徐康 廖備水

1 引言

邏輯學從非形式邏輯和形式邏輯兩個方面對論辯（argumentation）進行研究。非形式邏輯對論辯的研究與日常推理和會話實際相關聯(lián)，從形式結構的角度研究關于具體論辯過程的一般特征。形式邏輯對論辯的研究是基于語義或語形的研究（[9]），它依賴于形式邏輯的主要分析工具——邏輯形式的概念，同時依賴于形式邏輯的主要評價標準——有效性（[25]）。

論辯系統(tǒng)（argumentation system）是應對不一致情境中的推理而產生的一種非單調推理形式體系。（[23]）論辯系統(tǒng)的基本思想是把推理進行分層，底層處理知識的表示、論證的構造、論證之間攻擊關系的識別等，這一部分屬于結構化論辯的研究內容（[7]）；上層負責論證之間沖突關系的處理，確定可接受的論證集合，這部分的內容屬于抽象論辯的研究范圍。最終通過論辯系統(tǒng)上層對支持和反對特定主張的論證的評估，測試該主張是否站得住腳。

本文基于Dung 在1995 年的時候提出的抽象論辯框架（abstracted argumentation framework）（[15]），在抽象層面上研究論辯系統(tǒng)的動態(tài)變化。一個抽象論辯框架由一組抽象論證和它們之間的攻擊關系組成，通?？梢员硎緸橐粋€二元組(A,R)。其中A是一組抽象論證集合，R表示A中論證之間的攻擊關系。在一個抽象論辯框架中，依據(jù)一定的評價標準所確定的一組或幾組可接受的論證集合，稱為外延。外延的集合稱為論辯語義。為方便起見，也把上述評價標準稱為論辯語義。論辯語義對應論辯系統(tǒng)推理的結論，即可接受論證集合對應的主張。論辯語義（[3]）、證明理論（[19]）、算法（[12]）和計算復雜性（[16]）等是近幾年抽象論辯研究的主要內容。

抽象論辯系統(tǒng)動態(tài)性研究抽象論辯框架和論辯語義的變化。由于主體所處的環(huán)境以及獲取的資源等不斷變化，其推理知識和觀察信息也不斷變化。比如，當實例化的抽象論辯框架所依賴的觀察信息發(fā)生變化時,論證集合及其攻擊關系也會相應地發(fā)生變化；當主體的推理知識發(fā)生變化或者論辯系統(tǒng)收到新的解釋時（主要體現(xiàn)在推理規(guī)則方面）,會引起論證集合及其攻擊關系發(fā)生變化；如果基于論辯的協(xié)商主體以不完全、不確定和不一致的信息進行推理，那么每個主體的理論（作為一個論辯框架）可以在一個協(xié)商對話的過程中演化（一個主體收到來自另一個主體的論證,并將之加入自己的理論中，產生新的理論），從而造成抽象論辯框架的變化；對于多主體交互，當來自不同主體的一組抽象論辯框架合并時,最終的論證集合和攻擊關系也將發(fā)生變化。抽象論辯框架改變后，其語義也隨之變化，得到新的結論。（[1,4]）給定一個抽象論辯框架，其外延是確定的。如果該論辯框架發(fā)生變化，那么其語義相應也可能發(fā)生變化。如果主體期望一定的結論，那么根據(jù)結論對應的語義狀況，則需要改變原論辯框架的結構。二者的相互關系形成了抽象論辯系統(tǒng)動態(tài)性的兩個主要研究方向：動態(tài)論辯語義求解（如何依據(jù)論辯框架的變化來求解語義）和抽象論辯系統(tǒng)修正（如何依據(jù)論辯語義的變化來修正論辯框架）。（[22]）

本文主要針對抽象論辯系統(tǒng)的修正做出研究。在論辯系統(tǒng)的推理過程中，主體獲得的信息是多種多樣的，主體對這些信息的接受是一種主觀行為，需要結合自身的知識集以及推理目標等對信息作出取舍。抽象論辯框架的變化體現(xiàn)了主體對新信息的取舍，而對這些信息接受的主觀行為則體現(xiàn)在對語義（結論）的要求上。根據(jù)預期語義結果而對抽象論辯框架進行調整，這就是抽象論辯系統(tǒng)的修正。

