王亞婷 周 瑩

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（下文簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）建議“命題要特別關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成以及會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的能力；要重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)；適度增加試題的思維量；給學(xué)生充足的思考時(shí)間”[1]。教育部考試命題專家認(rèn)為“2019 年高考數(shù)學(xué)試卷突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，著重考查考生的理性思維能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法分析問題、解決問題的能力”[2]?？梢?，新課標(biāo)倡導(dǎo)的思維品質(zhì)層次的考查目標(biāo)在高考中很好地體現(xiàn)出來，其人才培養(yǎng)導(dǎo)向功能已經(jīng)突顯。探究試題的思維層次水平、分析學(xué)生的思維能力也成為新高考改革關(guān)注的話題。

SOLO 分類理論基于皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論而建立，按照個(gè)體認(rèn)知發(fā)展的思維模式劃分為5個(gè)層次：前結(jié)構(gòu)（P）、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)（U）、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)（M）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（R）和抽象拓展結(jié)構(gòu)（E），是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的層次模型，符合人類認(rèn)知規(guī)律。SOLO 分類理論以學(xué)習(xí)行為的結(jié)果為評(píng)價(jià)目標(biāo)，不僅關(guān)注學(xué)習(xí)內(nèi)容還關(guān)注學(xué)習(xí)能力，最重要的是能夠評(píng)價(jià)學(xué)生思維能力所處的層次和階段。[3]為此，本文借助該理論對(duì)2019 年3 套高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷的試題思維層次進(jìn)行分析，了解數(shù)學(xué)試卷對(duì)考生思維水平的考查要求，以期為數(shù)學(xué)命題及教學(xué)提供參考。

二、研究設(shè)計(jì)

1.研究對(duì)象

2019 年高考數(shù)學(xué)，除了江蘇、浙江、上海、北京、天津五省市實(shí)行自主命題，其余省市均使用全國(guó)卷。本文選擇2019 年3 套理科全國(guó)卷，對(duì)數(shù)學(xué)試題思維層次進(jìn)行分析。

2.分析框架

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容包含“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“概率與統(tǒng)計(jì)”“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”4 條主線，分為必修、選擇性必修和選修3 大模塊。此外，必修課程還添加了“預(yù)備知識(shí)”，能夠幫助學(xué)生銜接初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。但高考對(duì)“數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”并無考查，故不考慮這一內(nèi)容。鑒于SOLO 分類理論中的“前結(jié)構(gòu)水平”的回答不存在邏輯的聯(lián)系，線索與回答混在一起[4]，故只選取 U、M、R、E 這 4 種水平。

本文基于新課標(biāo)中“預(yù)備知識(shí)+3 條主線”的知識(shí)內(nèi)容以及SOLO 分類理論中4 種思維層次，以考查考生認(rèn)知水平和知識(shí)內(nèi)容為主體劃分試題的思維層次判定標(biāo)準(zhǔn)。表1 的分析框架由認(rèn)知水平和知識(shí)內(nèi)容一起組成，研究者可根據(jù)思維操作維度判定解答試題所需認(rèn)知水平的層次，判定關(guān)鍵詞依次為回憶、概括、類比、歸納、推理，提出新的假設(shè)與猜想、邏輯演繹與抽象拓展。根據(jù)SOLO 分類法中的能力維度，評(píng)價(jià)者可以判定解答試題所需知識(shí)內(nèi)容及其關(guān)聯(lián)。為保證2019 年3份高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題思維層次劃分的信度和效度，筆者以新課標(biāo)、考試大綱為基準(zhǔn)，邀請(qǐng)3 位同行對(duì)3 套全國(guó)卷進(jìn)行整理。

三、2019年高考數(shù)學(xué)理科3套全國(guó)卷試題思維層次分析

為了更好地掌握每套試卷相應(yīng)主線上思維層次所占比重，根據(jù)上述劃分，以實(shí)際分?jǐn)?shù)為主，通過表格和統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行詳細(xì)分析。表2～表4 是針對(duì)試題題項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)，即對(duì)各思維層次試題數(shù)的統(tǒng)計(jì)；而圖1～圖3 則為分值分布，是對(duì)各思維層次試題分值的統(tǒng)計(jì)。

