)的懷疑

在第三節(jié)將懷疑作為靜態(tài)算子考察時，通過命題2 得出懷疑某個命題?時，不相信?是因為有??的證據(jù)。倘若認(rèn)知主體的初始認(rèn)知狀態(tài)是相信?，那么將??的證據(jù)引入到證據(jù)集中后，認(rèn)知主體的認(rèn)知狀態(tài)究竟會發(fā)生怎樣的變化？

定義5(動態(tài)懷疑).M=是一個證據(jù)模型，并且? ∈L。懷疑后的模型M??=??,N??,V??，其中W??=W，V??=V，N??(w)=N(w)∪{{u} |將[??]ψ記作：“如果初始時，相信?且存在著??的可能性，那么在懷疑?之后，ψ為真”。它的真值條件如下：

M,w[??]ψ，當(dāng)且僅當(dāng)，如果M,wB? ∧?A?，那么M??,wψ。

通過觀察動態(tài)懷疑的定義可以發(fā)現(xiàn)，被添加到證據(jù)模型中的集合不是某一個證據(jù)，而是每一個具體的證據(jù)的集合。將這樣的更新理解為動態(tài)懷疑的更新是基于以下兩點(diǎn)考慮：(1)每個引發(fā)懷疑的可能性都是具體的，即該可能性引發(fā)懷疑不僅僅是因為該可能性存在，而是確有支持該可能性的證據(jù)。(2)單個的證據(jù)被提出時會容易被否掉，因為認(rèn)知主體往往不會由于單個的證據(jù)被提出而直接改變自己的信念，而會檢測被提出的單個證據(jù)是不是站的住腳，即是否能作為證據(jù)被接納。在科學(xué)發(fā)展史上，廣為人知的對“地心說”的懷疑就是具體的例子。6在哥白尼（Copernicus）正式提出“日心說”之前，由于權(quán)威教會對“地心說”的支持，以及在一定時期里依據(jù)“地心說”的本輪模型可以在一定程度上正確地預(yù)測天象，在生產(chǎn)實(shí)踐中也起過一定的作用，因而天文學(xué)者們相信“地心說”。然而，隨著天文儀器的不斷完善，觀測到的行星實(shí)際位置同本輪模型計算結(jié)果的偏差逐漸出現(xiàn)。起初，人們并沒有認(rèn)識到這是由于“地心說”本身的錯誤造成的，為了修正誤差，不得不反復(fù)地引入本輪來補(bǔ)救“地心說”。到了哥白尼的時代，反復(fù)嵌套的本輪已經(jīng)達(dá)近百個，卻仍不能滿意地計算出行星的準(zhǔn)確位置。正是由于彼時每一個具體的偏差的疊加，使得當(dāng)時的天文學(xué)者們轉(zhuǎn)而懷疑“地心說”。

命題5.對于任意的證據(jù)模型M和任意的p ∈At，M,w[?p]Dp。

證明.假定M,wBp ∧?Ap。由于N?p(w)=以及M,w?Ap，又因為在動態(tài)變化中V(?p)=V?p(?p)，于是至少有一個單元素集{u}并且M?p,u?p，也就是至少存在一個非空的證據(jù)X ∈N?p(w)使得根據(jù)定義，M?p,w□?p。由于M,wBp ∧?Ap，也就是M,wBp并且M,w?Ap。首先，由于M,wBp，根據(jù)定義，對于每一個有極大有窮相交性的簇X ?N(w)，都有其次，由于M,w?Ap且W ∈N(w)，再根據(jù)命題1，對于每一個有極大有窮相交性的簇X，至少存在一個證據(jù)W ∈X，使得W中存在一個點(diǎn)y并且M,y?p。結(jié)合M,wBp，根據(jù)B的語義，W中至少存在一個不同于y的點(diǎn)v，使得。又因為W=W?p并且V(p)=V?p(p)，故而存在一個點(diǎn)v ∈W?p，使得M?p,v p，根據(jù)E的語義，M?p,w Ep。因此，M?p,w Dp，根據(jù)的語義，M,w[?p]Dp。

命題5 為我們說明了對于任意的原子命題p，如果一個認(rèn)知主體的初始認(rèn)知狀態(tài)是相信p，那么在引入?p的證據(jù)集后，該認(rèn)知主體就會懷疑p，這也意味著彼時該認(rèn)知主體不相信p。遺憾的是，命題5 的有效性并不能推廣到任意的公式。

