徐曉良

[摘要]教材是主要的課程資源，但再好的資源也無法兼顧地域和學(xué)生的差異，存在著適應(yīng)性不足的缺陷。結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，開展了為期三年的小學(xué)數(shù)學(xué)單元重組教學(xué)實(shí)踐研究，從學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)出發(fā)，對(duì)“乘法口訣”“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”等單元內(nèi)容進(jìn)行重組，通過整合、拓展與重構(gòu)，力求做到立足學(xué)生、超越文本，從而構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

[關(guān)鍵詞]單元重組;深度學(xué)習(xí);整合;拓展;重構(gòu)

[中圖分類號(hào)]G623.5??[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A??[文章編號(hào)]1007-9068（2020）02-0015-06

一線教師往往習(xí)慣于腳踏實(shí)地，低頭走路，不愿意抬頭望天，很少有人敢挑戰(zhàn)教材的權(quán)威性，更談不上重組教材了。事實(shí)上，專家也在不斷重組和修改教材。如2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》就改變了小學(xué)數(shù)學(xué)二十幾年來一直用算術(shù)思路解方程的要求，走了一條用代數(shù)方法解方程的路——明確提出了“理解等式的性質(zhì)，會(huì)用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程”，對(duì)此，一線教師一開始都無法接受，后來在實(shí)踐中漸漸感受到原先的編排體系不妥：如果在小學(xué)的時(shí)候用算術(shù)思路解方程，到了中學(xué)卻是用等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理來解方程，那小學(xué)算術(shù)思路及算法掌握得越牢固，對(duì)中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)的負(fù)遷移就越明顯。至此，教師理解了“同一內(nèi)容兩種思路、兩種算理解釋的現(xiàn)象，有利于加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接”的觀點(diǎn)。

教材本身不斷地改編和完善，激發(fā)了教師研究教材的興趣。我校數(shù)學(xué)組成功進(jìn)行了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”單元重組教學(xué)。所謂單元重組教學(xué)不是教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)單的合并、增加與調(diào)換，而是指在教學(xué)時(shí)，教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，俯視整體教材與單元內(nèi)容，聚焦重點(diǎn)與難點(diǎn)，利用整合、拓展和重構(gòu)等方法對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行加工，讓深度學(xué)習(xí)真正在學(xué)生身上發(fā)生。

一、聚焦問題——從“井底”跳出來

由于缺乏對(duì)單元整體性的思考，很多教師的日常教學(xué)都存在缺陷，具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（一）“只見樹木，不見森林”的教學(xué)，系統(tǒng)性不強(qiáng)

過去教學(xué)的模式以“例題”為單位，每個(gè)例題教學(xué)都

是“各自為政”，沒能站在系統(tǒng)觀的角度來預(yù)設(shè)教學(xué)流程，教學(xué)缺乏整體性和系統(tǒng)性，以至于“例題”和“單元”嚴(yán)重脫節(jié)，更造成了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取零星而雜亂，即“花時(shí)多收效低”的狀況。

（二）同一內(nèi)容體系，教學(xué)目標(biāo)雷同，缺乏教學(xué)的層次性

單元教學(xué)知識(shí)在內(nèi)容上包含著深刻的思維和豐富的智慧，但在形式上僅是簡(jiǎn)單、現(xiàn)成的結(jié)論及事實(shí)論證，同一主題或單元的內(nèi)容教材在編排上往往結(jié)構(gòu)相似。對(duì)此，不少教師照搬教材上課，沒有自己的創(chuàng)新處理方式，造成課堂教學(xué)流程相似、模式雷同，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，課堂收效甚微。

（三）重視獨(dú)立課的研究，輕視通盤整體的考慮

很多教師在處理教材時(shí)特別注重某一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)、練習(xí)設(shè)計(jì)和思想方法的滲透。特別是在一些展示課堂上，教師把大量的教學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想方法滲透其中，為求全、出彩而趕課，匆匆忙忙總是上不完預(yù)設(shè)環(huán)節(jié)。于是，對(duì)于同一主題但不同層次的知識(shí)教學(xué)缺乏有效的溝通和銜接，或知識(shí)點(diǎn)重復(fù)，或前后知識(shí)斷層、銜接不當(dāng)，跨度太大。