表1 基于SOLO 分類理論的試題思維層次劃分

表2 全國(guó)卷Ⅰ試題思維層次及考查內(nèi)容

圖1 全國(guó)卷Ⅰ試題思維層次分布

1.全國(guó)卷Ⅰ試題思維層次

由圖1 可以看出，全國(guó)卷Ⅰ在單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題僅有一道，且試題涉及程序框圖，屬于“函數(shù)”必修內(nèi)容，希望學(xué)生理解并掌握問題思路的重要性，考生只需再認(rèn)“程序框圖”這一知識(shí)點(diǎn)即可完成解答。受到高考時(shí)間限制，為了做到考查內(nèi)容的全面性，單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題不多也在情理之中。多點(diǎn)結(jié)構(gòu)分布涉及4 大主線，綜合來看，所占分值從大到小的排序?yàn)椋骸昂瘮?shù)”“幾何與代數(shù)”“預(yù)備知識(shí)”“概率與統(tǒng)計(jì)”。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)作為相對(duì)較高的思維層次，考查主要集中在“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”模塊中的選擇性必修內(nèi)容。至于抽象拓展結(jié)構(gòu)試題僅有一道（12 分），且隸屬于“概率與統(tǒng)計(jì)”模塊。從認(rèn)知水平來講，抽象拓展結(jié)構(gòu)試題對(duì)學(xué)生思維能力要求更高，需要考生跳出已有知識(shí)內(nèi)容提出新的猜想與假設(shè)，試題難度較高，在一定程度上能夠區(qū)分考生的思維水平。

從表2 可以看出，全國(guó)卷Ⅰ的單點(diǎn)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題數(shù)量13 道，關(guān)聯(lián)、抽象拓展結(jié)構(gòu)層次試題8 道，其中多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次是考查的重點(diǎn)。從考查內(nèi)容來看，命題人員在“函數(shù)”“概率與統(tǒng)計(jì)”模塊的選擇性必修內(nèi)容中選擇了等差數(shù)列、等比數(shù)列、導(dǎo)數(shù)以及排列組合等內(nèi)容考查學(xué)生較為簡(jiǎn)單的計(jì)算，其他單點(diǎn)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題均來自必修內(nèi)容。單點(diǎn)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題不僅可以考查考生對(duì)知識(shí)的回憶與再認(rèn)，還能考查其對(duì)整個(gè)題干以及所獲得的各項(xiàng)解答進(jìn)行整合概括的能力。這兩部分結(jié)構(gòu)在SOLO 層次中屬于低價(jià)思維層次。而關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和抽象拓展結(jié)構(gòu)作為高階思維層次，全國(guó)卷Ⅰ的試題考查占比不高，其內(nèi)容主要涉及導(dǎo)數(shù)、立體幾何初步、空間向量與立體幾何、圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）等。

以全國(guó)卷Ⅰ第4 題為例，這是一道考查多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次的試題，該題以數(shù)學(xué)文化為背景，以“斷臂維納斯”為例，考查黃金分割比例、不等式等內(nèi)容，其歸屬為“預(yù)備知識(shí)”。試題信息量大，思維能力要求中等，計(jì)算能力要求較高，需要考生先理解題干，找到事物之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系并予以概括，最后通過計(jì)算得出身高范圍。其考查內(nèi)容與要求相對(duì)比較簡(jiǎn)單，需要考生利用理論聯(lián)系實(shí)際，養(yǎng)成“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2.全國(guó)卷Ⅱ試題思維層次

由圖2 可以看出，全國(guó)卷Ⅱ單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題出現(xiàn)在“幾何與代數(shù)”“概率與統(tǒng)計(jì)”兩大主線中，且分別隸屬于必修內(nèi)容，主要考查“基本圖形位置關(guān)系——面面平行的判定定理以及樣本平均值的求解”，題量占比少，內(nèi)容簡(jiǎn)單，只需回憶即可。除了“概率與統(tǒng)計(jì)”模塊中的選擇性必修部分，多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題在4 大主線中的必修與選擇性必修部分均有分布，可見，全國(guó)卷Ⅱ?qū)τ诙帱c(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題考查得比較廣泛，題量較多，認(rèn)知水平的要求較單點(diǎn)結(jié)構(gòu)更高。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)除了“預(yù)備知識(shí)”模塊，其余3 條主線均有所涉及，尤其是在“幾何與代數(shù)”中的選擇性必修內(nèi)容分值占比較高。

