謝廣喜

一、基本考點概述

根據(jù)多年來高考數(shù)學試題研究的基本經(jīng)驗，總結(jié)了近年來全國乙卷試題三角函數(shù)（平面向量）的主要命題要點，為2020屆考生復(fù)習備考有關(guān)內(nèi)容提供一個原則性、方向性的指導(dǎo)，必須強調(diào)指出，本文雖名為“預(yù)測”，但我們無意于猜題、押題，若無意中恰好與2020年高考數(shù)學試卷的某些高考試題存在解題要害的“碰撞”或“雷同”，則純屬巧合，切勿驚訝甚至以為有漏題之嫌. 我們下面首先將2015年至2019年的近五年來全國乙卷（總分150分）的三角函數(shù)（平面向量）的理科主要命題要點具體分析如下：

結(jié)合上表，我們?nèi)菀卓闯?，總體來說，三角函數(shù)（平面向量）試題在高考數(shù)學乙卷試題中所占比例不算高，難度也不大，基本上是以1道選擇題、1道填空題和1道解答題為主（受解答題與數(shù)列輪換出現(xiàn)的影響，有時沒有三角解答題，則會有選擇題及填空共4道題），占分約20-27分，考點分布主要涉及：平面向量簡單運算、平面基向量分解、三角函數(shù)圖像與單調(diào)性、三角函數(shù)圖像變換、三角函數(shù)最值、三角恒等變換、正余弦定理與解三角形等方面.

我們下面的預(yù)測試題也主要在（但不限于）這些方面（限于篇幅，有關(guān)平面向量的簡單運算，及三角函數(shù)的簡單函數(shù)變換問題等，本文從略），但狠抓基本，突出創(chuàng)新.

二、 三角函數(shù)（平面向量）的選擇題或填空題主要命題要點預(yù)測

預(yù)測考點1：利用平面基向量思想求解的問題

例1. 如圖1，在？駐ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，EC與AD相交于O點. 則 ??= （???? ）.

A. -? +

B. ??+

C. -? -

D. ??-

答案：（A）.

解析：選項已經(jīng)明確指出，以{ ，? ?}為一組基，容易由已知條件得 ?=? ?= （ + ），又 = + =-? + ，過D點作EC平行線交AB于點F，由D是BC的中點易有DF=2EO，且DF= EC，所以EO= EC，也即 =-? +? .

預(yù)測考點2：齊次三角函數(shù)背景下化簡求值等問題

例2. 已知tan ？琢=m，求 的值.

解析：

原式= = = .

評注：這道題表面上并不齊次，但屬于還是可以化成齊次問題的類型，同時值得指出，如果不可能化齊次，就必須分類討論，將sin ？琢、cos ？琢強行解出，考生必須要注意這一通性通法的學習.

預(yù)測考點3：聯(lián)系三角恒等式求最值

例3. 設(shè) ∈（0， ?），則 的最大值為______.

解析：已知 ∈（0， ?），令sin ??+ cos ?= t，則t∈（1， ?]，且有sin ??cos ?= ，于是 = = =1- ，顯然，當t= 時，該表達式取得最大值為1- =3-2 .

評注：這類題主要是考生能聯(lián)想sin ??+ cos ?到sin ?·cos ?與之間的內(nèi)在關(guān)系——三角恒等式，從而實現(xiàn)整體變量的換元，同時值得指出，由于正余弦三角函數(shù)的有界性，換元變量一般有取值范圍，必須注意換元前后變量的等價性.

預(yù)測考點4：三角函數(shù)背景下的最值

例4. 在？駐ABC中，A， B， C所對的邊分別為a， b， c，且 + =3，則sinA的最大值為_________.

