張玉志

1963 年，美國邏輯學家費奇（F.B.Fitch）證明從證實原則“真命題都是可知的”可以推出“真命題都是已知的”這種荒謬的結論，后人稱之為費奇悖論（Fitch Paradox）（[7]）。由于費奇悖論產(chǎn)生于假設“真命題都是可知的”成立，因此它也被稱為可知性悖論（Knowability Paradox）。如何消解費奇悖論一直是非經(jīng)典邏輯和分析哲學的前沿性問題，包括范丙申（J.van Benthem）和達米特（M.Dummett）在內的眾多國際著名邏輯學家和哲學家對此高度關注。目前，針對費奇悖論已經(jīng)形成多種消解方案，例如直覺主義邏輯解決方案（[1,16]）、弗協(xié)調邏輯解決方案（[2]）、情景理論解決方案（[6]）、達米特解決方案（[5]）、坦南特解決方案（[15]）、動態(tài)認知邏輯解決方案（[3]）、分布式知識解決方案（[10]）、結構證明論解決方案（[9]）、一階混合模態(tài)邏輯解悖方案（[11]）等等。雖然解悖方案有很多，但是各種解悖方案自身都存在問題（[13]，第466 頁），這使得到目前為止在費奇悖論上尚未取得一致意見。國內邏輯學界對費奇悖論的研究側重于介紹國外研究成果，近些年的相關研究可以參考[17–20]。本文在分析證實原則和摩爾句子的思想之后發(fā)現(xiàn)：在認知算子上加入時間坐標能夠澄清認知公式1本文中所說的“認知公式”僅指含有認知算子K 的公式，如摩爾公式p ∧?Kp。的準確思想，進而可以消解費奇悖論。據(jù)此，可以從混合時態(tài)認知邏輯的角度來消解費奇悖論。希望本文的研究視角和結論能夠引起學界的關注和討論。

1 費奇悖論的產(chǎn)生

產(chǎn)生于19 世紀30 年代至40 年代初的實證主義是科學主義思潮的源頭，創(chuàng)始人是法國哲學家孔德（A.Comte）。實證主義繼承了經(jīng)驗派的基本觀點（知識來源于經(jīng)驗），同時開始關注命題的意義問題。實證主義者認為應該放棄對神學、形而上學的討論，因為真正有認知意義的命題應該是那些可以被經(jīng)驗檢驗的命題（[21]，第12–14 頁）。換句話說，真命題都是可知的，這被稱為證實原則（Knowability Principle）。證實原則是實證主義和之后出現(xiàn)的反實在論（Anti-realism）所共同認可的原則。1963 年，美國邏輯學家費奇從證實原則推出“真命題都是已知的”這種荒謬的結論。具體推導過程如下：

令p表示命題變元，◇表示模態(tài)算子“可能”，□表示模態(tài)算子“必然”，K表示認知算子“知道”，?表示存在量詞，?表示全稱量詞。

證實原則在文獻中通常被形式化為1 式：p →◇Kp，讀作“如果p，那么可能主體知道p”。另外一個事實：人們在任何時候都不是全知全能的，即總是存在一些真命題是人們不知道的。這被稱為非全知原則（Non-omniscient Principle），文獻中通常將此形式化為2 式：?p(p ∧?Kp)。據(jù)此，可以例示為3 式：p ∧?Kp。然后，將3 式代入1 式得4 式：(p ∧?Kp)→◇K(p ∧?Kp)。3 式和4 式根據(jù)分離規(guī)則可得5 式：◇K(p ∧?Kp)。根據(jù)認知邏輯的S5系統(tǒng)可知，K(p ∧?Kp)不可能為真，并且5 式為假，證明如下：

(1)K(p ∧?Kp) 假設

(2)Kp ∧K?Kp(1)，S5系統(tǒng)內定理K(p ∧?Kp)→(Kp ∧K?Kp)