表3 全國(guó)卷Ⅱ試題思維層次及考查內(nèi)容

從表3 可見，全國(guó)卷Ⅱ單點(diǎn)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次的試題數(shù)量與關(guān)聯(lián)、抽象拓展結(jié)構(gòu)層次相近，關(guān)聯(lián)、抽象拓展結(jié)構(gòu)層次試題與全國(guó)卷Ⅰ相比，占比有所提高?？疾閮?nèi)容上，單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題著重考查立體幾何初步、概率，均為必修內(nèi)容，主要是對(duì)單一概念的回憶與再認(rèn)。多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題著重考查集合、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、等差數(shù)列、等比數(shù)列、復(fù)數(shù)、平面向量及其應(yīng)用、平面解析幾何中的圓錐曲線、三角函數(shù)、必修統(tǒng)計(jì)等，主要是對(duì)多個(gè)概念的回憶與再認(rèn)以及概括總結(jié)。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次試題內(nèi)容涉及三角函數(shù)的恒等變換、圓錐曲線（拋物線、雙曲線、橢圓）、立體幾何和計(jì)數(shù)原理等?？梢园l(fā)現(xiàn)，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)思維層次考查內(nèi)容集中且關(guān)聯(lián)性極強(qiáng)，需要考生進(jìn)行歸納、類比、推理等綜合給出答案。至于抽象拓展結(jié)構(gòu)試題主要涉及“函數(shù)”和“幾何與代數(shù)”必修內(nèi)容，如“類周期函數(shù)”和“半多面體”。

A：f（x）=|cos2x|B：f（x）=|sin2x|

C：f（x）=cos|x|D：f（x）=sin|x|

該題設(shè)置了學(xué)生常見的數(shù)學(xué)情境，題干所給知識(shí)點(diǎn)涉及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象及函數(shù)圖象變換中含絕對(duì)值的圖象變換，成功解答只需概括相應(yīng)選項(xiàng)中的內(nèi)容即可。4 個(gè)選項(xiàng)均屬于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)：A 選項(xiàng)考查整體打絕對(duì)值的余弦函數(shù)的函數(shù)圖象及其單調(diào)性；B 選項(xiàng)考查整體打絕對(duì)值的正弦函數(shù)的函數(shù)圖象及其單調(diào)性；C 選項(xiàng)考查部分打絕對(duì)值的余弦函數(shù)的函數(shù)圖象及其單調(diào)性；D 選項(xiàng)考查部分打絕對(duì)值的正弦函數(shù)的函數(shù)圖象及其單調(diào)性。對(duì)于整個(gè)題目來講，各個(gè)選項(xiàng)的認(rèn)知目標(biāo)都是獨(dú)立存在的，僅需要學(xué)生回憶2～3 個(gè)知識(shí)點(diǎn)，再將各知識(shí)點(diǎn)所得加以概括方得解答。

再以全國(guó)卷Ⅱ考查關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的第21 題為例：已知點(diǎn) A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn) M（x，y）滿足直線AM 與BM 的斜率之積為記 M 的軌跡為曲線C.

（1）求C 的方程，并說明C 是什么曲線；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交 C 于 P、Q 兩點(diǎn)，點(diǎn)P 在第一象限，PE⊥x 軸，垂足為 E，連接 QE 并延長(zhǎng)交C 于點(diǎn)G.

（i）證明：△PQG 是直角三角形；

（ii）求△PQG 面積的最大值.

圖2 全國(guó)卷Ⅱ試題思維層次分布

該題所給知識(shí)點(diǎn)涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線斜率的概念、函數(shù)的單調(diào)性、最大值、基本不等式等內(nèi)容，在思維層次的考查上低階、高階并存。問題（1）屬于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)，需要考生回憶橢圓的定義以及直線斜率公式，再進(jìn)行運(yùn)算，試題內(nèi)容非常簡(jiǎn)單，考生基本上可以回答正確；問題（2）屬于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，需要考生在橢圓與直線之間建立聯(lián)系，做到圖形結(jié)合，抓住題干關(guān)鍵點(diǎn)，選擇最佳的解決辦法。其中，第（ii）小問是第（i）小問的鋪墊，通過讓學(xué)生求面積的最大值，考查諸多易錯(cuò)點(diǎn)，考生需要仔細(xì)辨別才能得到正確答案，思維層次要求更高，說明命題者既重視知識(shí)內(nèi)容的掌握，又重視能力的形成與發(fā)展，在考查高階思維水平的同時(shí)還不忘啟發(fā)誘導(dǎo)。