（四）教學(xué)偏重于教法，學(xué)生思維的整體關(guān)聯(lián)度不高

教學(xué)中最為核心的兩個(gè)關(guān)系是教師與學(xué)生的關(guān)系，以及教與學(xué)的關(guān)系，但比較常見的卻是教師—學(xué)生、教法—學(xué)法的單向傳遞，顯然，這種單向傳遞的方式忽略了關(guān)聯(lián)性，其結(jié)果是學(xué)生的學(xué)法空間不足。而從結(jié)構(gòu)化視角來看，學(xué)生只有先了解知識(shí)的整體框架或上位概念，才能為后續(xù)的學(xué)習(xí)導(dǎo)航，支撐自身的主動(dòng)思維。

為什么會(huì)產(chǎn)生這些現(xiàn)象呢？究其根源，主要有三個(gè)方面的原因：一是教師自身的數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏系統(tǒng)性。由于學(xué)科知識(shí)背景不夠深厚，教師對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系缺乏整體的思考，而新教材拓展的新領(lǐng)域（如統(tǒng)計(jì)與概率）對(duì)教師而言，又是知識(shí)的盲點(diǎn)。二是教師習(xí)慣于單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，愛用細(xì)分類型的教學(xué)方式，不善于從歷史的縱向維度和學(xué)科的橫向維度去思考和鉆研。三是過于迷信教材，對(duì)教材上內(nèi)容的安排是否合理，是否適合自己學(xué)生的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)起點(diǎn)是否過高或過低，從不質(zhì)疑。

綜上，教師不能做井底之蛙，必須從“井底”跳出來，學(xué)會(huì)從結(jié)構(gòu)化角度整體把握學(xué)科教學(xué)，抓住知識(shí)間的內(nèi)在轉(zhuǎn)承和關(guān)聯(lián)關(guān)系，真正意義上厘清教與學(xué)的關(guān)系，真正找到學(xué)生立場(chǎng)、教材與教學(xué)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生的思維在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)展、變化、生成、生長(zhǎng)。

二、重組實(shí)踐——讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生

所謂“深度學(xué)習(xí)”是學(xué)生通過對(duì)新知識(shí)的批判性分析與對(duì)原有知識(shí)的有效整合，形成對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的深刻理解，完成學(xué)習(xí)遷移，最終以能改變個(gè)人思想或行為的方式內(nèi)化知識(shí)。作為新時(shí)代的教師，要有一定的高度和眼界，知道知識(shí)點(diǎn)的縱向和橫向聯(lián)系，能根據(jù)學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)對(duì)教材進(jìn)行加工重組，使學(xué)生深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。結(jié)合以上的概念界定與問題分析，從以下三個(gè)維度對(duì)教材進(jìn)行重組。

（一）橫向整合：結(jié)構(gòu)化把握教材，豐富學(xué)生思維的厚度

教材中的一些單元內(nèi)容之間的結(jié)構(gòu)是相近或相似的，在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行分析，找出它們之間的關(guān)聯(lián)處和相似點(diǎn)，結(jié)構(gòu)化地進(jìn)行整合。下面就以二年級(jí)的“乘法口訣”為例，將兩個(gè)單元進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合。

1.“乘法口訣”內(nèi)容與教學(xué)誤區(qū)分析

二年級(jí)的“乘法口訣”分兩個(gè)單元：第四單元，教學(xué)內(nèi)容為乘法的初步認(rèn)識(shí)、2?6的乘法口訣、乘加和乘減式題、用所學(xué)的計(jì)算知識(shí)解決問題;第六單元，教學(xué)內(nèi)容為7的乘法口訣、8的乘法口訣、9的乘法口訣、乘法口訣表以及用7?9的乘法口訣解決簡(jiǎn)單的問題。（如圖1）

首先，對(duì)于乘法口訣的教學(xué)，教師常常會(huì)走入一個(gè)誤區(qū)，如當(dāng)學(xué)生列出算式8x8=64時(shí)，教師會(huì)問：“為什么這樣算？”學(xué)生自然就根據(jù)思維定式回答：“因?yàn)榘税肆??！边@就犯了一個(gè)邏輯上的錯(cuò)誤。因?yàn)椤鞍税肆摹笔切抡n的內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)該是通過查表，或根據(jù)前面的56再增加8得到64的，口訣只是為了容易記住這個(gè)答案而編出的順口溜。這樣的教學(xué)模式，忽略了學(xué)生對(duì)乘法口訣的推導(dǎo)和驗(yàn)證，學(xué)生的推理能力沒有得到充分的培養(yǎng)。