(3)Kp ∧?Kp(2)，S5系統(tǒng)公理Kp →p

(4)?K(p ∧?Kp) (1)(2)(3)，歸謬法

(5)□?K(p ∧?Kp) (4)，必然化規(guī)則

(6)?◇K(p ∧?Kp) (5)，對偶算子定義

5 式與(6)式相互矛盾。因此，如果堅持證實原則1 式是正確的，那么就必須承認非全知原則2 式是錯誤的，即必須承認所有真命題都是已知的，?p(p →Kp)。從一個合理的假設得出一個荒謬的結論，費奇悖論由此而形成。

費奇悖論一經(jīng)產(chǎn)生，立即引起邏輯學家和哲學家們的恐慌。它的巨大破壞力主要表現(xiàn)為兩點：第一，將實證主義、反實在論等哲學流派的理論置于流沙之上；第二，它所得出的荒謬結論直接質疑分析哲學和認知邏輯的存在意義——如果承認所有真命題都是已知的，那么這意味著“知識”和“真”是同一回事（Kp ?p），并且意味著認知邏輯會完全坍塌為經(jīng)典命題邏輯。邏輯學家和哲學家們顯然不能容忍費奇悖論的存在。自1963 年費奇悖論產(chǎn)生至今，如何對其進行消解一直是國際邏輯學界和哲學界所迫切關心的問題。

2 自然語言分析

費奇悖論直接形成于將摩爾公式“p∧?Kp”代入證實原則的通俗表達式。據(jù)此，想要深入分析費奇悖論必須先澄清兩個問題：證實原則的準確思想是什么？摩爾句子的準確思想是什么？對這兩個問題的澄清有助于我們找到形成費奇悖論的真正原因。

2.1 證實原則的準確思想

實證主義者所認可的命題不僅包括那些已經(jīng)被經(jīng)驗證實（證偽）的命題，還包括那些尚未確定真值但在原則上可以被證實（證偽）的命題，例如，外星人存在，哥德巴赫猜想成立等等。雖然這類命題至今尚未被人類證實（證偽），但它們在原則上都可以被證實（證偽），都是“可知的”。需要指出的是，此處所說的“可知的”并不是指這個命題在當下可能被主體知道，而是指此命題在原則上可以被經(jīng)驗檢驗，或者說原則上可以被知道。具體來說，證實原則中的“可知的”應該是指一定存在一個時間點，在那個時間點上主體知道給定的真命題。因為那個時間點雖然總是存在，卻在很多情況下無法確定，所以說給定的真命題只是可以被知道。例如，“如果哥德巴赫猜想成立，那么可能主體知道哥德巴赫猜想成立”是一種完全錯誤的說法（假命題），因為按照可能世界理論即使哥德巴赫猜想事實上成立，但目前為止沒有一個可能世界中有主體（已經(jīng)）知道這個命題成立。我們應該這樣來理解說話者的意思：如果哥德巴赫猜想成立，那么總是存在一個時間點（此處是指將來的一個時間點），在那個時間點上主體知道哥德巴赫猜想成立。

上述分析表明，證實原則“真命題都是可知的”并不是指真命題都在當下可能被主體知道，即將證實原則形式化為“p →◇Kp”是完全錯誤的。筆者認為，證實原則傳遞出人們探索真理的勇氣和信心，應該把它理解為：任一真命題都會在某個時間點上（過去、現(xiàn)在或者未來）被知道，即對每個真命題而言都存在一個時間點使得在這個時間點上它被主體知道。例如，“北京是中國的首都”是真命題，它在過去已經(jīng)被人們知道。再比如，人們至今不知道命題“外星人存在”的真值，但是人們相信這個命題的真值在未來的某個時間點上可以被經(jīng)驗檢驗。同理分析非全知原則，它是指“每個時間點上，總是存在一個命題使得在此時間點上人們知道它”。

2.2 摩爾句子的準確思想

“p ∧?Kp”被稱為摩爾公式（Moore-formulas），它是對“p并且主體不知道p”這樣一類摩爾句子（Moore-sentences）的形式化（[4]，第107 頁）。在公開宣告邏輯中，摩爾公式的典型特點是被宣告之后不可能被主體知道。例如，考慮a向b宣告“小李是北京人，可是你還不知道”這種情況。a的宣告內容可以用公式“p ∧?Kbp”2p ∧?Kbp 仍是摩爾公式。K 算子不加下標時所指范圍更廣，可以表示人們（群體）知道或者某人知道；K算子加下標時僅指某人知道。來表示，宣告之前公式p ∧?Kbp是真的，宣告之后它變成假的（因為宣告之后b已經(jīng)知道小李是北京人）。