3.全國(guó)卷Ⅲ試題思維層次

由圖3 可以看出，全國(guó)卷Ⅲ在單點(diǎn)結(jié)構(gòu)有且僅有一道題，且分布于“概率與統(tǒng)計(jì)”模塊中的選擇性必修內(nèi)容“二項(xiàng)式定理展開式”，解決該題只需回顧一個(gè)知識(shí)點(diǎn)即可，考查思維層次較低。多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題在4 大主線之中均有分布，且分值占比呈先增后減趨勢(shì)。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次試題主要分布于“函數(shù)”必修內(nèi)容和“幾何與代數(shù)”中，分值占比較高，尤其集中在“幾何與代數(shù)”中的選擇性必修內(nèi)容。至于抽象拓展結(jié)構(gòu)層次試題，只在“函數(shù)”模塊中的選擇性必修內(nèi)容出現(xiàn)，包括函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲档?。抽象拓展結(jié)構(gòu)層次試題給出了新的假設(shè)與猜想，能夠考查學(xué)生的高層次思維能力，對(duì)考生的挑戰(zhàn)較大，為了增強(qiáng)試題的區(qū)分度和選拔性，未來高考數(shù)學(xué)命題可以嘗試適當(dāng)增加這一類型的試題。

從表4 可見，在考查內(nèi)容上，全國(guó)卷Ⅲ單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題僅考查了計(jì)數(shù)原理中的二項(xiàng)式定理的運(yùn)算及其求解。多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次試題著重考查了集合以及集合中的Venn 圖、復(fù)數(shù)、等比數(shù)列、導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、平面向量及其應(yīng)用中的基本定理及數(shù)量積的運(yùn)算等，其中，立體幾何、必修統(tǒng)計(jì)中的樣本估計(jì)百分位數(shù)、平均值及概率等，都屬于瑣碎的知識(shí)點(diǎn)，只要通過對(duì)知識(shí)內(nèi)容的回憶與總括，即可做到問題解決。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次試題著重考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量及其應(yīng)用中的正弦函數(shù)等內(nèi)容，以及圓錐曲線（拋物線、雙曲線、橢圓）和立體幾何等內(nèi)容?？傮w上來講，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次試題涉及比較系統(tǒng)的內(nèi)容，知識(shí)間關(guān)聯(lián)密切，可以考查學(xué)生的高階思維層次。抽象拓展結(jié)構(gòu)層次試題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)內(nèi)容，不同的是題干具有一定的開放性，既需要考生假設(shè)與論證，還要進(jìn)行分類討論，創(chuàng)造性地解決問題，對(duì)他們思維層次的要求非常高。

以全國(guó)卷Ⅲ考查抽象拓展結(jié)構(gòu)的第20 題為例：已知函數(shù)f（x）=2x3-ax2+b.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間［0，1］的最小值為-1 且最大值為1？若存在，求出a，b 的所有值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

該題情境屬于師生比較熟悉的數(shù)學(xué)情境，題干所給解題知識(shí)點(diǎn)涉及帶有未知數(shù)的函數(shù)單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，在認(rèn)知水平的考查上，以歸納、推理、邏輯演繹為主。其中，第一問為關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，考查帶有未知數(shù)的函數(shù)單調(diào)性及其導(dǎo)數(shù)，需要考生在設(shè)定的情境當(dāng)中利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行概括、推理。第二問為抽象拓展結(jié)構(gòu)，主要考查考生函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，題目以設(shè)問的形式，激發(fā)考生的創(chuàng)造性思維，需要考生進(jìn)行邏輯演繹與歸納。

圖3 全國(guó)卷Ⅲ試題思維層次分布

表4 全國(guó)卷Ⅲ試題思維層次及考查內(nèi)容

4.三卷總體分析

（1）3 套試卷均秉持新課標(biāo)的要求，考查內(nèi)容圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性[1]，但在具體知識(shí)內(nèi)容和思維層次的考查上又各具特色。

（2）3 套試卷在4 大主線上的考查分值從大到小占比依次為“幾何與代數(shù)”“函數(shù)”“概率與統(tǒng)計(jì)”“預(yù)備知識(shí)”，這與4 大主線各自的重要性程度相一致，3 套試卷在思維層次的考查上主要集中在多點(diǎn)和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中，必修內(nèi)容均以考查多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次為主，選擇性必修內(nèi)容以關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的考查為主，“幾何與代數(shù)”選擇性必修內(nèi)容一直是3 卷關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)試題考查的重點(diǎn)。