目前的研究中，關于語義變化，Cayrol 等人從論證、外延和語義三個層面做了比較全面的分析（[8]），并且提出滿足部分語義變化的添加或者刪除一個論證及關系的規(guī)則。Boella 等人主要針對唯一狀態(tài)指派語義不變來研究抽象論辯系統(tǒng)的修正規(guī)則。（[10,11]）Oikarinen 等人同樣研究關于語義不變的系統(tǒng)修正（[20]），只是除了要求兩個抽象論辯框架具有相同的語義之外，還要求無論它們同時進行何種擴張，都能保持語義相同。Baumann 等人研究關于滿足強制外延的系統(tǒng)擴展（增加論證及其關系）（[6]），主要分析了某一確定論證集合在各語義下能夠成為一個外延的可能條件和不可能條件。由于抽象論辯框架的改變不是唯一的，他們又研究了滿足一定的語義變化的論辯框架的最小改變。（[5]）Coste-Marquis 等人用命題邏輯公式表達預期語義狀態(tài)，要求修正后的論辯框架不僅滿足該公式，而且其語義與修正前相差最小。（[13]）廖備水等人研究了在基語義下滿足語義單調變化的條件和規(guī)則。（[24]）

本文研究的具體內容為關于強制外延的抽象論辯系統(tǒng)修正，即對抽象論辯框架進行修正，以使得一個特定的論證集合在某一語義下成為可接受的論證集合（外延）。這個問題在多主體交互中具有很重要的意義。比如，在多主體交互中，一個主體希望另一個主體接受一組特殊的論證集合。

例1.考慮框架AF1，E=是期望在基語義1基語義的評價標準對應于主體的謹慎態(tài)度，其外延稱為基外延?；庋又械恼撟C是最無疑可接受的，具體定義詳見下文。下得到的外延。在AF1中顯然E不是它的基外延，如何修正AF1能夠得到確切的基外延E？一個可行的辦法是從AF1中刪除論證a得到新的框架AF2（如圖1 所示）。

圖1 關于強制外延的抽象論辯系統(tǒng)修正

強制外延（enforcing extension）這一概念首先由Baumann 等人提出（[6]），本文在其基礎上，針對這一特殊的語義要求，提出抽象論辯框架增加（刪除）論證或關系的一般規(guī)則，從論辯框架的擴張和限制兩個方面進行分析并給出了相應的結論。

本論文分為5 節(jié)。第2 節(jié)介紹抽象論辯框架和論辯語義等相關知識；第3 節(jié)和第4 節(jié)分別提出滿足強制外延的抽象論辯框架的限制規(guī)則和擴展規(guī)則；第5 節(jié)總結全文。

2 背景知識

在這一節(jié)中，將詳細介紹抽象論辯系統(tǒng)的基本概念，包括抽象論辯框架和論辯語義。以下的討論中，在不引起歧義的情況下，將省略“抽象”二字。

2.1 論辯框架

一個論辯框架（簡稱為AAF）由一組論證和它們之間的攻擊關系構成。（[15]）

定義1.一個AAF 可以表示為一個二元組：AF=(A,R)，其中A是一組論證集合，R是A上的二元關系，表示論證之間的攻擊關系。設B ?A，B對AF的限定，記為AF ↓B：AF ↓B=(B,RB)，其中RB=R ∩(B×B)。AF ↓B也是一個AAF，稱為AF的子框架。

設a,b ∈A，(a,b)∈R表示a攻擊b，記為aRb。如果(a,b)?R，那么記為表示存在n（n ≥0）個論證x1,x2,···，xn使得aRx1,x1Rx2,...xnRb。的否定情況記為

設B,C ?A。B攻擊a，記為BRa。BRa當且僅當存在b ∈B使得bRa。a攻擊B，記為aRB。aRB當且僅當存在b ∈B使得aRb。B攻擊C，記為BRC。BRC當且僅當存在b ∈B并且c ∈C，bRc。反之，將它們的否定分別記為表示存在b ∈B使得同理表示存在b ∈B，

例2.設AF3是一個AAF，根據(jù)定義1，設B1={a,b}，B2={c,d}，那么AF3↓B1和AF3↓B2是AF3的子框架（如圖2 所示）。

圖2 AF3 以及AF3 的子框架

一個AAF 上各論證之間都連通的子框架稱為環(huán)。

定義2.AF=(A,R)是一個AAF，B ?A。AF ↓B是AF上的一個環(huán)，當且僅當對B中任意兩個論證a和b，AF上所有環(huán)的集合，記為CIRAF，CIRAF中所有環(huán)的論證集合記為SCIRAF。

