基本不等式的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，自然也成為高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)?？v觀近幾年的高考試卷，基本不等式都是必考考點(diǎn)，并且涉及基本不等式的內(nèi)容都側(cè)重于對(duì)考生能力的考查，這就要求考生不僅能夠直接運(yùn)用基本不等式求解，還需要掌握運(yùn)用消元、換元以及配湊等方法將式子進(jìn)行適當(dāng)變形，構(gòu)造出利用基本不等式的條件，然后運(yùn)用基本不等式來求解。

運(yùn)用基本不等式求函數(shù)最值的三個(gè)必要條件是“一正、二定、三相等”。在具體的題目中，“正數(shù)”條件大多可以從題干中找到，“相等”條件同樣比較容易確定，而往往是“定值”條件難以解決。它需要解題者有熟練的解題能力和變形技巧。通常，當(dāng)積為定值時(shí)，和有最小值；當(dāng)和為定值時(shí)，積有最大值。因此，在求和的最小值時(shí)，就要想到把積湊成定值，在求積的最大值時(shí)，要想到把和湊成定值。筆者根據(jù)自身的數(shù)學(xué)解題和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從一元函數(shù)求最值、二元函數(shù)求最值和多元函數(shù)求最值的角度，將基本不等式在函數(shù)最值中的應(yīng)用舉例如下。

一、一元函數(shù)求最值

一元函數(shù)的最值問題作為高中數(shù)學(xué)最值問題的基礎(chǔ)，一般出現(xiàn)在填空和選擇題中。求解一元函數(shù)的最值問題，通常需要運(yùn)用簡(jiǎn)單的消元、換元等方法，構(gòu)造基本不等式的條件，從而求解函數(shù)的最值。

例1.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足xy+2x+y=4，則x+y的最小值為_________.

分析：本道題不能直接使用基本不等式進(jìn)行求解，而只能通過系列的轉(zhuǎn)化方法，如消元、換元等，將其轉(zhuǎn)變?yōu)橹挥幸粋€(gè)自變量x的一元函數(shù)最值問題，然后通過配湊的方法，將目標(biāo)式子構(gòu)造成能夠利用基本不等式求最值的條件，最后運(yùn)用基本不等式求最值的方法來求解。

解：由正實(shí)數(shù)x,y滿足xy+2x+y=4，有，且0

令x+1=t∈(1,3)，則x+y=t-1+.

當(dāng)且僅當(dāng)t=，即x=-1 時(shí)取等號(hào).

∴x+y的最小值為-3.

二、二元函數(shù)求最值

二元函數(shù)指的是含有兩個(gè)自變量的函數(shù)，類似于z=f(x,y)。二元函數(shù)的最值問題是高中數(shù)學(xué)經(jīng)常考的熱門問題。根據(jù)兩個(gè)自變量之間的相關(guān)關(guān)系可以將二元函數(shù)分成兩類，第一類是兩個(gè)自變量之間沒有聯(lián)系的二元函數(shù)，第二類是兩個(gè)自變量之間存在方程或者不等式的關(guān)系。求解二元函數(shù)較難的最值問題時(shí)，核心思想在于通過換元和配湊等方法，將二元函數(shù)轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)求解。

例2.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+3y+=10，則xy的最大值是_________.

分析：此題關(guān)鍵是通過換元以及適當(dāng)變形，構(gòu)造出滿足基本不等式的條件，然后運(yùn)用基本不等式求解。

解：設(shè)xy=t>0，則y=.

∴x+=10,

整理得，3t2-11t+8≤0.

∴1≤t≤,當(dāng)且僅當(dāng), 即x=1,y=1 或x=2,y=時(shí)取等號(hào).

∴1≤xy≤，即xy的最大值是.

例3.設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若6x2+3y2+6xy=1,則2x+y的最大值為_________.

分析：本題可通過配方等變形方式，構(gòu)造出利用基本不等式的變形條件a2+b2≥來解決。

解：由6x2+3y2+6xy=1,得x2+(x+y)2=,

三、多元函數(shù)求最值

多元函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的重要概念之一。由于其涉及多元的函數(shù)成分，因此其具有難度大、靈活性強(qiáng)以及方法眾多等特點(diǎn)，成為基本不等式中求函數(shù)最值的重難點(diǎn)。與此同時(shí)，多元函數(shù)求最值的問題中具有多種不同的數(shù)學(xué)邏輯和解題方法，有助于鍛煉學(xué)生靈活解題的能力。因此，如何順利地解答多元函數(shù)求最值的問題，成為高中數(shù)學(xué)教師以及學(xué)生所應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注和解決的問題，也應(yīng)該成為即將參加高考學(xué)生的必備技能。

例4.已知x,y,z均為實(shí)數(shù)，且滿足x2+2y2+z2=1，則的最大值為_________.

分析：本題需要將已知條件拆湊成利用基本不等式的條件進(jìn)而求解，變形要求較高，不容易想到。

解：由題意可知，1=x2+2y2+z2=x2+.

高考復(fù)習(xí)的時(shí)候需要訓(xùn)練考生掌握和靈活運(yùn)用基本方法，這樣才可以順利地將復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的函數(shù)問題。同時(shí)，教師還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生從陌生的數(shù)學(xué)問題中分離出熟悉的函數(shù)最值問題，能夠做到舉一反三、觸類旁通，這樣才可以幫助學(xué)生快速找到解決的辦法，使學(xué)生對(duì)該類數(shù)學(xué)問題有更深入的認(rèn)識(shí)。