不妨考慮這樣的一個模型M，其中W={w,u,v}，N(w)={{w,u},{w,v},{w,u,v}}，N(u)=N(v)={{w,v},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w}。根據(jù)定義，，，，以及。更進(jìn)一步地，根據(jù)定義，M?Bp,w ?Bp，M?Bp,u ?Bp和M?Bp,v ?Bp，于是M?Bp,w?EBp，根據(jù)定義，M?Bp,w?DBp。因此，M,w?[?Bp]DBp。

從技術(shù)的角度上說，不能推廣到任意公式是由于動態(tài)變化后證據(jù)集發(fā)生了變化，而證據(jù)集的變化則會導(dǎo)致證據(jù)模型中有極大有窮相交性的簇的重組，形成新的集簇，此舉會對B前置的公式在新模型中是否被滿足產(chǎn)生很大的影響。盡管命題5 的有效性不能推廣到任意的公式，但它也體現(xiàn)出由證據(jù)集變化導(dǎo)致的認(rèn)知狀態(tài)的改變不是機(jī)械的而是靈活的，即我們不能僅簡單的考慮新添加的證據(jù)來判斷認(rèn)知狀態(tài)的變化，而更應(yīng)該重新審視新的證據(jù)集，對新形成的證據(jù)模型的模型結(jié)構(gòu)做整體的考察。

命題6.?是語言L中的任意公式。如果M=是一個均衡的證據(jù)模型，那么對于W中的任意兩個點(diǎn)w、v，當(dāng)且僅當(dāng)。

證明.命題6 的證明直接依據(jù)B和A算子的語義，以及均衡證據(jù)模型的性質(zhì)就可以得出，故證明從略。

就命題6 的直觀理解而言，它表達(dá)了在任意一個均衡的證據(jù)模型中，對于模型中任意的兩個點(diǎn)，它們的鄰域都是相同的，故而B? ∧?A?的取值與模型中的點(diǎn)無關(guān)。因此，命題6 為我們在均衡的證據(jù)模型類上對動態(tài)懷疑的性質(zhì)進(jìn)行研究奠定了基礎(chǔ)。

引理1.令M是任意的一個證據(jù)模型，w是模型M中任意的一個點(diǎn)，M??是模型M在動態(tài)懷疑?后生成的模型。如果，那么其中X是模型M中任意的一個極大有窮相交性的簇，Y是模型M??中任意的一個極大有窮相交性的簇。

證明.假定，根據(jù)定義，模型M中的每一個極大有窮相交性的簇X，它的廣義交集中的每一個點(diǎn)都滿足?并且廣義交集不是空集，7由于M,w ?A?，根據(jù)定義，也就是W 中存在一個點(diǎn)s，使得M,s ??。又根據(jù)定義W ∈N(w)，所以模型M 中的每一個極大有窮相交性的簇X 都包含有W。又由于M,w B?，根據(jù)定義，對于每一個X，W 中都存在一個不同于s 的點(diǎn)落在∩X 中，且∩X 中的點(diǎn)都是滿足? 的。因此，模型M 中的每一個極大有窮相交性的簇X，它的廣義交集中的每一個點(diǎn)都滿足? 并且廣義交集不是空集。即∩X ?并且∩X≠?。由于N??(w)=故M??中所有極大有窮相交性的簇的集合{Y | Y是模型M??中一個有極大有窮相交性的簇}={X | X是模型M中的一個有極大有窮相交性的簇}∪{Z | Z={X1,...,Xn，{u}}，其中并且u ∈X1∈N(w),...,u ∈Xn ∈N(w)}。8就直觀理解而言，模型M?? 中的有極大有窮相交性的簇由兩部分組成，其一，是模型M 中原本的那些有極大有窮相交性的簇，因為在動態(tài)變化中，被添加到N(w)中的每一個集合都是單元素集，且每個單元素集中的點(diǎn)都滿足?? 的，這些單元素集和M 中原本的有極大有窮相交性的簇的廣義交的交必定為空，因為模型M 中的每一個極大有窮相交性的簇X 的廣義交集中的每一個點(diǎn)都滿足? 且廣義交集不是空集，因而，模型M 中原本的那些有極大有窮相交性的簇在動態(tài)變化后都被保留了下來；其二，是由模型M 中的證據(jù)集和新添加的單元素集，形成的新的有極大有窮相交性的簇，由于是和單元素集形成的極大有窮相交性的簇，這些新形成的有極大有窮相交性的簇，它們的廣義交就是一個個的單元素集，且這些單元素集中的點(diǎn)都滿足??，而這些廣義交再并起來，就是??M。因此，