以例2 中AF3為例，={{a,b},,{c,d}}。

2.2 AAF 的更新

AAF 的更新主要考慮框架中論證及其攻擊關系如何變化（[21]），主要表現(xiàn)為論證以及論證之間關系的增加或者減少。本文用AAF 上的運算來定義它的更新。（[18]）

定義3.AF=(A,R)是一個AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。

(1) 向(A,R)中添加B和關系I的運算表示為⊕，(A,R)⊕(B,I)=(A∪B,R∪I)；

(2) 從(A,R)中刪除B和I的運算表示為?，(A,R)?(B,I)=(AB,RI)↓AB。

在定義3 中，論辯框架AF經(jīng)過⊕或?運算后得到的二元組是一個AAF。

例3.向例2 中AF3加入論證集合{d,g}和關系{(d,g),(g,g)}得到論辯框架從AF3中刪除論證集合{d,g}和關系{(d,g),(g,g)}得到論辯框架（如圖3所示）。

在本文以后的部分中，用AF′來表示對AF進行⊕或?運算后得到的AAF。一般稱AF是初始框架，AF′為更新后框架。稱僅經(jīng)過?運算得到的AF′是限制框架；僅經(jīng)過⊕運算得到的AF′是擴展框架。

2.3 論辯語義

給定一個AAF，一個核心的問題是如何確定各個論證的狀態(tài)。在現(xiàn)有的文獻中，有兩種方法來定義論辯語義：基于外延的方法（[15]）和基于標記的方法（[2]）。

在基于外延的方法下，一個AAF 中的論證被分為可接受的和不可接受的。一組集體可接受的論證子集被稱為AAF 的外延。一定評價標準下得到的一組外延集合稱為AAF 的論辯語義?；跇擞浀恼撧q語義是給每個論證指派一個標簽。一個標簽代表論證的一種狀態(tài)。一般來說，在一個AAF 中，論證有三種可能狀態(tài)：“可接受的”、“被拒絕的”和“未確定的”，分別用in、out和undec這三個標簽來表示。在基于標記的方法下，一定評價標準下得到的一組標記集合被稱為AAF 的論辯語義?，F(xiàn)有文獻已經(jīng)證明了基于外延的論辯語義和基于標記的論辯語義具有對應關系：在同一語義下，標記為in的論證集合是一個外延。

本文在基于標記的方法下研究抽象論辯系統(tǒng)的動態(tài)性，因為各論證狀態(tài)間的相互影響能夠更好地在基于標記的論辯語義中體現(xiàn)出來。

定義4.AF=(A,R) 是一個AAF，in，out和undec是三個標簽。AF上的一個標記L:A{in,out,undec}是一個全函數(shù)。令in(L)={a | L(a)=in}，out(L)={a | L(a)=out}，undec(L)={a | L(a)=undec}。L也可表示為三元組(in(L),out(L),undec(L))，in(L)即為可接受的論證集合。