當a向b宣告“小李是北京人，可是你還不知道”時，a想要表達的準確思想是什么？可以首先肯定的是，a想要表達的思想不可能是“小李是北京人，并且在我宣告之后你不知道小李是北京人”，因為這本身就是一個假命題。在認知邏輯中，知道公理“Kp →p”是指主體知道的東西都是真的，即人們不可能知道假命題。實際上，a想要表達的思想應該是：小李是北京人，并且在a宣告之前b不知道小李是北京人。a想要表達的思想在宣告之前是個真命題，在宣告之后它仍然是個真命題。顯然，此處如果不解釋摩爾語句中的“不知道”所指的具體時間，那么摩爾公式“p ∧?Kbp”所斷定的思想實際上是含混的。因此，摩爾句子的形式化需要通過加入時間坐標的形式才能澄清自身的準確思想。

2.3 原因分析及對策

根據(jù)非全知原則，摩爾句子“p并且主體不知道p”可以是真命題。但是，第一節(jié)中的形式證明說明知道摩爾句子會導致矛盾，即主體永遠不可能知道一個摩爾句子。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是什么？可以以a向b宣告“小李是北京人，可是你還不知道”這種情況為例進行分析。實際上，a想要表達的思想應該是：小李是北京人，并且在a宣告之前b不知道小李是北京人。而這個復合命題在a宣告之后會成為一個既成事實，并且在a宣告之后會成為b的新知識。換句話說，事實上，在宣告之后b知道“小李是北京人，并且在a宣告之前b不知道小李是北京人”。顯然，此處的“b知道”與“b不知道”所處的時間點是不同的。這說明事實上人們可以知道一個摩爾句子，只是人們知道一個摩爾句子的時間與摩爾句子本身中所含有的“不知道”的時間是不同的。

上述分析說明，費奇悖論的出現(xiàn)是因為在形式化證實原則和摩爾句子時沒有考慮時間因素。換句話說，費奇悖論的出現(xiàn)是因為認知公式本身表達了含混的思想造成的。巧合的是，日本學者佐藤（M.Sato）在1977 年給出的KT5系統(tǒng)剛好可以在技術上解決這個問題（[14]）。

KT5系統(tǒng)是一種廣義上的時態(tài)認知邏輯（Temporal Epistemic Logic）3一般認為，時態(tài)認知邏輯是時態(tài)邏輯和認知邏輯相結合的產(chǎn)物（形式語言中含有時態(tài)算子和認知算子），本文稱之為狹義上的時態(tài)認知邏輯。KT5 系統(tǒng)的形式語言中不含時態(tài)算子，但每個認知算子都被一個時間點標注，因此也含有時態(tài)。。它的基本形式語言包括原子命題集{p,q,...}、主體集{O,S1,S2,...}和對應正整數(shù)集的時間集{t1,t2,t3,...}，其中，主體集中的“O”表示一個特殊的個體“傻瓜”。合式公式遞歸定義為“φ::=p|⊥|φ →φ|[St]φ”，公式“[St]φ”結合了時態(tài)與認知，讀作“在時刻t，主體S知道φ”。按此理論，摩爾公式“p ∧?Ksp”應該被修正為“p ∧?[St]p”,讀作“p并且主體S在t 時刻不知道p”。顯然，KT5系統(tǒng)在每個認知算子上加入一個時間坐標，它可以使認知公式所表達的思想更加準確。