由于Z是僅由某個單元素集合{u}和原模型M中某些含有點(diǎn)u的證據(jù)構(gòu)成的，因此∩Z就是{u}。于是，

定理1.以下歸約公理在均衡的證據(jù)模型類上是有效的：

證明.歸約公理1–3 是分別關(guān)于原子命題和布爾公式的情況，它們分別與范丙申等給出的“證據(jù)添加”的歸約公理EA1、EA2和EA3相對應(yīng)（[3]，第73 頁），相應(yīng)的歸約公理的有效性證明方法也是一樣的。因此，歸約公理的有效性證明將聚焦于[??]Aψ、[??]□ψ和[??]Bψ的情況。

令M為任意的均衡證據(jù)模型，w、u、v、x、y、z、s是模型M中任意的點(diǎn)。歸約公理4–6 的證明如下：

· 歸約公理4 的證明。要證[??]Aψ ?((B?∧?A?)→A[??]ψ)在均衡的模型類上是有效的，需證M,w[??]Aψ當(dāng)且僅當(dāng)M,w(B?∧?A?)→A[??]ψ。M,w[??]Aψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)?的語義），如果，那么M??,w Aψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)A的語義），如果，那么對于每一個點(diǎn)v ∈W??使得M??,v ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)命題6 和定義），如果，那么對于每一個點(diǎn)v ∈W使得M,v[??]ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)A的語義），如果，那么[??]ψ，即M,w(B? ∧?A?)→A[??]ψ。

· 歸約公理5 的證明。要證[??]□ψ ?((B? ∧?A?)→(□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ)))在均衡的模型類上是有效的，需證M,w[??]□ψ當(dāng)且僅當(dāng)M,w(B? ∧?A?)→(□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ))。

（?）假設(shè)M,w[??]□ψ，那么根據(jù)?的語義，如果，那么M??,w□ψ。根據(jù)□的語義，也就是，如果，那么存在一個X ∈N??(w)使得由于N??(w)=N(w)∪{{u} |因此，有且僅有兩種情況會分別使得模型M??中的w滿足□ψ：

–X是模型M中的一個證據(jù)，即X ∈N(w)。懷疑?后會有ψ的證據(jù)，是因為X中的每一個點(diǎn)x在懷疑后會滿足ψ，即M??,xψ，根據(jù)命題6 和? 的語義，M,x[??]ψ。因此，在這種情況下原模型有M,w□[??]ψ。

–X是的某個單元素子集{u}，換言之也就有。懷疑?后會有ψ的證據(jù)，是因為模型M中滿足??的點(diǎn)u在懷疑?后都會滿足ψ，即M??,uψ，根據(jù)命題6 和?的語義，M,u[??]ψ。也就是，[??]ψ。因此，在這種情況下原模型有(?? ∧[??]ψ)。

綜上，如果，那么M,w□[??]ψ或者(??∧[??]ψ)，根據(jù)定義，即M,w(B? ∧?A?)→(□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ))。（?）假設(shè)M,w(B? ∧?A?)→(□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ))，根據(jù)定義，即如果，那么M,w□[??]ψ或者(?? ∧[??]ψ)。

– 倘若M,w□[??]ψ，那么根據(jù)□的語義，存在一個X ∈N(w)，使得X中的每一個點(diǎn)x都有M,x[??]ψ。根據(jù)命題6 和? 的語義，M??,x ψ。由于于是，X ∈N??(w)。根據(jù)□的語義，M??,w□ψ。

– 倘若(??∧[??]ψ)，也就是M,w??A?(??∧[??]ψ)，那么根據(jù)A的語義，至少存在一個點(diǎn)u ∈W使得M,u??(??∧[??]ψ)，也就是并且M,u[??]ψ。根據(jù)命題6 和?的語義，M??,uψ。由于于是，{u}∈N??(w)。根據(jù)□的語義，M??,w□ψ。綜上，如果，不論是M,w□[??]ψ，還是(?? ∧[??]ψ)，都能得出結(jié)論M??,w□ψ。因此，如果，那么M??,w□ψ。再根據(jù)?的語義，M,w[??]□ψ。