其次，教師往往只是根據(jù)教材的編排方式進(jìn)行設(shè)計(jì)：從第一節(jié)課學(xué)5的乘法口訣開始，先讓學(xué)生5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，再根據(jù)福娃圖或手指圖5個(gè)5個(gè)地加，接著說一說1個(gè)5是幾，2個(gè)5是幾，3個(gè)5是幾，4個(gè)5是幾……然后寫出乘法算式和乘法口訣，并交流記憶口訣的方法，最后讓學(xué)生背熟。到最后一節(jié)課學(xué)9的乘法口訣時(shí)，也還是先讓學(xué)生觀察分析龍舟賽后填寫連加結(jié)果，只是多了一個(gè)在數(shù)軸上呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)，接著還是寫出乘法算式和乘法口訣，并交流記憶口訣的方法，最后還是讓學(xué)生背熟。這樣的教學(xué)沒有對(duì)教材拓展延伸，更沒有創(chuàng)造性地從文化的角度設(shè)計(jì)教學(xué)和使用教材。學(xué)生會(huì)覺得學(xué)口訣就是在重復(fù)做一件事，即使剛開始有點(diǎn)新鮮感，但只會(huì)越學(xué)越覺得無趣，味同嚼蠟，學(xué)習(xí)效率更是難以提高。

最后，在以往乘法口訣的學(xué)習(xí)中，學(xué)生是運(yùn)用“逐個(gè)累加”的方式算出“幾個(gè)幾”的結(jié)果的。因此，在編口訣的過程中，乘法口訣與“幾個(gè)幾”常常呈現(xiàn)一種單一的聯(lián)系，口訣形成過程過于程式化，缺少了對(duì)“幾個(gè)幾”本質(zhì)意義的反思和追問。教師僅僅是讓學(xué)生觀察圖意，順次求出“1個(gè)5、2個(gè)5……9個(gè)5”，接著試編口訣，記憶口訣，最后運(yùn)用口訣解決一些簡(jiǎn)單的問題。如果把課堂定位于學(xué)生會(huì)編、會(huì)背、會(huì)用口訣，那么這種缺乏挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)會(huì)讓學(xué)生覺得所有的乘法口訣都是一個(gè)套路，沒什么可學(xué)的。

2.單元整合：在玩“口訣”中理解意義

對(duì)數(shù)學(xué)概念形成與意義的理解必須扎根于結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)?？谠E的學(xué)習(xí)可分三段，每一段都是以理解乘法的意義為核心：第一段，學(xué)深學(xué)透5的乘法口訣;第二段，放手讓學(xué)生自主推導(dǎo)2、3、4的乘法口訣;第三段，在靈活運(yùn)用中學(xué)習(xí)6、7、8、9口訣。（如圖2）

對(duì)于“5的乘法口訣”，以乘法的意義為核心，學(xué)生借助點(diǎn)子圖進(jìn)行推理：先編“四五二十”這句口訣，然后從增加1個(gè)5或減少1個(gè)5出發(fā)開始推理，最后完成9句的口訣。部分學(xué)生作品如圖3：

通過點(diǎn)子圖不但可以推理出5的乘法口訣，還能推理其他的乘法口訣：可以豎著增或減，也可以進(jìn)行拆分，還可以添上點(diǎn)子得到新的口訣。口訣教學(xué)借助了數(shù)形結(jié)合的力量，使得學(xué)生對(duì)“幾個(gè)幾”的來龍去脈獲得了新的理解。

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，類似“6個(gè)5比5個(gè)5多（），比7個(gè)5少（）”的問題，學(xué)生還是能夠順利作答的，但是把文字?jǐn)⑹龅姆绞礁某伞?x6=5x5+（），5x6=7x5-（）”，很多學(xué)生就難以理解，特別是“5x6=5x5+（）”。這說明學(xué)生即使背熟了乘法口訣，對(duì)于“幾個(gè)幾”的意義仍然生疏。針對(duì)于此，可創(chuàng)設(shè)玩轉(zhuǎn)乘法口訣的活動(dòng)。

第一種玩法：算式接龍。學(xué)生自己挑選一個(gè)喜歡的算式，進(jìn)行舉一反三的變化。（圖略）

第二種玩法：一題開花?！翱吹健陌巳@句口訣，你知道它能解決什么樣的問題？請(qǐng)你寫在卡片上。4+4+4+4+4+4+4+4=??，5x8-8=??，3x8+8=??。”還有線段圖、實(shí)物圖、點(diǎn)子圖等。（圖略）