解析：這道題解法很多，但最巧妙的是下面的辦法：顯然A， B， C都不是直角，由于一個三角形中鈍角至多一個，我們指出，角A不是鈍角（否則，條件等式左邊小于0，右邊=3>0，矛盾），所以角A是銳角. 由 + =3，得（ +1）+（ +1）=5，也即 + =5，利用A+B+C=？仔，可得：5cosA= + ≥2，所以cosA≥ ，于是，銳角A的正弦滿足：

0

預(yù)測考點5：三角恒等式背景下的選擇題

例5. 已知 ∈（0， ？仔），且sin +cos =a，其中a為常數(shù)且a∈（0， 1），則下面tan 的值，正確的是（???? ）

A. - ????????B. - ????????C. - ????????D.

答案：A、C、D.

解析：顯然，由于a∈（0， 1），則1>sin +cos =a>0，若 ∈（0， ?]，易由單位圓上的三角函數(shù)的意義，立得sin +cos ≥1，和已知矛盾，從而只有 ∈（ ， ？仔），則sin >-cos >0，于是必須有tan <-1，其中只有tan =- 滿足要求，所以本題正確答案為B.

評注：其實這道題是我們利用一道非常常見的基本習題的改編（有關(guān)試題是一個具體值），但由于我們將類似常見習題的具體值改成了字母a∈（0， 1），使得原來指向性的求解變成了否定性的探求，難度提高了，然而我們把握住一些常見的基本結(jié)果，比如當 在第一象限時有1

預(yù)測考點6：利用基本不等式求三角函數(shù)背景的最值

例6. 在？駐ABC中，若sinA=2cosBcosC，則sin 2 B+sin 2 C的最大值是________.

解析：A為三角形ABC的一內(nèi)角，故sinA>0，也即cosBcosC>0，而在同一個三角形的三個內(nèi)角中，至多有一個鈍角，于是必有cosB>0，cosC>0，即B，C都是銳角，由題意可得sinBcosC+cosBsinC=2cosBcosC，進而有tanB+tanC=2，由于B，C的對稱性，不妨設(shè)B≥C，即 >B≥C>0，于是2tanB≥tanB+tanC=2，即tanB≥1，可令tanB=1+t，則tanC=1-t，其中0≤t<1，此時有：

sin 2 B+sin 2 C= + = + ?=2-（ + ）=2-（ + ），

其中0≤t<1，構(gòu)造函數(shù)g（t）= + ，其中0≤ t<1，試求g（t）的最小值.

而g（t） = ?+ =2 = ，即g（t）=2 ，由于

（t2+2）+ -4≥2 -4=4 -4>0，故g（t）最小值為2 = ，也即sin 2 B+sin 2 C的最大值為2- = .

（注：不等式取等號條件能取得，驗證過程略）.

三、三角函數(shù)（平面向量）的解答題主要命題要點預(yù)測

主要是三角恒等變換、正余弦定理與解三角形的綜合.

預(yù)測考點7：型如f（x） = A·sin 2 xcos 2 x+B·sin xcos x+C的三角函數(shù)背景下的最值（值域）、單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）等問題

例7. 求函數(shù)f（x）=2cos2 x+sin 2 x-4cos x的最大值與最小值的和

解析：f（x）=3（cos x- ）2- ，當cos x= 時，f（x）min=- ，當cos x=-1時，f（x）max=6，故二者之和為 .

評注：處置的關(guān)鍵是換元，令t=cos x，或t=sin x，（注意：t取值范圍有限制，即使自變量x無限制，也必須有 |t|≤1）問題等價轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的定義在局部上的二次函數(shù)問題.

