潘小平

[摘? 要] 在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，APOS理論具有極其重要的指導(dǎo)意義，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行自主化探究學(xué)習(xí)，促進(jìn)概念從傳統(tǒng)的灌輸模式轉(zhuǎn)型為自主建構(gòu)模式. 基于此背景，對運(yùn)用APOS理論教學(xué)“弧度制”一課進(jìn)行探究，使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物抽象出數(shù)學(xué)研究對象的過程，在問題的引導(dǎo)下激活深度思考，使其能夠大膽猜想、客觀推理.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念;APOS;“弧度制”

美國著名的教育學(xué)家杜賓斯等人提出的APOS理論認(rèn)為，對于任何個(gè)體而言，在學(xué)習(xí)概念的過程中，經(jīng)過操作、過程以及對象等相對應(yīng)的階段之后，就能夠形成用于解決問題的情境圖示結(jié)構(gòu). APOS理論的基本過程是“活動(dòng)—過程—對象—圖式”，這一理論對概念教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義. 在高中數(shù)學(xué)概念體系中，“弧度制”是重要的概念之一，是高中生進(jìn)行三角函數(shù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ). 在現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中，針對“弧度制”的介紹非常簡單，是通過類比的方式引出的這一概念. 因此，一些教師在教學(xué)中沒有引起重視，沒有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的探究過程，從而造成了學(xué)生對這一概念的理解有障礙. 在核心素養(yǎng)理念下，可以借助APOS理論對“弧度制”一課的教學(xué)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

■創(chuàng)設(shè)活動(dòng)情境，豐富直觀認(rèn)識

對于高中生而言，“弧度制”是一種全新的用于描述角的方法. 在具體的教學(xué)過程中，如果教師采用“說教”的形式，既不能夠揭示“弧度制”的數(shù)學(xué)含義，也不能使學(xué)生體會到“弧度制”的重要數(shù)學(xué)價(jià)值. APOS理論的第一階段是“活動(dòng)階段”，強(qiáng)調(diào)的是要引導(dǎo)學(xué)生在具體的活動(dòng)中對概念進(jìn)行直觀化感知. 因此，教學(xué)中教師要善于聯(lián)系生活實(shí)際為學(xué)生創(chuàng)設(shè)活動(dòng)情境，引導(dǎo)學(xué)生在情境中用數(shù)學(xué)的眼光展開觀察和思考，這樣才能豐富學(xué)生對“弧度制”的直觀化感知，才能提高學(xué)生參與學(xué)習(xí)的興趣.

在本課的教學(xué)中，筆者首先給學(xué)生播放了一名工人用扳手?jǐn)Q螺帽的視頻，然后出示圖1：

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察圖1，扳手從點(diǎn)A轉(zhuǎn)到點(diǎn)B時(shí)，螺帽相對應(yīng)的A1轉(zhuǎn)動(dòng)到B1. 從中你能夠知道哪些幾何數(shù)量？其中哪些幾何數(shù)量關(guān)系是相等的，哪些幾何數(shù)量關(guān)系是不相等的？

生：扳手和螺帽各自轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長不相等，兩弧所在的圓的半徑也不相同，扳手所轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長更大，同時(shí)其所在的圓的半徑也更大.

師：相等的量在哪里？

生：轉(zhuǎn)動(dòng)的角度相等.

師：如果扳手變得更長，但是螺帽轉(zhuǎn)動(dòng)的角度相同，此時(shí)扳手轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長會發(fā)生怎樣的變化？

生：弧長會發(fā)生改變，變得更長.

以上教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生能夠體會到當(dāng)螺帽轉(zhuǎn)動(dòng)的角度相同時(shí)，扳手越長越省力，當(dāng)扳手的長度發(fā)生改變時(shí)，扳手所轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長也會有所改變. 這一情境是學(xué)生非常熟悉的生活情境，但是其中隱含了弧長和半徑比值的關(guān)系. 設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)的目的就是為了幫助學(xué)生豐富對“弧度制”的直觀化認(rèn)知，初步了解用“弧度制”量角的合理性.