通過對(duì)本單元的整合重組，可以看到乘法意義的生長(zhǎng)，看到學(xué)生思維的增長(zhǎng)。學(xué)生不僅會(huì)背口訣，更能靈活運(yùn)用乘法口訣解決問題。乘法口訣的學(xué)習(xí)，雖然還是離不開對(duì)乘法意義的理解和乘法口訣結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，但重組后的教學(xué)更注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵的數(shù)學(xué)能力，如觀察、比較、推理、建模等多種能力，讓學(xué)生在具有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)中深刻感悟數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，獲得“從不同視角切入，也可能會(huì)得到不同收獲”的體驗(yàn)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)積累一些思想和方法上的經(jīng)驗(yàn)。

（二）縱向重構(gòu)：遞進(jìn)化把握教材，拓展學(xué)生思維的深度

教材中的許多內(nèi)容是遞進(jìn)的關(guān)系，把握這些內(nèi)容不僅要考慮每一節(jié)課的知識(shí)的遞進(jìn)與轉(zhuǎn)承，更要整體遞進(jìn)地理解教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性?？梢园催@些內(nèi)容的內(nèi)在特征將其組成一個(gè)整體，使學(xué)生先整體認(rèn)識(shí)再局部把握，在整體感悟中把握知識(shí)的共性和差異性。正如葉瀾教授所說：“在研究課堂教學(xué)時(shí)，要注意兩方面的關(guān)系與整合：一方面是知識(shí)體系的內(nèi)在聯(lián)系與多重關(guān)系，以求整合效應(yīng);另一方面是學(xué)生生命活動(dòng)方面的內(nèi)在聯(lián)系、相互協(xié)調(diào)和整體發(fā)展?！比欢诜?jǐn)?shù)的教學(xué)中，存在著非常多的問題。

1.從一個(gè)調(diào)查題的錯(cuò)誤說起

（六年級(jí)的調(diào)查題）“一輛汽車從甲城開往乙城，行了全程的，離中點(diǎn)12千米，問：甲城與乙城相距多少千米？”

2018年，筆者對(duì)六年級(jí)某班的48人進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)此題正確率只有50%。學(xué)生采用的大多數(shù)是方程和分?jǐn)?shù)除法的解題策略，錯(cuò)誤的原因主要是列方程的找錯(cuò)數(shù)量關(guān)系，用分?jǐn)?shù)除法的不清楚12千米的對(duì)應(yīng)分率。如果利用線段圖稍加分析（如圖4），顯而易見，甲城與乙城的距離就是12x2x3=72（千米）。

為什么學(xué)生不會(huì)用這種方法？通過訪談得知，多數(shù)學(xué)生沒有想到這樣做。而令人驚奇的是，從范老師執(zhí)教的三7班中隨機(jī)找來五名學(xué)生，有三名學(xué)生都不約而同畫出線段圖，順利地利用分?jǐn)?shù)意義解決了這個(gè)問題。這種那么有價(jià)值的原生態(tài)的思想為什么在六年級(jí)就泯滅殆盡了呢？這個(gè)問題一定與三、五年級(jí)分?jǐn)?shù)的教學(xué)有關(guān)。

2.分?jǐn)?shù)概念教學(xué)存在問題分析

分?jǐn)?shù)概念在小學(xué)階段具有很重要的地位，縱觀小學(xué)階段關(guān)于分?jǐn)?shù)的概念教學(xué)，多數(shù)課堂上經(jīng)驗(yàn)性彰顯有余，本質(zhì)凸顯不足，從而導(dǎo)致分?jǐn)?shù)本質(zhì)的缺失。

【問題1】“我折不動(dòng)”

在一節(jié)形象有趣的“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”的課結(jié)束后，一位教師隨機(jī)采訪了一位學(xué)生，他指著教室外面的欄桿問：“今天學(xué)了分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)后，你能得到這根欄桿的二分之一嗎？”學(xué)生想了想說：“不能?！苯處熀芷婀郑骸盀槭裁?？”學(xué)生為難地說，“因?yàn)槲覜]有辦法折這根欄桿?！苯處燇@訝地問：“沒有辦法折？”學(xué)生說：“是的，因?yàn)闄跅U太硬了，我折不動(dòng)。”

【問題2】“因?yàn)槟穷w星星太大了”

在一節(jié)“分?jǐn)?shù)意義”的課結(jié)束后，一位教師隨機(jī)采訪了一位學(xué)生。

教師：“五星紅旗上有五顆星，最大的那顆占五分之一，對(duì)嗎？”學(xué)生：“不是?！苯處煟骸盀槭裁矗俊睂W(xué)生：“因?yàn)槟穷w星星太大了。”