3 混合時態(tài)認知邏輯的解悖分析

由第二節(jié)的分析可知，澄清費奇悖論關鍵要解決兩個問題：第一，在形式化證實原則時必須表達出“對任意真命題，總存在一個時間點使得主體知道它”這層思想；第二，摩爾句子的形式化必須考慮時間因素。KT5系統(tǒng)可以澄清摩爾句子，能夠解決第二個問題。但是，KT5系統(tǒng)本身不含量詞，不能對時間點進行約束，因而仍然不能解決第一個問題。已知混合邏輯的表達力強于認知邏輯（模態(tài)邏輯），并且含有全局算子（存在算子），這直接啟發(fā)我們可以利用混合邏輯來同時解決上述兩個難題。

我們需要先給出混合時態(tài)認知邏輯的形式語言及其語義。

3.1 混合時態(tài)認知邏輯

定義1(形式語言).給定一個可數(shù)的常原子命題集P，p ∈P；有窮主體集Agents，a ∈Agents；自然數(shù)集N（時間點的名字，標簽集），i ∈N?；旌蠒r態(tài)認知邏輯的形式語言歸納定義如下：

其中，i為原子公式；Kaφ表示主體a知道φ；Eφ表示存在一個時間點使得φ成立。另外，定義@iφ=E(i ∧φ)，表示在一個名字為i的時間點上φ成立。對∨,→,?的定義如常。

定義2(模型).給定一個可數(shù)的常原子命題集P，一個有窮主體集Agents，a ∈Agents，時間點集T，自然數(shù)集N，i ∈N?；旌蠒r態(tài)認知邏輯的模型M是一個六元組(T,<,F,W,R,V)，其中：

(1)T是時間點的集合，t ∈T；

(2)<是T上的一個反自返且傳遞的二元關系，可以看成是“早于–晚于關系”，m

(3)F是一個函數(shù)：N →T，表示每個自然數(shù)i僅指稱一個時間點；

(4)W為可能世界的集合；

(5)R是一個函數(shù)：Agents×T →?(W ×W)。任意R(a,t)滿足以下兩個條件：

1 等價關系（自返、傳遞和對稱）；

2 單調遞減：對任意m,n ∈T，a ∈Agents，如果m

(6)V是一個賦值函數(shù)，P →?(W)。

關于函數(shù)R的定義在直觀上是指為不同時間點上的每個主體指派一些不可區(qū)分世界。要求R單調遞減目的是使每個主體的不可區(qū)分世界有序對的集合隨著時間的延伸只可能收縮而不可能擴大，直觀上是指隨著時間的流逝每個主體的不可區(qū)分世界越來越少。

定義3(語義).給定模型M=(T,<,F,W,R,V)，公式φ在點模型(M,w,t)上是真的記為M,w,tφ。若公式φ在所有基于框架(T,<,W,R)的點模型上都是真的，則稱φ為有效式，記為φ。對M,w,tφ歸納定義如下：

從上述定義可以看出：常原子命題p的真值只跟可能世界有關，不會隨著時間發(fā)生變化；原子公式i在點模型(M,w,t)為真是指i指稱的時間點是t；Kaφ在點模型(M,w,t)為真是指主體a在t時刻從w上看到的所有世界上φ為真；Eφ在點模型(M,w,t)為真是指存在一個時間點t′ ∈T，使得φ在(M,w,t′)上為真；@iφ在點模型(M,w,t)為真是指在w世界上從時間點t跳躍到一個時間點名字為i的點模型上，φ為真。

命題1.@mKap →@nKap，m

證明.反證法。假設上式無效。所以，存在點模型(M,w,t)使得1 式M,w,t@mKap以及2 式M,w,t?@nKap成立（m

命題1 是指主體總會知道自身在先前時刻的所有知識（特指常原子命題），它說明主體對常原子命題的知識可以進行積累。

有了上述語形和語義定義后，我們就可以準確形式化出證實原則和摩爾句子的思想，同時可以在模型上給出合理解釋。

3.2 混合時態(tài)認知邏輯解悖方案

在上述混合時態(tài)認知邏輯的視野下，證實原則“真命題都是可知的”可以形式化為1 式：φ →EKaφ。它讀作“如果φ，那么存在一個時間點使得主體a在那個時間點上知道φ。摩爾句子可以形式化為2 式：p∧@i?Kap。它讀作“p并且在i時主體a不知道p”。將2 式代入1 式，利用分離規(guī)則得3 式：EKa(p∧@i?Kap)。3 式讀作“存在一個時間點使得主體a在那個時間點上知道‘p并且在i時主體a不知道p’”。雖然我們可以繼續(xù)對3 式運用推演規(guī)則，但是卻不會再推出矛盾。由此，費奇悖論被消解。