為了辨別一個標記是否合理，需要定義標簽指派的合法性。

定義5.AF=(A,R)是一個AAF，L是AF上的一個標記，a ∈A。

(1)L(a)=in是合法的當且僅當對任意b ∈A，如果bRa，那么L(b)=out；

(2)L(a)=out是合法的當且僅當存在b ∈A，使得bRa并且L(b)=in；

(3)L(a)=undec是合法的當且僅當

①存在b ∈A，bRa并且L(b)=undec；

②對所有b ∈A，如果bRa，那么L(b)≠in。

在標簽指派的合法性上做出一些限制，就可以得到具有不同評價標準的標記。

定義6.AF=(A,R)是一個AAF，L是AF上的一個標記。L是一個可相容標記，當且僅當

(1) 對任意a ∈in(L)，L(a)=in是合法的；

(2) 對任意a ∈out(L)，L(a)=out是合法的。

定義7.AF=(A,R)是一個AAF，L是AF上的一個標記。L是一個完全標記，當且僅當

(1) 對任意a ∈in(L)，L(a)=in是合法的；

(2) 對任意a ∈out(L)，L(a)=out是合法的；

(3) 對任意a ∈undec(L)，L(a)=undec是合法的。

對于一個AAF 上任意的兩個完全標記，它們之間的關系如下（[17]）：

命題1.假設L1和L2是論辯框架AF上的兩個完全標記，那么

(1)in(L1)?in(L2)當且僅當out(L1)?out(L2)；

(2)in(L1)?in(L2)當且僅當out(L1)?out(L2)。

下面三種標記：優(yōu)先標記、基標記和穩(wěn)定標記，在完全標記的基礎上給出，是滿足不同條件的完全標記。

定義8.AF=(A,R)是一個AAF，L是AF上的一個完全標記。

(1)L是一個基標記當且僅當對AF上的任意完全標記L′，in(L)?in(L′)；

(2)L是一個優(yōu)先標記當且僅當不存在AF上的一個完全標記L′，使得in(L′)?in(L)；

(3)L是一個穩(wěn)定標記當且僅當undec(L)=?。

為了簡便，我們分別用ad、co、pr、st和gr表示可相容、完全、優(yōu)先、穩(wěn)定和基語義，再用σ來表示這些語義中的一種（σ ∈{ad,co,pr,gr,st}），AAF 在σ語義下的標記記為σ標記，論辯框架AF在σ語義下所有標記的集合記為Lσ(AF)。

例4.考慮例2 中的論辯框架AF3。根據(jù)定義7，Lco(AF3)={L1,...,L6}。其中，

再根據(jù)定義8，可知Lgr(AF3)={L1},Lpr(AF3)={L3,L4}，Lst(AF3)={L3,L4}。

在σ語義下，由于標記為in的論證集合與其外延是對應的，在以后的討論中統(tǒng)一用σ外延來表示AAF 在σ語義下的可接受的論證集合。無沖突性是上述所有語義外延的基本性質，下面給出它的定義。

定義9.AF=(A,R)是一個AAF，E ?A。E是無沖突的，當且僅當對任意a,b ∈E，

3 關于強制外延的AAF 限制規(guī)則

給定一個論辯框架AF，以及更新后的論辯框架AF′，為了確保某個論證集合E成為AF′的σ外延（稱為強制外延），向AF中添加（刪除）論證集合B以及關系I從而得到AF′的規(guī)則，稱為關于強制外延的論辯系統(tǒng)修正規(guī)則。

本節(jié)研究因強制外延而對AAF 進行限制（減少論證或關系）的規(guī)則。

定義10.AF=(A,R)和AF′=(A′,R′)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。AF′=AF ?(B,I)。如果E是AF′的σ外延，那么稱AF′是AF關于E的σ限制框架。

例5.AF4是一個AAF（如圖4 所示）。E={c}。AF4關于E的pr限制框架有：（如圖5 所示）。

圖4 AF4

AF關于E的σ限制框架包含了在σ語義下，所有滿足強制外延E的AF限制后的AAF。本文將AF關于E的σ限制框架滿足的充分必要條件視為關于強制外延的AAF 限制規(guī)則。如果AF′=(A,R)?(B,I)是AF的關于E的σ限制框架，那么從AF′的形成來看，只要確定了B和I，就可以確定AF′。B和I的內容受如下因素影響：

圖5 AF4 關于E 的pr 限制框架

(1)E的結構特征。E是AF′在某一語義下的外延，那么并不要求E在AF中也是可接受的。但作為AF′在某個語義下的外延，E必須是AF′的論證子集，那么首先可以確定E與B不相交（E ∩B=?）。不同的語義，其構成方式不同。關于AF′剩余的描述則依據(jù)不同的語義而有不同的結論。本文將在可相容語義、完全語義、穩(wěn)定語義、基語義和優(yōu)先語義下討論關于強制外延的論辯系統(tǒng)的修正規(guī)則。這些語義下的外延都是無沖突的，因此，E需要在AF′中是無沖突的。

(2)E與AF、AF′中論證、子集之間的關系。令G表示AAF 的名稱，AG表示其論證集合，我們將G中與E有關的論證集合分為以下四種：

3.1 可相容語義

如果AF′是關于E的ad限制框架，那么存在L ∈Lad(AF′)，使得in(L)=E。根據(jù)定義6，in(L)和out(L)是標記合法的，那么對任意L(x)=out；對任意L(y)=out。因此，根據(jù)定義5，是AF′作為AF關于E的ad限制框架的必要條件，這個條件可以通過對B和I的刻畫來描述。

定理1.AF=(A,R)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。E ?A且E ∩B=?。AF′=AF ?(B,I)。AF′是AF關于E的ad限制框架當且僅當

(1)R ∩(E×E)?I；

(2) 對任意y ∈AE，如果(E×{y})∩R ?I，那么({y}×E)∩R ?I。

證明.需證明兩個方向。令AF′=(A′,R′)，那么A′=AB，R′=(RI)∩(A′×A′)。

定理1 中，(1)表明了E在AF′中是無沖突的，(2)表明了定理1 提供了AF′成為AF關于E的ad限制框架的充分必要條件，并且表明了在可相容語義下，實現(xiàn)強制外延的直接刪除論證或關系的規(guī)則。

