劉龍根

【摘 要】數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想文化，在小學(xué)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中一直被沿用。數(shù)學(xué)建模能夠解決很多抽象的數(shù)學(xué)問題，同時也是數(shù)學(xué)解決問題方法多元化的一種體現(xiàn)。本文以雞兔同籠問題為例，探討了數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略，通過數(shù)學(xué)建模的有效運(yùn)用提升小學(xué)生們學(xué)習(xí)積極性和開拓他們的知識視野。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;雞兔同籠

引言

數(shù)學(xué)是一門博大精深的科學(xué)知識，其中潛在蘊(yùn)含著自然界的發(fā)展規(guī)律。在我國的數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，各種數(shù)學(xué)思想文化不斷涌現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模文化作為一種重要的數(shù)形塑像，自古以來一直被沿用，直到今天，也是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要學(xué)習(xí)方法?！皵?shù)學(xué)建模百般好，隔離分家萬事非”，深刻地指明了“數(shù)學(xué)建?！钡膬r值，揭示了數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)。

一、背景分析

數(shù)學(xué)是一門博大精深的科學(xué)知識，其中潛在蘊(yùn)含著自然界的發(fā)展規(guī)律。在我國的數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，各種數(shù)學(xué)思想不斷涌現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，自古以來一直被沿用。直到今天，也是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)建模思想是指通過探究實際問題背后的數(shù)學(xué)知識，建立理論化的模型來解決數(shù)學(xué)問題的一種方法。熟練掌握數(shù)學(xué)建模思想是小學(xué)階段數(shù)學(xué)的重要要求和技能，也是小學(xué)生們訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維和提高數(shù)學(xué)運(yùn)用能力的重要保障。借助于數(shù)學(xué)建模思想，小學(xué)生們可以把看起來很復(fù)雜的形狀問題轉(zhuǎn)換為數(shù)字問題;難以理解的數(shù)字問題則可以轉(zhuǎn)換為形象直觀的圖形問題。作為小學(xué)數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題，“雞兔同籠”問題一直是數(shù)學(xué)建模中的經(jīng)典例題，具有非常深遠(yuǎn)的影響?？傊?，在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想解決數(shù)學(xué)問題，往往能夠取得事半功倍的效果。

二、數(shù)學(xué)建模的運(yùn)用策略

小學(xué)建模方法的應(yīng)用有三個層次，第一是鼓勵小學(xué)生們發(fā)現(xiàn)實際問題背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，努力建立數(shù)學(xué)模型。其次是學(xué)會正確使用數(shù)學(xué)模型來提高解題效率，最后是通過數(shù)學(xué)模型拓寬知識視野，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維。

（一）發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立模型

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是掌握一定的數(shù)學(xué)知識，更重要的是建立數(shù)學(xué)思維空間和訓(xùn)練數(shù)學(xué)邏輯思維，體會到數(shù)學(xué)的樂趣和奇妙。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，在遇到與數(shù)量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，如果較為抽象，難以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可以通過數(shù)字之間的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出能夠反映數(shù)學(xué)核心問題的模型。復(fù)雜的數(shù)字計算問題便轉(zhuǎn)換成了形象直觀的模型問題了，原本抽象而復(fù)雜的問題也就迎刃而解了。這不失為一種極為有效的學(xué)習(xí)方法，不僅能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，同時也能夠增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例如：在小學(xué)數(shù)學(xué)題“雞兔同籠問題”中，一開始學(xué)生們對雞和兔的數(shù)量概念計算不清，難以找到解決問題的根本方法，部分學(xué)生還在采用不停地試數(shù)量和湊腳數(shù)的方法。后來學(xué)生們發(fā)現(xiàn)腳的數(shù)量多，頭的數(shù)量少的時候，尤其是腳的數(shù)量大大超過頭的數(shù)量的二倍時，一般計算出來的結(jié)果都是兔子相對較多。而腳的數(shù)量相對于頭來說比較少時，只有頭的數(shù)量二倍多一點的時候，結(jié)果都是雞的數(shù)量多。學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律后，我引導(dǎo)學(xué)生們說：“我們可以建立解答此類問題的模型，以后類似的問題都能夠快速得到正確答案?！睂W(xué)生們建立的模型就是先假設(shè)全部是雞，根據(jù)已知的頭數(shù)來計算假設(shè)的腳數(shù)，如果腳數(shù)小于已知的實際腳數(shù)，則將實際腳數(shù)和假設(shè)腳數(shù)的差除以2，即可得到兔子的數(shù)量。因為中年級小學(xué)生們還不會使用方程來解答此類問題，建立這個模型能夠很快解決此類問題。當(dāng)然，在記錄模型的時候，學(xué)生們要深刻理解為什么是腳數(shù)之差除以2。這樣才能保證學(xué)生真正理解了模型的含義，并能夠應(yīng)用該模型解決實際問題。

類似地，“雞兔同籠”問題在實際問題中會經(jīng)常出現(xiàn)，比如有一道題“自行車和三輪車共11輛，總共有29個輪子，要求自行車和三輪車各有多少輛”。學(xué)生們在學(xué)習(xí)“雞兔同籠”的問題時，如果真正掌握了模型的建立方法，也能夠發(fā)現(xiàn)這道題和“雞兔同籠”類似，也可以用一樣的數(shù)學(xué)模型來解答。只是這道題中的物理量換了對象，將雞腳改為車輪，二輛車之間的輪子數(shù)目差距是1，而不是2?！半u兔同籠”問題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型思想，在解決其他數(shù)學(xué)問題時依然可行。