上述解悖方案的效果如何？本文以對如下兩類命題的分析為例進行作答。令n表示當前時間點，m

第一類，已證實命題。假設命題“小李是北京人（p），可是大家還不知道”為真。由于命題p當前已經(jīng)被證實，在本文的解悖方案中它需要被形式化為“p ∧@m?Kp”，表示“小李是北京人，可是在m時大家對此不知道”。在當前時間點n，大家已經(jīng)知道p，并且大家知道在m時大家不知道p。因此，公式“p ∧@m?Kp”是當前已知的，也是已經(jīng)被經(jīng)驗證實的，符合證實原則。公式“p ∧@m?Kp”在m時沒有被大家知道，這符合非全知原則。令w,u分別表示兩個可能世界，命題p僅在w世界上為真，則在m時刻主體不能區(qū)分w,u兩個可能世界，在之后的n,s時刻主體可以區(qū)分這兩個可能世界。模型如下圖1（其中，√標注的世界為現(xiàn)實世界）：

圖1

第二類，未證實命題。假設命題“哥德巴赫猜想成立（q），可是人們還不知道”為真。由于命題q當前尚未被證實，在本文的解悖方案中它需要被形式化為“q ∧@n?Kq”，表示“哥德巴赫猜想成立，但在n時人們對此不知道”。因為q命題事實上尚未被證實并且存在很大難度，所以可能在n+1,n+2,n+3 等很長的一段時間內它都無法被證實。但是，實證主義者相信：只要q是個真命題，就總會存在一個時間點s使得在s時q被人們知道，并且在s時人們還知道在n時人們不知道q。因此，公式“q ∧@n?Kq”仍然是可知的，也仍然是可以被經(jīng)驗檢驗的，符合證實原則。公式“q ∧@n?Kq”在s之前不被人們知道，這符合非全知原則。令w,u分別表示兩個可能世界，命題q僅在w世界上為真，則在m,n時刻主體都不能區(qū)分w,u兩個可能世界，但在之后的s時刻主體可以區(qū)分這兩個可能世界。模型如下圖2（其中，√標注的世界為現(xiàn)實世界）：

圖2

上述分析表明，本文給出的混合時態(tài)認知邏輯解悖方案可以從技術上消解費奇悖論。注意，從時態(tài)角度來消解費奇悖論的研究思路在文獻[6,8,12]等已經(jīng)出現(xiàn)。本文工作與這些研究工作類似但是不同，主要體現(xiàn)在下述三點：第一，本文不使用任何時態(tài)算子和關系符號，因此形式語言更為簡潔；第二，本文堅持在認知算子上加入時間坐標（把認知句子理解為某人在某時知道某事），而不是“某人知道某事在某時成立”；第三，本文所給模型更為簡化，這主要得益于在定義1 中使用了常原子命題。因此，本文的解悖方案是一種更加簡潔的方案。

4 結語

直觀上，人們可以知道一個摩爾句子。但是，經(jīng)典認知邏輯從技術上證明了知道一個摩爾公式會導致矛盾。得出這種錯誤結論是因為邏輯學家沒有意識到人們“知道”摩爾公式的時間與摩爾公式本身含有的“不知道”時間是不同的。經(jīng)典認知邏輯只能對知識的“靜態(tài)分布”進行模型研究，不能在技術上區(qū)分上述兩個時間點是導致費奇悖論的關鍵。換句話說，使用經(jīng)典認知邏輯的技術來處理知識的“動態(tài)分布”（不同時間點上的知識）是不恰當?shù)?。于是，消解費奇悖論的關鍵在于擴張經(jīng)典認知邏輯，使得人們的認知狀態(tài)能夠被時間點精確標記。