例6.考慮例5 中的論辯框架AF4。令E={a,b,c}，是AF4關于E的ad限制框架（如圖6 所示）。

圖6 AF4 關于E 的ad 限制框架

3.2 穩(wěn)定語義

如果AF′是AF關于E的st限制框架，那么存在L ∈Lst(AF′),使得in(L)=E。由于穩(wěn)定語義是可相容語義，首先B和I滿足定理1 中的規(guī)則。其次可知那么out(L)=并且undec(L)=根據(jù)定義8，AF′中沒有被標記為undec的論證，即undec(L)=?。因此，在定理1 的基礎之上，還需要找到使得的條件。

定理2.AF=(A,R)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。E ?A且E ∩B=?。AF′=AF ?(B,I)。AF′是AF關于E的st限制框架當且僅當

(1)R ∩(E×E)?I；

(2) 對任意y ∈AE，如果(E ×{y})∩R ?I，那么({y}×E)∩R ?I且y ∈B。

定理2 對定理1-(2)增加了條件，在滿足E在AF′中是無沖突的，以及之上又決定了=?。定理2 提出了AF′成為AF關于E的st限制框架的充分必要條件，表明了在穩(wěn)定語義下，實現(xiàn)強制外延的直接刪除論證或關系的規(guī)則。

例7.考慮例5 中的論辯框架AF4。對于E={a,b,c}，和是AF4關于E的st限制框架（如圖6 所示）。

3.3 完全語義

如果AF′是AF關于E的co限制框架，那么存在L ∈Lco(AF′),使得in(L)=E。由于完全語義是可相容語義，首先B和I滿足定理1 中的規(guī)則。其次可知那么out(L)=并且undec(L)=可相容標記的定義（定義6）要求論證被合法地標記為in或者out，而完全標記的定義（定義7）還要求論證被標記為undec時也是合法的，那么對所有L(x)=undec是合法的。根據(jù)定義5，被合法標記為undec的論證，其攻擊者必須不能被標記為in，而且其中至少有一個攻擊者的標簽是undec。那么對中的任意論證x，它都要被中的某個或者某些論證攻擊。在定理1 的基礎上，我們給出如下定理。

定理3.AF=(A,R)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。E ?A且E ∩B=?。AF′=AF ?(B,I)。AF′是AF關于E的co限制框架當且僅當

(1)AF′是AF關于E的ad限制框架；

(2)C={y ∈AE |(E×{y})∩R ?I且({y}×E)∩R ?I}B，那么對任意x ∈C，CR?x。其中，R?=RI。

定理3 在定理1 的基礎上增加了條件(3)，定理3-(3)保證了不被E攻擊的論證都可以被合法地標記為undec。定理3 提出了AF′成為AF關于E的co限制框架的充分必要條件，表明了在完全語義下，實現(xiàn)強制外延的直接刪除論證或關系的規(guī)則。

例8.考慮例5 中的論辯框架AF4。對于E={a,b,c}，和是AF4關于E的co限制框架（如圖6 所示）。

3.4 基語義

如果AF′是AF關于E的gr限制框架，那么存在L ∈Lgr(AF′)，使得in(L)=E。由于基語義是完全語義，AF′首先是關于E的co限制框架，那么可知完全標記的定義要求所有論證的標記都是合法的，基標記的定義（定義8）要求被標記為in的論證集合是最小的，也就是說對所有L′ ∈Lco(AF′)，in(L)?in(L′)。如果有標記使得其中有些論證被合法地標記為undec，那么L將不是AF′的基標記。那么L在上的限制是的基標記。這一條件可以通過的拓撲結構來表達。

定理4.AF=(A,R)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。E ?A且E ∩B=?。AF′=AF ?(B,I)。令AF′=(A′,R′)，AF′是AF關于E的gr限制框架當且僅當

(1)AF′是AF關于E的co限制框架；

定理4 在定理3 的基礎上增加了條件(2)，定理4-(2)是通過保證是的基標記，來保證L是AF′的基標記。定理4 提出了AF′成為AF關于E的gr限制框架的充分必要條件，表明了在基語義下，實現(xiàn)強制外延的直接刪除論證或關系的規(guī)則。

