楊勇

摘? ? 要：“核心”問題是一節(jié)課的中心問題，直指教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).一堂有價值的探究課通常用問題串來引領(lǐng).問題串則是在“核心”問題的統(tǒng)領(lǐng)下，由一系列“小問題”構(gòu)成，這需要我們站在學(xué)科系統(tǒng)知識和核心素養(yǎng)的高度，去聚焦“核心”問題，驅(qū)動學(xué)生積極進(jìn)行自主探究.

關(guān)鍵詞：問題情境;核心問題;思想方法;自主探究

江蘇省鎮(zhèn)江市教育科學(xué)研究中心2019年7月舉行了高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課評比，比賽課題是“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”第一課時，經(jīng)過區(qū)、縣選拔后，來自全市不同學(xué)校的7名選手進(jìn)行展示.筆者結(jié)合7節(jié)課中的一些共同現(xiàn)象，對高中數(shù)學(xué)課堂如何突破“核心”問題談一些看法.

一、課堂共同現(xiàn)象總結(jié)與剖析

高中數(shù)列研究的主要對象是等差、等比兩個基本數(shù)列.本次比賽“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”是選自蘇教版高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書必修5中的2.2.3的內(nèi)容.該內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義及相關(guān)性質(zhì)之后的后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容，“倒序相加”法是本節(jié)課的重要方法，如何聚焦該方法的產(chǎn)生、發(fā)展和反思過程，是本節(jié)課的核心內(nèi)容，下面就7位選手課堂中出現(xiàn)的共同現(xiàn)象進(jìn)行分析.

（一）“小高斯”的隱憂

7位選手新課引入環(huán)節(jié)圖文并茂，都創(chuàng)設(shè)了精彩的問題情境，有從《張丘建算經(jīng)》中錢幣數(shù)算起，有從印度泰姬陵陵寢中寶石數(shù)算起，還有從等差數(shù)列的定義復(fù)習(xí)開始等等，引入過后都不約而同地歸結(jié)到高斯小時候計(jì)算[1+2+3+4+…+100=]？的問題，這個故事很多學(xué)生曾經(jīng)聽說過，遺憾的是選手對待這個故事都采取“選而不用”的方式，只介紹高斯的“配對求和”法后匆忙離去，給后繼內(nèi)容的討論留下隱憂.其實(shí)“小高斯”之所以能想到這樣的解法，除自身的聰明以外，和他父親長期的熏陶有很大關(guān)系，這里教師不妨做短暫的停留，從數(shù)學(xué)史的角度介紹一下這位“數(shù)學(xué)王子”的生平，然后提出三個問題：（1）這是一個什么類型的問題？（2） “小高斯”是用什么方法快速得到答案的？（3）今天的你再來看“小高斯”的解法有什么新的體會和想法？

此法對于中間項(xiàng)的表示大多數(shù)學(xué)生感到很困難，此處可降低要求，適可而止，不必用字母計(jì)算困擾學(xué)生，因?yàn)楫?dāng)學(xué)生都把注意力集中在如何求“奇”數(shù)項(xiàng)的和上，無疑沖淡了“倒序相加”法的探究.

（三）“倒敘和”的突兀

“倒序相加”法是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容和重要方法，該方法何時“隆重登場”？怎樣“精彩亮相”？筆者認(rèn)為，應(yīng)該是在學(xué)生對“配對求和”法經(jīng)過反復(fù)思考和深入探究，找到前后項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系后，抑或在研究[n]為奇數(shù)對[Sn=1+2+3+4+…+n]求和產(chǎn)生困難時，自然而然地流淌出“把[1+2+3+4+…+n]倒過來再相加”的想法.