· 歸約公理6 的證明。要證[??]Bψ ?((B? ∧?A?)→(B[??]ψ ∧A(?? →[??]ψ)))在均衡的模型類上是有效的，需證M,w[??]Bψ當(dāng)且僅當(dāng)M,w(B? ∧?A?)→(B[??]ψ ∧A(?? →[??]ψ))。

（?）假設(shè)M,w[??]Bψ，那么根據(jù)?的語義，如果，那么M??,w Bψ。再根據(jù)B的語義，如果，那么對每一個極大有窮相交性的簇Y ?N??(w)和其廣義交集中的每一個點(diǎn)v ∈∩Y,都有M??,v ψ，并且對于任意的Y ∈N??(w)，倘若存在一個點(diǎn)y ∈Y ∈Y使得M??,y ?ψ,那么存在另一個點(diǎn)z ∈Y使得z ∈∩Y。根據(jù)引理1，我們有：

如果，根據(jù)B的語義，N(w)中的每一個極大有窮相交性的簇X，它的廣義交集中的每一個點(diǎn)都滿足?，并且廣義交集不是空集。又每一個包含集合的極大有窮相交性的簇X的廣義交集就是{u}。對于每一個Y ∈N??(w)，Y中都存在一個點(diǎn)z使得z ∈∩Y。而對于每一個點(diǎn)

綜上，如果，那么[??]ψ并且(?? →[??]ψ)，根據(jù)定義即M,w(B? ∧?A?)→(B[??]ψ ∧A(?? →[??]ψ))。

（?）假設(shè)M,w(B?∧?A?)→(B[??]ψ∧A(?? →[??]ψ))，根據(jù)定義，即如果，那么[??]ψ并且(?? →[??]ψ)。如果，那么根據(jù)B的語義，N(w)中的每一個極大有窮相交性的簇X的廣義交集中的每一個點(diǎn)x都滿足?，并且廣義交集不是空集。由于[??]ψ，再根據(jù)B的語義，對于每一個的x ∈∩X，M,x[??]ψ，再根據(jù)命題6 和?的語義，M??,xψ。由于(?? →[??]ψ)，根據(jù)A的語義，對每一個s ∈W，[??]ψ。于是，對于每一個M,z[??]ψ。再根據(jù)命題6 和?的語義，M??,z ψ。于是，對于每一個都有M??,v ψ。根據(jù)引理1，我們有：

因此，對每一個極大有窮相交性的簇Y ?N??(w)，其廣義交集中的每一個點(diǎn)v,都有M??,v ψ，并且∩Y≠?。9根據(jù)引理1，由于X≠ ?且因此Y≠ ?。于是，對于任意的Y ∈N??(w)，倘若存在一個點(diǎn)y ∈Y ∈Y使得M??,y ?ψ，那么始終有一個點(diǎn)t ∈Y使得t ∈∩Y。根據(jù)B的語義，M??,w Bψ。再根據(jù)?的語義，M,w[??]Bψ。

推論1.算子E前置公式的歸約公理[??]Eψ ?((B? ∧?A?)→E[??]ψ)，在均衡的證據(jù)模型類上是有效的。

證明.令M為任意的均衡證據(jù)模型，w和v是M中任意的點(diǎn)。要證[??]Eψ ?((B? ∧?A?)→E[??]ψ)在均衡的證據(jù)模型類上是有效的，需證M,w[??]Eψ當(dāng)且僅當(dāng)M,w(B? ∧?A?)→E[??]ψ。

假設(shè)10倘若M,w ?B? ∧?A?，那么根據(jù)?的語義和→的真值條件，很容易證得M,w [??]Eψ 當(dāng)且僅當(dāng)M,w (B? ∧?A?) →E[??]ψ。，M,w[??]Eψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)假設(shè)和?的語義），M??,w Eψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)E和A互為對偶算子），M??,w ?A?ψ，當(dāng)且僅當(dāng)(根據(jù)假設(shè)和?的語義），M,w[??]?A?ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)假設(shè)和定理1)，[??]A?ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)?的真值條件），M,w?[??]A?ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)假設(shè)和定理1），M,w?A[??]?ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)A的語義），存在一個點(diǎn)v ∈W使得[??]?ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)?的真值條件），存在一個點(diǎn)v ∈W使得M,v?[??]?ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)假設(shè)和定理1），存在一個點(diǎn)v ∈W使得M,v??[??]ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)?的真值條件），存在一個點(diǎn)v ∈W使得M,v[??]ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)E的語義），[??]ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)假設(shè)和定義），M,w(B? ∧?A?)→E[??]ψ。