例9.考慮例5 中的論辯框架AF4。對于E={a,b,c}，、是AF4關于E的gr限制框架（如圖6 所示）。

3.5 優(yōu)先語義

如果AF′是AF關于E的pr限制框架，那么存在L ∈Lpr(AF′)，使得in(L)=E。由于優(yōu)先語義是完全語義，AF′首先是關于E的co限制框架，那么可知完全標記的定義要求所有論證的標記都是合法的，優(yōu)先標記的定義（定義8）要求被標記為in的論證集合是極大的，即不存在L′ ∈Lco(AF′)，使得in(L′)?in(L)。那么根據(jù)定理1，不存在L′ ∈Lco(AF′)，undec(L′)?undec(L)。如果存在使得in(L?)≠?，那么L將不是AF′的優(yōu)先標記。因此，不存在使得in(L?)≠ ?。對于這樣一個條件，我們不能僅從AAF的拓撲結構來表達刪除論證及關系滿足強制外延的規(guī)則，需要借助AAF 的子框架的論辯語義。

定理5.AF=(A,R)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。E ?A且E ∩B=?。AF′=AF ?(B,I)。AF′是AF關于E的pr限制框架當且僅當

(1)AF′是AF關于E的co限制框架；

(2) 令C={y ∈A E |(E × {y})∩R ?I且({y} × E)∩R ?I} B，Lco(AF′ ↓C)={(?,?,C)}。

定理5 在定理3 的基礎上增加了條件(2)，定理5-(2)是通過保證在完全語義下沒有可接受的論證，來保證L是AF′的優(yōu)先標記。定理5 提出了AF′成為AF關于E的pr限制框架的充分必要條件，但是它并沒有提出在優(yōu)先語義下直接限制AF以實現(xiàn)強制外延的規(guī)則，因此還需要對AF′的子框架進行語義檢驗。

例10.考慮例5 中的論辯框架AF4。對于E={a,b,c}，是AF4關于E的pr限制框架（如圖6 所示）。

4 關于強制外延的AAF 擴展規(guī)則

給定一個論辯框架AF和一個論證集合E，以及論辯框架AF′，本節(jié)研究從AF擴展到AF′的規(guī)則，使得E是AF′的σ外延。沿用第3 節(jié)的思路，首先引入σ擴展框架的概念。

定義11.AF=(A,R)和AF′=(A′,R′)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。AF′=AF ⊕(B,I)。如果E是AF′的σ外延，那么稱AF′是AF關于E的σ擴展框架。

AF關于E的σ擴展框架包含了在σ語義下，所有滿足強制外延E的AF擴展后的AAF。我們對AF關于E的σ擴展框架進行描述，以此來得到關于強制外延的AAF 擴展規(guī)則。這需要分別確定B和I的內容：E是AF′的σ外延，那么可以確定(EA)?B。從可相容語義、完全語義、穩(wěn)定語義、基語義和優(yōu)先語義下的外延都滿足無沖突性來看，E需要在AF′中是無沖突的，進而要求E ∩A在AF中是無沖突的。

4.1 可相容語義

如果AF′是AF關于E的ad擴展框架，那么存在L ∈Lad(AF′)，使得in(L)=E。根據(jù)定義6，in(L)和out(L)是標記合法的，那么對任意L(x)=out；對任意L(y)=out。根據(jù)定義5，也就是說與定理1 相同，通過對B和I的刻畫來表述這個條件。

定理6.AF=(A,R)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。E是一個論證集合，E ∩A是無沖突的，并且EA ?B。AF′=AF ⊕(B,I)。AF′是AF關于E的ad擴展框架當且僅當

(1)

證明.需證明兩個方向。令AF′=(A′,R′)，那么A′=A ∪B，R′=R ∪I。

定理6 中，(1)表明了E在AF′中是無沖突的；(2)和(3)表明了定理6 提出了AF′成為AF關于E的ad擴展框架的充分必要條件，同時表明了在可相容語義下，實現(xiàn)強制外延的直接增加論證或關系的規(guī)則。

例11.考慮論辯框架AF5（如圖7 所示）。令E={a,e}，那么根據(jù)定理6，AF5⊕({f,g,e},{(d,e),(e,d),(e,g),(g,e),(f,g)}) 是AF5關于E的ad擴展框架（如圖8 所示）。

圖7 AF5

圖8 AF5 關于E 的ad 擴展框架

4.2 穩(wěn)定語義

如果AF′是AF關于E的st擴展框架，那么存在L ∈Lst(AF′)，使得in(L)=E。由于穩(wěn)定語義是可相容語義，那么可知那么out(L)=并且根據(jù)定義8，AF′中沒有被標記為undec的論證，也就是說為空。在定理6 的基礎之上，還需找到使得的條件。