其中有兩位選手在沒有充分研究“配對求和”法和討論奇偶項(xiàng)的前提下，直接提出問題：“大家受到高斯解法的啟發(fā)，能不能采用倒過來相加的方法？”讓學(xué)生感到很突兀，認(rèn)為“倒敘和”是“天上掉下來的林妹妹”，是教師硬塞的.怎么想到要倒敘？倒敘后為什么要求和？“倒敘相加”和高斯的“配對求和”有什么不同？等等，這些問題不解決，何來思維方式的完善，數(shù)學(xué)思想的感悟，核心素養(yǎng)的發(fā)展？

二、關(guān)于本節(jié)課“核心”問題的聚焦與分析

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”一堂有價值的探究課通常用問題串來引領(lǐng).問題串則是在“核心”問題的統(tǒng)領(lǐng)下由一系列“小問題”構(gòu)成，這不僅需要我們設(shè)計(jì)好“小問題”，更要能站在系統(tǒng)理解數(shù)學(xué)知識和把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的高度聚焦“核心”問題.“核心”問題是一節(jié)課的中心問題，是教師充分關(guān)注學(xué)科問題和學(xué)生的基礎(chǔ)，注重?cái)?shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘數(shù)學(xué)的思想和方法，設(shè)計(jì)提出的有一定開放性和挑戰(zhàn)性、能夠引領(lǐng)學(xué)生積極探究和深度思考的問題.

本節(jié)課教師如何突破“為什么要倒敘相加”這一“核心”問題，如何設(shè)計(jì)相關(guān)的問題串，如何讓學(xué)生在自然探究、自主發(fā)現(xiàn)、自由反思中實(shí)現(xiàn)這一“核心”問題的解決就顯得尤為重要.下面從三個方面進(jìn)行分析.

（一）以創(chuàng)設(shè)問題情境為切入點(diǎn)，讓探究更自然

問題離不開情境.適合的問題情境，在課的引入階段就能引起強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生高漲的熱情和探究的欲望.一般來講，“情”與“境”應(yīng)該是問題的“一體兩翼”，設(shè)計(jì)情境時，要“情”“境”并重，以“情”為經(jīng)，將學(xué)生學(xué)習(xí)的態(tài)度、興趣、情感等方面考慮在內(nèi);以“境”為緯，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)具體的問題，為教學(xué)的順利進(jìn)行做好鋪墊.

本節(jié)課中為了引入等差的前n項(xiàng)和，選手們竭盡所能，創(chuàng)設(shè)了各種不同的情境（前文已有介紹）.有的選手PPT展示的情境雖熱鬧繁華，但與數(shù)學(xué)關(guān)系不大，聽后給人的感覺是繞了很大的彎子;有的則是為了引入而引入.其實(shí)，對于學(xué)習(xí)了等差的定義和性質(zhì)之后，繼續(xù)學(xué)習(xí)前n項(xiàng)和的內(nèi)容，學(xué)生是不難想到的.對于目前高中數(shù)學(xué)課堂中出現(xiàn)的去“數(shù)學(xué)化”現(xiàn)象，單墫教授曾不無憂慮地講：數(shù)學(xué)課要講數(shù)學(xué).本節(jié)課教師是否可以這樣引入：“在學(xué)習(xí)了等差的定義和性質(zhì)之后今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)等差的前n項(xiàng)和.”然后通過問題串引發(fā)學(xué)生思考：

（1）對于一般的問題研究，我們通常從特殊情形開始，你能否舉幾個簡單的等差數(shù)列求和例子？

（2）上述等差數(shù)列求和，你用的是什么方法？

（3）數(shù)學(xué)史上有這樣的例子嗎？

用這樣的問題串切入既單刀直入，簡潔自然，又可以激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，同時滲透對數(shù)學(xué)問題研究的一般方法，小高斯的故事也浮出水面.

（二）以突破“核心”問題為立足點(diǎn)，讓發(fā)現(xiàn)更自主

對于本課中“為什么要倒敘相加”這一“核心”問題，課本中是用“倒置同樣一堆鋼管”引出的，教師上課時如果“照本宣科”，表面上看，學(xué)生是記住了公式，再加上大量的習(xí)題訓(xùn)練，短時間內(nèi)做起題來正確率會很高，但這樣缺少從無到有的思路尋找，缺少從“想給學(xué)生看”到“學(xué)生自己想”的情境創(chuàng)設(shè)和自主發(fā)現(xiàn)的過程，遺忘起來也會很快，更難進(jìn)行遷移，這其中數(shù)學(xué)思想方法、核心素養(yǎng)等潛在價值更是無從談起.