就推論1 的直觀理解而言，它表達(dá)了在懷疑?后的模型中有一個點(diǎn)滿足ψ，當(dāng)且僅當(dāng)，在懷疑?前的模型中有一個點(diǎn)，該點(diǎn)在懷疑?后會滿足ψ。

推論2.算子D前置公式的歸約公理[??]Dψ ?((B? ∧?A?)→((□[??]?ψ ∨?A?(?? ∧[??]?ψ))∧E[??]ψ))，在均衡的證據(jù)模型類上是有效的。

證明.令M為任意的均衡證據(jù)模型，w是M中任意的點(diǎn)。若要證明[??]Dψ ?((B? ∧?A?)→((□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ))∧E[??]ψ))在均衡的證據(jù)模型類上是有效的，需證M,w[??]Dψ當(dāng)且僅當(dāng)M,w(B? ∧?A?)→((□[??]ψ ∨?A?(?? ∧[??]ψ))∧E[??]ψ)。

M,w[??]Dψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)?的語義），如果，那么M??,w Dψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)D的語義），如果，那么M??,w□?ψ ∧Eψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)∧的真值條件），如果，那么M??,w□?ψ并且M??,w Eψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)定理1 和推論1），如果，那么M,w□[??]?ψ ∨?A?(?? ∧[??]?ψ) 并且[??]ψ，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)∧的真值條件），如果，那么M,w(□[??]?ψ ∨?A?(?? ∧[??]?ψ))∧E[??]ψ，即M,w(B? ∧?A?)→((□[??]?ψ ∨?A?(?? ∧[??]?ψ))∧E[??]ψ)。

相較于推論1 而言，推論2 的直觀則稍顯復(fù)雜，它表達(dá)了在懷疑?后的模型中懷疑ψ，當(dāng)且僅當(dāng)，第一，在懷疑?前的模型中，要么有一個證據(jù)，該證據(jù)中每一個點(diǎn)在懷疑?都滿足?ψ，要么模型中至少有一個滿足??的點(diǎn)，并且該點(diǎn)在懷疑?后會滿足?ψ；第二，在懷疑?前的模型中有一個點(diǎn)，該點(diǎn)在懷疑?后會滿足ψ。

概言之，在第四節(jié)中，我們對懷疑的動態(tài)特征、動態(tài)懷疑導(dǎo)致的證據(jù)模型變化的機(jī)制進(jìn)行了研究。在對懷疑的動態(tài)特征進(jìn)行考察時，我們延續(xù)了由證據(jù)導(dǎo)致懷疑的研究思想，從對動態(tài)懷疑的理解出發(fā)，結(jié)合實(shí)例提出從相信一個命題到懷疑一個命題，是由于有新的證據(jù)被添加到證據(jù)集中。接著，我們展現(xiàn)了新證據(jù)被添加到證據(jù)集后，對整個證據(jù)模型的影響，并指出對于模型變化的考察，不能僅簡單的考慮新添加的證據(jù)，而更應(yīng)該重新審視新的證據(jù)集，需要對新形成的證據(jù)模型的模型結(jié)構(gòu)做整體的考察。最后，為了研究動態(tài)邏輯的完全性，我們從均衡的證據(jù)模型類的性質(zhì)著手，證明了相應(yīng)的引理、定理（歸約公理）和推論。就所得的技術(shù)結(jié)果而言，歸約公理有效性的證明為整個公理系統(tǒng)的完全性證明提供了基礎(chǔ)。

5 結(jié)束語

本文研究工作開展的初衷，是考慮到懷疑在西方哲學(xué)上（尤其是在西方知識論上）所發(fā)揮的重要作用，于是希望通過借助邏輯的工具，對懷疑的性質(zhì)進(jìn)行形式化的考察。