■借助設(shè)疑啟思，經(jīng)歷探究過程

APOS理論的第二階段是“過程階段”，在這一階段中，需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對概念的探究過程. 問題是引發(fā)學(xué)生探究的有效手段，因此，在完成第一環(huán)節(jié)的教學(xué)之后，筆者通過設(shè)疑的方式引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對“弧度制”的探究過程.

師：圓心角、半徑以及弧長之間究竟存在怎樣的關(guān)系呢？能不能用一個(gè)式子表示它們之間的關(guān)系？

提問之后，給學(xué)生留下一定的時(shí)間在小組內(nèi)進(jìn)行討論，然后組織交流反饋.

生：如果圓心角相等，圓的半徑越大，其弧長也就越長. 所以，可以用α，l，r分別代表圓心角、弧長以及半徑，可以用“l(fā)=αr”這個(gè)式子來表示這三者之間的關(guān)系.

師：為什么在這個(gè)式子中比例系數(shù)是α呢？

生：我們首先進(jìn)行了畫圖，發(fā)現(xiàn)r相等時(shí)，l與α成正比;l相等時(shí)，r與α成反比.

眾生：可是這個(gè)過程還是猜的.

師：這種猜想合情合理. 實(shí)際上，這在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，也是非常重要的方法. 當(dāng)然，猜想必然要經(jīng)過事實(shí)的驗(yàn)證. 現(xiàn)在大家的疑問在于l與r之間的變化是否只與α有關(guān)，是否還會受制于其他因素的影響.

生：初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過弧長公式l=■（n是圓心角的度數(shù)），說明在同一圓中，弧長只與角的大小有關(guān)，當(dāng)角的大小確定時(shí)，弧長為定值.

師：這個(gè)回答真是太棒了，整個(gè)過程都是由大家的猜想、探究以及驗(yàn)證而得到.

目前，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)較為普遍的現(xiàn)象就是重應(yīng)用、輕講解，而學(xué)生在這一過程中常常處于被動(dòng)的狀態(tài)，不得不以死記硬背的方式接受這些概念，不能實(shí)現(xiàn)對概念的深入理解，也不能準(zhǔn)確把握其意義和價(jià)值. “弧度制”是一種數(shù)學(xué)規(guī)定，以學(xué)生的眼光來看，是難以理解其中所體現(xiàn)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，還會由此引發(fā)他們質(zhì)疑：“為何要做出這種規(guī)定？這種設(shè)置是否合理？”以上教學(xué)中，針對學(xué)生的這些質(zhì)疑，筆者為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自主探究活動(dòng)，鼓勵(lì)其進(jìn)行猜想和驗(yàn)證，使學(xué)生親歷完整的探索過程，了解其中的合情性以及合理性，這樣學(xué)生才能夠欣然地接受這一抽象知識.

■引導(dǎo)探究反思，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

“對象階段”是APOS理論的第三階段，在這一階段中，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言對概念進(jìn)行表征是十分重要的. 因此，教學(xué)中筆者通過引導(dǎo)學(xué)生對前面自己的探究過程進(jìn)行反思，讓他們用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)“弧度制”，以此促進(jìn)他們對這一概念的建構(gòu).

1. 引導(dǎo)體驗(yàn)“弧度制”的優(yōu)越性

為了使學(xué)生理解弧長和半徑之間的比值來表示角的單位的優(yōu)越性，筆者是這樣對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)的.

師：剛才我們用α表示角的大小，那么角的單位是什么呢？

生：l與r代表的是長度，所以它們的比值是實(shí)數(shù)，是不存在單位的.

師：用實(shí)數(shù)衡量角大小的這種方式，可能在初次使用時(shí)很多同學(xué)并不適應(yīng)，但是通過上述的探究過程，我們可以了解到，這種方法在數(shù)學(xué)中具有可行性以及合理性，用數(shù)表示角的大小可以在其后加上“rad”. “rad”并非是角的單位，表示此時(shí)這個(gè)數(shù)所代表的是角，等大家使用熟練之后，只要在不會引發(fā)歧義的情況下，都可以省略這三個(gè)字母.