（3）全國(guó)卷Ⅰ、卷Ⅲ在4 個(gè)思維層次上的考查較為一致，在題項(xiàng)、分值分布上低階思維層次（單點(diǎn)、多點(diǎn)）所占比重較大，更關(guān)注多點(diǎn)結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)運(yùn)算類試題，注重考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的概括能力；而卷Ⅱ的低階思維與高階思維層次試題占比接近，能夠考查高階思維能力的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)試題成為該卷的考查重點(diǎn)，說明試題更注重考查學(xué)生的歸納、類比、推理能力。

四、思考與建議

1.試題適當(dāng)增加選擇性必修內(nèi)容的考量，提升對(duì)學(xué)生思維水平的考查

新課標(biāo)修訂的主要內(nèi)容之一就是優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，將課程類別調(diào)整為必修課程、選擇性必修課程和選修課程，其意欲在保證共同基礎(chǔ)的前提下，為不同發(fā)展方向的學(xué)生提供有選擇的課程，做到基礎(chǔ)性、選擇性、發(fā)展性并存。同時(shí)，新課標(biāo)研制的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，把數(shù)學(xué)內(nèi)容與相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)合為一體，劃分為3 個(gè)水平，分別對(duì)應(yīng)于必修、選擇性必修和選修課程，且各自包含4 個(gè)維度。[5]其中，必修與選擇性必修內(nèi)容在“思維與表達(dá)”維度要求不一。

必修內(nèi)容以了解、體會(huì)、感悟?yàn)橹?，包含熟悉的情境；而選擇性必修內(nèi)容多以理解、提煉、形成等水平為主，多涉及關(guān)聯(lián)的情境?？梢钥闯?，在知識(shí)內(nèi)容和認(rèn)知水平上選擇性必修內(nèi)容的要求更高。此外，新課標(biāo)給出了課程定位及選課說明：必修課程為學(xué)生發(fā)展提供共同基礎(chǔ)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試和高考的內(nèi)容要求；而選擇性必修課程是供學(xué)生選擇的課程，也是高考的內(nèi)容要求。

調(diào)查顯示，3 套試卷“預(yù)備知識(shí)+3 條主線”中的必修內(nèi)容以多點(diǎn)結(jié)構(gòu)的考查為主，且3 套試卷在必修內(nèi)容中的考查分值分別為57 分、65 分、74 分，除了卷Ⅰ，其他2 套卷的占比也近一半。因此，筆者認(rèn)為，可以充分利用高中學(xué)業(yè)水平考試考查共有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)必修內(nèi)容，在高考中可適當(dāng)增加選擇性必修內(nèi)容的比例，以達(dá)到提升考生思維水平、發(fā)揮高考選拔人才的功能，從而實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)中基礎(chǔ)性、選擇性、發(fā)展性并存的目標(biāo)。

2.創(chuàng)設(shè)多樣化的問題情境，適當(dāng)增加關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)思維層次試題，并注重考查學(xué)生的抽象拓展思維能力

新課標(biāo)建議數(shù)學(xué)高考命題囊括一定數(shù)量的應(yīng)用問題，并設(shè)計(jì)開放性和探究性問題，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，問題情境的設(shè)計(jì)應(yīng)自然、合理。[1]

研究顯示，3 套卷主要考查了多點(diǎn)和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)思維層次試題，卷Ⅰ、卷Ⅲ以多點(diǎn)結(jié)構(gòu)思維層次試題為主，主要采用選擇題、填空題，試題含有對(duì)不同問題情境的設(shè)問，能將數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與生活密切聯(lián)系，并將數(shù)學(xué)文化融入其中，在強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性的同時(shí)靈活地設(shè)計(jì)試題，但創(chuàng)新意識(shí)的考查還略顯不足，需要逐步增進(jìn)。

根據(jù)SOLO 理論可知：多點(diǎn)結(jié)構(gòu)在單點(diǎn)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，考查考生對(duì)多個(gè)孤立知識(shí)點(diǎn)的概括與總結(jié)，這類試題的主要作用是考查主干知識(shí)，增加知識(shí)點(diǎn)覆蓋面；關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)則主要考查考生對(duì)前面所得結(jié)果占后續(xù)各階段推理之間的聯(lián)系，該層次試題主要作用是考查學(xué)生利用特定的情境素材解決數(shù)學(xué)問題的能力，突顯了新課改的理念，體現(xiàn)了高考試卷的能力立意，是用來選拔基礎(chǔ)扎實(shí)、綜合能力強(qiáng)的拔尖人才的試題；抽象拓展結(jié)構(gòu)思維層次試題會(huì)明顯提高試卷的難度，試題數(shù)量太多時(shí)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生答題時(shí)間不夠，且容易降低學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。[6]