在已有的研究中，有的學(xué)者提出了懷疑的定義，也有的學(xué)者著手開展對懷疑進(jìn)行形式化研究的工作，或借助于經(jīng)典模態(tài)邏輯，或與概率理論相結(jié)合。本文在回顧了學(xué)者們已有的研究的基礎(chǔ)上，分別討論了他們提出的懷疑定義的特征。在揭示了已有的懷疑定義的不足之處后，本文提出在鄰域語義的證據(jù)模型中，分別對靜態(tài)的懷疑和動態(tài)懷疑做了形式化的研究。

一方面，將懷疑作為一種靜態(tài)的認(rèn)知態(tài)度，并將其定義為“存在滿足?的可能性，但是有??的證據(jù)”，明確了基于證據(jù)的懷疑所需滿足的條件。該定義不僅為既不相信一個命題也不懷疑該命題的認(rèn)知狀態(tài)保留了空間，還明確了懷疑一個命題時不相信該命題，是由于有該命題否定的證據(jù)所導(dǎo)致的。另一方面，將懷疑作為動態(tài)的過程，給出了動態(tài)懷疑算子的語義，并說明了動態(tài)懷疑導(dǎo)致證據(jù)模型發(fā)生變化的機(jī)制。接著，在具體展現(xiàn)了動態(tài)懷疑引發(fā)的證據(jù)集的變化后，在均衡的證據(jù)模型類上給出了相應(yīng)的歸約公理，并對它們的有效性進(jìn)行了證明。

需要明確的是，本文在第四節(jié)中所呈現(xiàn)的動態(tài)懷疑，只是從“相信一個命題?”到“懷疑一個命題?”的動態(tài)變化，而動態(tài)懷疑并不僅此一類。通常，我們在認(rèn)知過程中還會經(jīng)歷“從對命題?毫無概念”到“懷疑一個命題?”的動態(tài)變化。就證據(jù)模型而言，它意味著懷疑前的證據(jù)模型“既沒有?的證據(jù)，也沒有??的證據(jù)；既不相信?，也不相信??”。對這類動態(tài)懷疑的探究，將是未來的研究方向之一。

此外，在引文中已經(jīng)提到，本文的研究對象是基于證據(jù)的懷疑，而在西方知識論的發(fā)展歷程中，仍有許多關(guān)于非證據(jù)的懷疑的研究討論。非證據(jù)的懷疑往往與知識關(guān)系密切。因此，在證據(jù)模型中考察和探究非證據(jù)懷疑的靜態(tài)特征、動態(tài)特征以及和知識的關(guān)系，亦是做進(jìn)一步研究的方向之一。

A 附錄

A.1 有效式的證明

以下是表1 中有效式的具體證明。

命題7.D? →□??是有效的。

證明.倘若，那么根據(jù)定義，M,w□??∧E?。根據(jù)定義，M,w□??。

命題8.D(? ∨ψ)→(D? ∨Dψ)是有效的。

證明.倘若(? ∨ψ)，那么根據(jù)定義，M,w□?(? ∨ψ)∧E(? ∨ψ)。根據(jù)定義，M,w□?(? ∨ψ)并且(? ∨ψ)。

·M,w□?(? ∨ψ)，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)定義），存在一個X ∈N(w)使得對于每個點(diǎn)v ∈X，都有(? ∨ψ)，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)定義），存在一個X ∈N(w) 使得對于每個點(diǎn)v ∈X，都有，也就是并且。那么，根據(jù)定義，我們就可以得出M,w□??并且M,w□?ψ。

·(? ∨ψ)，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)定義），存在一個點(diǎn)u ∈W，使得，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)定義），存在一個點(diǎn)u ∈W，使得或，當(dāng)且僅當(dāng)（根據(jù)定義），或。

倘若，那么根據(jù)定義可得，根據(jù)定義，；倘若，根據(jù)定義同樣可得。

綜上，。

命題9.A? →?D?是有效的。

證明.倘若，那么根據(jù)定義，對每一個點(diǎn)v ∈W，都有。因此，M,w?□??，根據(jù)定義，M,w?D?，也就是。

命題10.A?? →?D?是有效的。

證明.倘若，那么根據(jù)定義，對每一個點(diǎn)v ∈W，都有。因此，M,w?E?，根據(jù)定義，M,w?D?，也就是。

命題11.□? →?B??是有效的。

證明.參見命題2。

命題12.D? →?B?是有效的。

證明.倘若，根據(jù)定義M,w□?? ∧E?，于是，M,w□??。再根據(jù)□?? →?B?是有效的，可得。

命題13.D(? →ψ)→(A? →Dψ)是有效的。

證明.參見命題4。

A.2 非有效式的證明

以下是表1 中非有效式的具體證明。

命題14.D(? ∧ψ)→(D? ∧Dψ)不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w,u}，V(q)={w}。