2. 理解“弧度制”下的角與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

在這一堂課的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生理解“弧度制”下的角與實(shí)數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系是十分重要的，因此筆者是這樣對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)的.

師：是否所有的任意角都可以使用這一比值進(jìn)行表示？

生：任意角的界定來自旋轉(zhuǎn)角度，通過弧長可以了解相對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)量，符號則是代表旋轉(zhuǎn)方向，由此也可說明所有的任意角都可以通過這一比值表示，對于正角、零角以及負(fù)角，可以分別使用正數(shù)、0以及負(fù)數(shù)進(jìn)行表示.

師：如果所有的任意角都可以使用唯一的實(shí)數(shù)與其相對應(yīng)，是否說明任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用于表示角？這種表示方式是否唯一？

生：一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用于表示角，而且這種表示方式是唯一的.

生：也可以通過計(jì)算的方式進(jìn)行驗(yàn)證，假設(shè)角的弧度為α，其度數(shù)為n，根據(jù)公式l=■，能夠由此推導(dǎo)出α=■，n=■·α.

在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，主要設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題，設(shè)計(jì)第一個(gè)問題的目的就是為了讓學(xué)生掌握換算的算理，而第二個(gè)問題要求記憶特殊角的弧度數(shù). 通過探究，讓學(xué)生可以深度理解兩種度量系統(tǒng)之間的相容性以及掌握兩種度量角之間的相互轉(zhuǎn)化，讓他們體驗(yàn)“弧度制”下的角與實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，利用熟悉的“角度制”感受用實(shí)數(shù)表示角的大小.

■設(shè)計(jì)變式練習(xí)，建立概念圖式

在APOS理論的“圖式階段”中，主要目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生建立概念圖式. 學(xué)生形成概念圖式離不開變式練習(xí)，因此筆者在練習(xí)中為學(xué)生設(shè)計(jì)了以下兩道變式練習(xí).

變式練習(xí)1：一個(gè)扇形的圓心角是α，半徑是r，弧長是l，請證明扇形的面積S=rl.

變式練習(xí)2：一個(gè)扇形的周長是10，它的圓心角的大小為3 rad，這個(gè)扇形的面積是多少？

在經(jīng)歷了“活動(dòng)—過程—對象”這三個(gè)階段之后，學(xué)生基本可以完成以下心理圖式的建立：“弧度制”是一種全新的度量角的方式，利用了弧長和半徑;在弧度值以及角度值之間能夠完成相互轉(zhuǎn)化，能夠就此感受實(shí)數(shù)和角之間的一一對應(yīng)關(guān)系. 練習(xí)階段為學(xué)生設(shè)計(jì)的兩道練習(xí)，不僅有助于幫助學(xué)生完成正確的換算，還能夠在“弧度制”下了解弧長以及扇形面積的計(jì)算公式，并且將其用于解決簡單的現(xiàn)實(shí)問題. 這樣，就能夠促進(jìn)學(xué)生對所有圖示的整合以及優(yōu)化，也能夠幫助他們建立更完善、更具有綜合性質(zhì)的概念心理圖式.

總之，APOS理論針對具體的學(xué)習(xí)過程給出了明確的觀點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)的是引導(dǎo)學(xué)生對概念展開主動(dòng)建構(gòu)，立足于操作階段感知數(shù)學(xué)概念，建立初步表象;在過程階段完成對數(shù)學(xué)概念的抽象;在進(jìn)入對象階段之后，深入觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)并完成梳理和歸納，最后在圖示階段完成對知識體系的建構(gòu). 對于這四個(gè)階段而言，與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間存在著極其緊密的關(guān)聯(lián). 在“弧度制”一課的教學(xué)中，運(yùn)用APOS理論“四階段”，使學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)物抽象出數(shù)學(xué)研究對象的過程;同時(shí)，在問題的引導(dǎo)下激活了學(xué)生的求知渴望，并促進(jìn)學(xué)生的深度思考，使其能夠大膽猜想、客觀推理，當(dāng)然其中也蘊(yùn)含了直觀思維，這些都與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)密切相關(guān).