因此，建議高考試題在滿足一定區(qū)分度的基礎(chǔ)上，通過創(chuàng)設(shè)多樣的問題情境，適當(dāng)增加關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)思維層次試題、考查學(xué)生的抽象拓展結(jié)構(gòu)思維能力、加大對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查。[7]比如，“函數(shù)”中的向量、導(dǎo)數(shù)及數(shù)列，“幾何與代數(shù)”中的圓錐曲線，“概率與統(tǒng)計(jì)”中的概率、統(tǒng)計(jì)等都與生活密切聯(lián)系。設(shè)置開放性試題，可以更好地考查學(xué)生的抽象拓展思維水平及創(chuàng)新意識(shí)。

3.借助SOLO分類法設(shè)計(jì)導(dǎo)圖式教學(xué)

研究結(jié)果顯示，3 套數(shù)學(xué)卷對(duì)考生的要求主要集中在多點(diǎn)和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)之間，因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)對(duì)學(xué)生的思維層次進(jìn)行預(yù)判與提升，以更好地幫助學(xué)生發(fā)展。此外，《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020 年）》提出“堅(jiān)持能力為重”，而數(shù)學(xué)學(xué)科能力存活于數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)中加以揭示、形成和發(fā)展。[8]數(shù)學(xué)教學(xué)過程作為數(shù)學(xué)活動(dòng)開展的主要途徑之一，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科能力的形成極為重要。新課標(biāo)基于數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯體系，將教學(xué)內(nèi)容分為4大主線，且囊括若干知識(shí)點(diǎn)。這一體系與學(xué)科思維導(dǎo)圖不謀而合，設(shè)計(jì)思維導(dǎo)圖能夠系統(tǒng)化地展示數(shù)學(xué)4大主線關(guān)聯(lián)的所有知識(shí)點(diǎn)。據(jù)此，教師可以嘗試在教學(xué)中使用導(dǎo)圖式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，在不同的步驟對(duì)不同的學(xué)生產(chǎn)生有效的引導(dǎo)。

導(dǎo)圖式教學(xué)使用圖象、線條、箭頭等表達(dá)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使教學(xué)內(nèi)容有機(jī)整體地呈現(xiàn)[9]，能夠幫助學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)學(xué)科思維的本質(zhì)及規(guī)律性，實(shí)現(xiàn)學(xué)科思維的內(nèi)化，促進(jìn)其心智結(jié)構(gòu)的發(fā)展。以“預(yù)備知識(shí)”中“集合”第1 節(jié)“集合的概念與表示”為例[10]，導(dǎo)圖式教學(xué)設(shè)計(jì)的具體內(nèi)容包括數(shù)學(xué)學(xué)科指標(biāo)能力體系中給出的學(xué)習(xí)理解、實(shí)踐應(yīng)用與創(chuàng)造遷移3 步驟（見圖4）。其中，學(xué)習(xí)理解的二級(jí)指標(biāo)中包含觀察記憶、概括理解與說明論證，這3點(diǎn)與SOLO 理論中的單點(diǎn)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)相融合，該步驟是數(shù)學(xué)知識(shí)的輸入、內(nèi)化過程；實(shí)踐應(yīng)用則是對(duì)上一步驟的檢驗(yàn)，是知識(shí)的輸出過程，二級(jí)指標(biāo)包括分析計(jì)算、推測(cè)解釋以及簡(jiǎn)單問題解決，這3 點(diǎn)則與SOLO 理論中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)相契合；創(chuàng)造遷移和SOLO 中的抽象拓展結(jié)構(gòu)相一致，是在前兩個(gè)基礎(chǔ)上形成的高階的認(rèn)知過程，是高級(jí)的知識(shí)輸出過程，包含綜合問題解決、猜想探究、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新。[8]導(dǎo)圖式教學(xué)設(shè)計(jì)的3 個(gè)步驟層層遞進(jìn)，在知識(shí)、技能、思想及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)方面都對(duì)學(xué)生有積極的影響，能夠幫助學(xué)生在掌握基本知識(shí)和基本技能的同時(shí)進(jìn)行創(chuàng)造遷移，真正做到學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考、學(xué)以致用。

圖4 “集合的概念與表示”導(dǎo)圖式教學(xué)設(shè)計(jì)