· 由于，根據(jù)定義，(p ∧q)。，并且，根據(jù)定義，M,w□(?p∨?q)，也就是M,w□?(p∧q)。因此，(p ∧q)。

· 由于并且，根據(jù)定義，M,w?□?p，根據(jù)定義，M,w?Dp。因此，M,w?Dp ∧Dq。

綜上，M,w?D(p ∧q)→(Dp ∧Dq)。

命題15.(D? ∧Dψ)→D(? ∧ψ)不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w}，V(q)={u,v}。

· 由于，根據(jù)定義，。由于并且，根據(jù)定義，M,w□?p。根據(jù)定義，。

· 由于，根據(jù)定義，。由于，根據(jù)定義，M,w□?q。因此，。

· 由于M,w?p∧q，M,u?p∧q并且M,v?p∧q，根據(jù)定義，M,w?E(p∧q)。根據(jù)定義，M,w?D(p ∧q)。

綜上，M,w?(Dp ∧Dq)→D(p ∧q)。

命題16.D(? ∨ψ)→D?不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)=?，V(q)={w}。

· 由于并且，根據(jù)定義，M,w□(?p∧?q)，也就是M,w□?(p ∨q)。由于，因此，。根據(jù)定義，(p ∨q)。根據(jù)定義，(p ∨q)。

· 由于V(p)=?，根據(jù)定義，M,w?Ep。根據(jù)定義，M,w?Dp。綜上，M,w?D(p ∨q)→Dp。

命題17.(D? ∨Dψ)→D(? ∨ψ)不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w}，V(q)={u,v}。

· 根據(jù)定義，。11由于所構(gòu)造的證據(jù)模型和命題15 的證明所用證據(jù)模型是一樣的，M,w Dp 可直接參照命題15 的證明。因此，。

· 由于M,w??p ∧?q，M,u??p ∧?q并且M,v??p ∧?q，根據(jù)定義，M,w?□(?p∧?q)，也就是M,w?□?(p∨q)。根據(jù)定義，M,w?D(p∨q)。

綜上，M,w?(Dp ∨Dq)→D(p ∨q)。

命題18.(D? →Dψ)→D(? →ψ)不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)=?，V(q)=W。

· 由于V(p)=?，因此，M,w?Ep。根據(jù)定義，M,w?Dp。根據(jù)定義，。

· 由于M,w?p ∧?q，M,u?p ∧?q并且M,v?p ∧?q，根據(jù)定義，M,w?□(p ∧?q)，也就是M,w?□?(p →q)。根據(jù)定義，M,w?D(p →q)。

綜上，M,w?(Dp →Dq)→D(p →q)。

命題19.D(? →ψ)→(D? →Dψ)不是有效的。

證明.參見命題3。

命題20.D? →?D??不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={w}。

· 由于，根據(jù)定義，。由于并且，根據(jù)定義，M,w□?p。根據(jù)定義，。

· 由于，根據(jù)定義，。由于，根據(jù)定義，M,w□p。根據(jù)定義，，也就是M,w??D?p。

綜上，M,w?Dp →?D?p。

命題21.D? →D??不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)={u}。

· 由于，根據(jù)定義，。由于，根據(jù)定義，M,w□?p。根據(jù)定義，。

· 由于M,w?p和M,v?p，根據(jù)定義，M,w?□p。根據(jù)定義，M,w?D?p。綜上，M,w?Dp →D?p。

命題22.?B? →D?不是有效的。

證明.考慮這樣一個證據(jù)模型M，其中W={w,u,v}，N(w)=N(u)=N(v)={{w},{u,v},{w,u,v}}，V(p)=?。

· 在給定的證據(jù)模型中有兩個極大有窮相交性的簇，X1={{w},{w,u,v}}和X2={{u,v},{w,u,v}}，其中，∩X1={w}，∩X2={u,v}。由于V(p)=?，因此，M,w?p，于是根據(jù)定義，M,w?Bp，也就是。

· 由于V(p)=?，根據(jù)定義，M,w?Ep。根據(jù)定義，M,w?Dp。綜上，M,w??Bp →Dp。