定理7.AF=(A,R)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。E是一個論證集合，E ∩A是無沖突的，并且EA ?B。AF′=AF ⊕(B,I)。AF′是AF關于E的st擴展框架，當且僅當

定理7 中，(1)表明了E在AF′中是無沖突的；(2)和(3)除了決定之外，還決定了定理7 提出了AF′成為AF關于E的st擴展框架的充分必要條件，表明了在穩(wěn)定語義下，實現(xiàn)強制外延的直接增加論證或關系的規(guī)則。

例12.令E={a,e}。對于例11 中的論辯框架AF5，E不是AF5的穩(wěn)定外延。根據(jù)定理7，=AF5⊕({f,g,e},{(a,c),(a,f),(d.e),(e,d),(e,g),(g,e),(f,g)})是AF5關于E的st擴展框架（如圖9 所示）。

4.3 完全語義

如果AF′是AF關于E的co擴展框架，那么存在L ∈Lco(AF′)，使得in(L)=E。由于完全語義是可相容語義，AF′首先是AF關于E的ad擴展框架。那么B和I滿足定理6 中的規(guī)則。其次可知并且out(L)=根據(jù)完全標記的定義，對任意L(x)=undec是合法的。根據(jù)定義5，被合法標記為undec的論證，其攻擊者必須不能被標記為in，而且其中至少有一個攻擊者的標簽是undec。那么對中的任意論證x，它都要被中的某個或者某些論證攻擊。在定理6 的基礎上，我們給出如下定理。

圖9 AF5 關于E 的st 擴展框架

定理8.AF=(A,R)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。E是一個論證集合，E ∩A是無沖突的，并且EA ?B。AF′=AF ⊕(B,I)。AF′是AF關于E的co擴展框架當且僅當(1)AF′是AF關于E的ad擴展框架；

(2) 令C=對任意x ∈C，CR′x。其中，R′=R ∪I。

證明.需證明兩個方向。令AF′=(A′,R′)，那么A′=A ∪B，R′=R ∪I。

假設AF′是AF關于E的co擴展框架，那么存在L ∈Lco(AF′)，使得in(L)=E，out(L)=由于完全語義是可相容語義，AF′是AF關于E的ad擴展框架。C=那么對任意x ∈C，L(x)=undec。根據(jù)定義5，CR′x。

定理8 在定理6 的基礎上增加了條件(2)，保證了AF′中不被E攻擊的論證都可以被合法地標記為undec。定理8 提出了AF′成為AF關于E的co限制框架的充分必要條件，表明了在完全語義下，實現(xiàn)強制外延的直接增加論證或關系的規(guī)則。

例13.E={a,e}。根據(jù)定理8，=AF5⊕({f,g,e},{(f,c),(c,f),(d,e),(e,d),(e,g),(g,e),(f,g)})是AF5關于E的co擴展框架（如圖10 所示）。

圖10 AF5 關于E 的co 擴展框架

4.4 基語義

如果AF′是AF關于E的gr擴展框架，那么存在L ∈Lgr(AF′)，使得in(L)=E。由于基語義是完全語義，AF′首先是AF關于E的co擴展框架，那么可知根據(jù)基標記的定義，對任意L′ ∈Lco(AF′)，in(L)?in(L′)。如果有標記使得其中有些論證被合法地標記為undec，那么L將不是AF′的基標記。L在上的限制是的基標記。與定理4 相同，這一條件通過的拓撲結構來表達。

定理9.AF=(A,R)是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。E是一個論證集合，E ∩A是無沖突的，并且EA ?B。AF′=AF ⊕(B,I)。AF′是AF關于E的gr擴展框架當且僅當

(1)AF′是AF關于E的co擴展框架；

定理9 在定理8 的基礎上增加了條件(2)，其作用是通過保證是的基標記，來保證L是AF′的基標記。定理9 提出了AF′成為AF關于E的gr擴展框架的充分必要條件，表明了在完全語義下，實現(xiàn)強制外延的直接增加論證或關系的規(guī)則。

例14.E={a,e}。根據(jù)定理9，=AF5⊕({f,g,e},{(f,c),(c,f),(d,e),(a,d),(e,g),(f,g)})是AF5關于E的gr擴展框架（如圖11 所示）。