選手們沒有“照本宣科”，都采用了生動的“小高斯”引例，問題的關(guān)鍵是怎樣由“小高斯”“配對求和”升級到“倒敘相加”？比賽時，有選手說“從小高斯的求法得到啟發(fā)，然后進(jìn)行倒敘相加？”一般的學(xué)生在這個“啟發(fā)”的地方有很大的認(rèn)知難度，感覺有點(diǎn)“啟而不發(fā)”，其實(shí)這二者之間缺乏必然的聯(lián)系，這種“啟發(fā)”似乎是把倒序相加法拋給學(xué)生而找的一種借口，筆者認(rèn)為由高斯算法受到啟發(fā)而獲得“倒序相加”法這一思維過程的自然性與邏輯性應(yīng)該受到質(zhì)疑.由“配對求和”升級到“倒敘相加”需要巨大的思維跨越和思維靈感才能完成，這樣的“啟發(fā)”無疑脫離了學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，事實(shí)上成了“告訴學(xué)生一個方法”.如何讓學(xué)生通過研究“配對求和”法后獲得一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，這才是真正對學(xué)生思維品質(zhì)和思維能力提升有價值的地方.

涂榮豹教授在2017年江蘇省骨干教師培訓(xùn)活動中談到本節(jié)課這一“核心”問題時也說：一定要讓學(xué)生通過自己想，然后自己悟出“倒敘相加”法.在他的啟發(fā)與指導(dǎo)下，筆者在課堂上做出這樣的嘗試，得到他的肯定.實(shí)錄片段如下.

該嘗試，在“核心”問題的統(tǒng)領(lǐng)下，設(shè)計(jì)出一系列問題串，讓學(xué)生在疑慮中探究，在探究中經(jīng)歷深刻的思考，通過一系列問題串的解決，“核心”問題被自然突破，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)也就水到渠成！

（三）以揭示思想方法為落腳點(diǎn)，讓反思更自由

數(shù)學(xué)思想方法是從具體數(shù)學(xué)認(rèn)識中提煉和概括出來的，其在后繼的學(xué)習(xí)活動中反復(fù)得到驗(yàn)證，帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征.它能揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的普遍規(guī)律，能直接支配數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，對問題的探究起著導(dǎo)向作用，是數(shù)學(xué)的靈魂.“核心”問題引領(lǐng)式教學(xué)必須高度重視對一些重要數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，從而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、定理、規(guī)律的理解，提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，把揭示數(shù)學(xué)思想和方法作為課堂最終的落腳點(diǎn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法的真正內(nèi)化，讓課堂加速從“知識傳授”向“素養(yǎng)提升”的轉(zhuǎn)變.

數(shù)學(xué)的重要方法往往是“看”出來的.本節(jié)課在“核心”問題突破環(huán)節(jié)，要留給學(xué)生足夠的交流、探究、反思的時間，通過對公式[Sn=n（a1+an）2]中“數(shù)”的清晰表達(dá)和“形”的直觀呈現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷自由的思考，親自“看”出倒序相加法的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過程，隱藏其中的特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想就得到揭示，學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)也得到發(fā)展和提升.

綜上，我們要深入理解“核心”問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和價值，教師圍繞“核心”問題所設(shè)計(jì)的問題串應(yīng)該具有挑戰(zhàn)性（即形成認(rèn)知沖突）、啟發(fā)性（即引發(fā)數(shù)學(xué)思考）和可接受性（即處于學(xué)生認(rèn)知最近發(fā)展區(qū)），讓學(xué)生在對問題的自主探究中實(shí)現(xiàn)對知識的自我建構(gòu)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考和表達(dá)，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).