預(yù)測考點8：y=Asin 2 x+Bsin xcos x+Ccos 2 x型三角函數(shù)背景下的最值（值域）、單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）等問題

例8. 已知函數(shù)f（x）== ，（1）求f（x）的定義域及最小正周期;（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

解析：（Ⅰ）f（x） 的定義域為{x∈R | cos x≠0}，即{x∈R |? x≠k？仔+ ， k∈Z};此時有f（x）=2（sin x-cos x）sinx=1-cos 2x-sin 2x，即f（x）=- sin（2x+ ）+1，f（x） 的最小正周期為T= =？仔.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間即為g（x）=

sin（2x+ ），其中{ x∈R |? x ≠k？仔+ ， k∈Z}的遞減區(qū)間，也即2k？仔+ ？仔≤2x+ ≤2k？仔+ ？仔（k∈Z），（最后考慮定義域限制問題），則k？仔+ ≤x≤k？仔+ ？仔，（k∈Z），考慮到x≠k？仔+ ， k∈Z，所以，所求的單調(diào)遞增區(qū)間為[k？仔+ ， k？仔+ ） （k∈Z）和（k？仔+ ， k？仔+ ] （k∈Z）.

評注：這道題本質(zhì)上是y=Asin 2 x+Bsin xcos x+Ccos 2 x型三角函數(shù)背景下的最值（值域）、單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）等問題.但定義域又有所不同，在原有基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新.此類問題的一般處置方式是降冪倍角.

預(yù)測考點9：正余弦定理與其他知識簡單綜合

例9.（1）在？駐ABC中，A， B， C所對的邊分別為a， b， c，且a2+b2- ab=c2，求C;（2）已知正實數(shù)a， c滿足a2+c2+ac=3，試求3a+2c的最大值.

解析：（1）本題的考查方式是在考生比較熟悉的情境下，屬于數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平1的要求. 考生可以直接與余弦定理表達式對照，即得∠C= .

（2）本題的考查方式是在關(guān)聯(lián)情境下，屬于數(shù)學學科核心素養(yǎng)直觀想象的水平2的要求. 要求考生能夠受到問題（1）的形式的啟發(fā)，將代數(shù)條件表達式跨學科聯(lián)想到三角形的余弦定理（如圖2），可視為B=120°，b= ，則

= = ，即 =2= ，于是a=2sinA，c=2sin（60°-A）.

立得3a+2c=2[3sinA+2sin（60°-A）]=2（2sinA+ cosA）≤

2 =2 .

下面驗證取等號條件，當上面不等式取等號時，tanA= < ，而A∈（0°， 60°），所以不等式的等號可取得，綜上，有3a+2c的最大值為2 . 當然，本題還有其他思路的解法，限于篇幅，此處從略.

評注：本題的最精彩部分在第（2）小問，看考生能否通過對問題（1）表現(xiàn)情境、處置思路的聯(lián)想，在關(guān)聯(lián)情境下，實現(xiàn)跨越式思維，創(chuàng)造性地解決問題（2）.

預(yù)測考點10：三角函數(shù)與立體幾何簡單綜合

例10. 已知甲烷分子式為CH4，其中四個氫原子處在一個正四面體的頂點上，而碳原子恰好在這個正四面體的中心上，碳原子與每個氫原子之間均有化學鍵相聯(lián)，若我們把每個原子均看成一個質(zhì)點，則任意兩個碳、氫化學鍵之間的夾角的正弦值為________.

解析：如圖3，正四面體ABCD（各棱長均相等），O點是正四面體的中心，于是OA=OB=OC=OD，設(shè)O點在底面BCD的投影點為O′，并記OO′=r，容易由O點是對稱中心知，O點到每個面的距離均為r，且A， O， O′三點共線，則AO=3r，也即OA=OB=OC=OD=3r，記該正四面體的棱長為x，則EA=ED= x，且EO′= ED= x，？駐AEO′是Rt？駐，∠AO′E=90°，從而，EA2=EO′2+AO′2，也即：

（ x）2=（ x）2+（4r）2，解得x=2 r. 設(shè)∠BOC=？琢，其中？琢∈（0， ？仔），對？駐BOC用余弦定理得cos？琢= = =- ， 又？琢∈（0， ？仔）， 于是sin？琢= = = ，即所求的正弦值為 .

責任編輯 徐國堅