（二）提高解題效率

數(shù)學(xué)建模思想的完美應(yīng)用體現(xiàn)在數(shù)和形的相互詮釋，可以將數(shù)學(xué)問題更加生動形象的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，而且有了數(shù)學(xué)建模這一思想，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為形狀的構(gòu)造、劃分問題，學(xué)生們解決數(shù)學(xué)問題的思維也得到了開拓，他們對于數(shù)學(xué)知識的探索也更加的感興趣，是一件很奇妙的事情。小學(xué)生的數(shù)學(xué)模型概念和建模能力是先熟悉對象特征，然后用數(shù)學(xué)語言、圖形模式進(jìn)行抽象表達(dá)的過程。建立起數(shù)學(xué)模型的概念后，小學(xué)生們在面對類似的問題時，可以用模型的方法來解決問題。

在一道雞兔同籠的例題中，總共有22只腳，8個頭，要求出兔子和雞的數(shù)量。我引導(dǎo)學(xué)生們先假設(shè)8個動物都是兔子，然后根據(jù)假設(shè)計算出來的腳的總數(shù)是32，比實際的腳數(shù)量多10。再用10除以（每只兔子比雞多出的腳數(shù)）即可得到雞的數(shù)量為5，再反推得到兔子的數(shù)量為3。在通過假設(shè)的方法解決這道例題后，我引導(dǎo)學(xué)生深入思考并提煉出了解答類似問題的模型。“雞數(shù)=（雞兔總數(shù)×4-實際腳數(shù)）/（4-2）”;同理，“兔數(shù)=（實際腳數(shù)-雞兔總數(shù)×2）/（4-2）”;在建立這一模型后，我又出了一道例題，要求學(xué)生們根據(jù)這個模型來計算雞兔的數(shù)量。學(xué)生們采用這個模型和傳統(tǒng)的計算方法后，發(fā)現(xiàn)這個模型計算準(zhǔn)確，而且速度很快。學(xué)生們也知道了模型在解決數(shù)學(xué)問題中的優(yōu)勢了，實際上所有的數(shù)學(xué)問題都可以歸納總結(jié)出對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)數(shù)學(xué)階段訓(xùn)練學(xué)生們的模型思維，是幫助學(xué)生們搭建解決實際問題能力的橋梁。

（三）數(shù)學(xué)建模，思維開花

小學(xué)生們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，建立良好的數(shù)學(xué)建模思想是非常重要的，無論是高年級還是低年級的學(xué)生，數(shù)學(xué)建模思想都是他們解決數(shù)學(xué)問題的重要方法，尤其是在疑難數(shù)學(xué)問題的解決，數(shù)學(xué)建模思想能夠?qū)⑵溆卸?。對于小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到的各式各樣的問題，例如簡單的加減法、乘除法、分?jǐn)?shù)、比例等，又比如相對復(fù)雜的包容問題、植樹問題等等，數(shù)學(xué)建模思想可以以不同的形式對這些問題給出解釋，同時復(fù)雜的幾何問題往往也能夠通過簡單的數(shù)字來表示，對學(xué)生數(shù)學(xué)知識的探索提供了廣闊無垠的空間。

例如：“雞兔同籠”是廣泛存在小學(xué)各年級的一個數(shù)學(xué)問題，二種不同的動物的腳的數(shù)量不同，還沒有接觸方程解法的小學(xué)生很難直接用數(shù)字的方法來求解這一問題。若是能夠采用數(shù)學(xué)建模的方法，則這一數(shù)字問題則可以變得非常形象直觀。比如學(xué)生在知道總的動物頭的數(shù)量后，可以在本子上畫個圓表示，然后用斜線代表動物的腳，二條斜線表示一只雞，一個圓圈加四條斜線則代表一只兔。小學(xué)生們通過不停的嘗試，發(fā)現(xiàn)數(shù)目不對則可以很快通過修改斜線的分布來調(diào)整二種動物的數(shù)目，直到符合題目要求為止，也就正確求解了“雞兔同籠”問題。

這樣，通過將腳的個數(shù)轉(zhuǎn)換為筆畫圖形，同時又將圖形轉(zhuǎn)化為腳的個數(shù)，可以直觀的看到有2只雞，4只兔。大多數(shù)學(xué)生在剛開始接觸此類題目時都很犯難，因為幾種不同數(shù)目的動物混在一起，顯得很復(fù)雜;但是在采用數(shù)學(xué)建模的方法將此問題轉(zhuǎn)換為圖形問題后，題目就變得形象直觀了。通過“數(shù)學(xué)互譯”，這道看似較為困難的問題迎刃而解了，這足以體現(xiàn)出了“數(shù)學(xué)建?！睉?yīng)用在小學(xué)數(shù)學(xué)中的魅力。

三、結(jié)束語

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，“數(shù)學(xué)建模”這一數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑。無論是小學(xué)生與教師，都應(yīng)該充分的重視起來，應(yīng)盡量發(fā)掘數(shù)學(xué)模型和實際問題的內(nèi)在聯(lián)系，借助這一數(shù)學(xué)思想來解決更多的教學(xué)以及學(xué)習(xí)中的問題，更重要的是通過這種數(shù)學(xué)思想開拓學(xué)生的思維能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的樂趣。

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（漳州市南靖縣和溪中心小學(xué)，福建? 漳州? 363600）