圖11 AF5 關于E 的gr 擴展框架

4.5 優(yōu)先語義

如果AF′是AF關于E的pr擴展框架，那么存在L ∈Lpr(AF′)，使得in(L)=E。由于優(yōu)先語義是完全語義，AF′首先是AF關于E的co擴展框架，那么可知那么out(L)=并且undec(L)=根據(jù)優(yōu)先標記的定義，不存在L′ ∈Lco(AF′)，使得in(L′)?in(L)。根據(jù)命題1，不存在L′ ∈Lco(AF′)，使得undec(L′)?undec(L)。如果存在使得in(L?)≠?，那么L將不是AF′的優(yōu)先標記。與定理5 相同，中不能再有論證被合法地標記為in這一條件，需要借助AF′的子框架的語義來表達。

定理10.AF=(A,R) 是AAF，B是一個論證集合，I是一個二元關系且I ?(A ∪B)×(A ∪B)。E是一個論證集合，E ∩A是無沖突的，并且E A ?B。AF′=AF ⊕(B,I)。AF′是關于E的pr擴展框架當且僅當

(1)AF′是AF關于E的co擴展框架；

定理10 在定理8 的基礎上增加了條件(2)，定理10-(2) 的作用是通過保證在完全語義下沒有可接受的論證，來保證L是AF′的優(yōu)先標記。定理10 提出了AF′成為AF關于E的pr擴展框架的充分必要條件，通過對AF′的子框架進行語義檢驗后，才能確定在優(yōu)先語義下，為實現(xiàn)強制外延而對AF進行的擴展是否正確。

例15.E={a,e}。根據(jù)定理10，=AF5⊕({e,f,g,h},{(f,h),(c,f),(h,c),(d,e),(e,d),(e,g),(g,e),(f,g)})是AF5關于E的pr擴展框架（如圖12 所示）。

圖12 AF5 關于E 的pr 擴展框架

5 結論

本文主要研究了強制外延的抽象論辯系統(tǒng)修正規(guī)則。本文用論辯框架上的運算來表達AAF 的更新，從兩個方向進行系統(tǒng)修正規(guī)則的討論：AAF 的限制和AAF的擴展。AAF 的限制是刪除原始AAF 中的論證以及與這些論證有關的攻擊關系，AAF 的限制規(guī)則主要討論刪除論證和關系的情況；AAF 的擴展是添加論證及攻擊關系，AAF 的擴展規(guī)則考慮增加的論證和關系的情況。本文借助外延的結構特征以及其與AAF 上的論證、論證子集之間的關系，對可相容語義、完全語義、穩(wěn)定語義、優(yōu)先語義和基語義進行了分析，提出滿足強制外延的AAF 的擴展規(guī)則和限制規(guī)則。

在以往對于論辯系統(tǒng)的修正規(guī)則的研究中，多考慮AAF 添加或者刪除單個論證及關系的修正規(guī)則（[8]），或者受限于AAF 的擴張方式（強擴張或者弱擴張）（[6]）。本文對于AAF 擴展規(guī)則的研究，突破了這種限制。另外，Baumann 等人的研究（[6]）僅僅表明了強制外延的可能條件和不可能條件，并未給出詳細的系統(tǒng)修正規(guī)則。本文通過對AAF 的限制框架和擴展框架的刻畫，給出了滿足強制外延的抽象論辯系統(tǒng)修正規(guī)則。本文關于這部分的研究涉及多個語義（可相容語義、完全語義、穩(wěn)定語義、優(yōu)先語義和基語義），就涵蓋的語義范圍來講，本文所得出的結論較為完整。

在本文工作的基礎上，可向兩個方面繼續(xù)進行研究：

(1)關于強制外延的系統(tǒng)修正，雖然不再限制添加或者刪除論證的唯一性，但是設定了AAF 的變化方向：要么擴展，要么限制。對于強制外延的系統(tǒng)修正規(guī)則主要依賴兩點：外延E的內部結構以及它的外部相對結構（與論證、論證集合之間的關系）。未來的研究可以打破對AAF 進行單向變化的限制（[14]），找到關于強制外延的更一般的修正規(guī)則。

(2)強制外延意在確保某個論證集合E在AAF 更新后成為其外延。稍加改變我們就可以得到更多的預期語義變化。最簡單直接的是設定E為更新前AAF 的一個外延，此時，強制外延的系統(tǒng)修正規(guī)則即是滿足存在外延保持不變的修正規(guī)則。除此之外，可以設定確保某個論證集合中的論證在AAF 更新后仍然是可接受的，或者確保某個論證集合中的論證成為AAF 更新后某一語義的所有標記下可接受的論證，即語義單調性。未來的研究可以延伸到以上述兩種語義變化為目的的系統(tǒng)修正。