【問題分析】

（1）經(jīng)驗(yàn)是容易忘記的

利用分?jǐn)?shù)的含義解決上述六年級(jí)調(diào)查題是非常簡(jiǎn)單的方法，為什么會(huì)像往事一樣被學(xué)生丟在風(fēng)里呢？那么有價(jià)值的原生態(tài)的思想為什么在六年級(jí)的學(xué)生心中泯滅殆盡呢？出現(xiàn)這樣的問題，有可能是六年級(jí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)中，從樸素的原生態(tài)解題方法教學(xué)（利用分?jǐn)?shù)本質(zhì)解決問題）到精致的形式化解法教學(xué)（利用分?jǐn)?shù)的乘除法意義和方程解決問題）“走得太匆匆”，學(xué)生雖然經(jīng)歷了樸素的原生態(tài)解題方法向精致的形式化邏輯推演過程，但學(xué)生隨之自然建立起的與精致的形式化數(shù)量關(guān)系相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法潛存著知識(shí)與方法“分離”的危險(xiǎn)。這種“分離”狀態(tài)往往會(huì)使精致的形式化數(shù)量關(guān)系本身失去解決問題的靈性，從而導(dǎo)致解決問題時(shí)機(jī)械呆板。但最有可能的還是學(xué)生根本沒有掌握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，他們對(duì)分?jǐn)?shù)的理解仍停留在經(jīng)驗(yàn)上。經(jīng)驗(yàn)是容易忘記的，本質(zhì)的理解才能在人的心中扎下根。

（2）經(jīng)驗(yàn)是解釋不了數(shù)學(xué)內(nèi)涵的

問題1所呈現(xiàn)的問題與課堂教學(xué)中充斥著太多讓學(xué)生“折一折”的活動(dòng)而沒有揭示本質(zhì)有關(guān)，只是單純依賴生活經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)概念的全部意義是不能有效揭示概念的內(nèi)在意義和關(guān)系的?！罢垡徽邸笔抢斫夥?jǐn)?shù)的有效操作活動(dòng)，但是分?jǐn)?shù)的本質(zhì)并不是折出來的。對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)，部分教師存在一種誤解，以為初步認(rèn)識(shí)只是一種膚淺的認(rèn)識(shí)。這樣的想法是錯(cuò)誤的。三年級(jí)上冊(cè)的“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”雖然是初步的認(rèn)識(shí)，但也是在具體直觀層面上的深刻認(rèn)識(shí)，這就如同一個(gè)胚胎，雖然是初級(jí)的，但卻具有以后生長(zhǎng)出成熟器官的全部生長(zhǎng)點(diǎn)！因此，分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)的教學(xué)不能只是在直觀經(jīng)驗(yàn)上建構(gòu)概念，更要充分關(guān)注分?jǐn)?shù)的本質(zhì)內(nèi)涵。

（3）只停留在經(jīng)驗(yàn)性的教學(xué)，很難使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維

對(duì)于問題2中學(xué)生認(rèn)為那顆大的五角星不能占五分之一，說明學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解還停留在最初的原始狀態(tài)——分?jǐn)?shù)一定是平均分，并且每份數(shù)量一樣多、大小和形狀一模一樣。其實(shí)在將分?jǐn)?shù)從一個(gè)物體拓展到一個(gè)整體的時(shí)候，已經(jīng)抽象出每份數(shù)量和整體數(shù)量的關(guān)系，而忽略平分物體的形狀和大小。因此，教師一定要考慮清楚分?jǐn)?shù)的意義是作為“行為的分?jǐn)?shù)”還是“定義的分?jǐn)?shù)”。一對(duì)對(duì)數(shù)字，例如等，或者“二分之一、五分之二”等并不是“分?jǐn)?shù)”，它只是代表分?jǐn)?shù)概念的符號(hào)或者語言。一般來說，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)首先從“行為”（平均分物體）入手，而不是從“定義”入手。只有學(xué)生經(jīng)歷并體驗(yàn)了把一個(gè)“整體”平均分為各個(gè)部分，所關(guān)注的“部分”和“整體”之間的關(guān)系可以用一個(gè)新的數(shù)來表示之后，才可以給出分?jǐn)?shù)的“符號(hào)”表示，并建立“行為”和“符號(hào)”之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。只有經(jīng)歷從“行為”開始到“率”的角度來理解分?jǐn)?shù)這樣的過程，學(xué)生才能真正理解分?jǐn)?shù)的意義。因此，“分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)”的教學(xué)不能只停留在機(jī)械的平分活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中。

縱觀“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”單元的教學(xué)，存在以下幾個(gè)問題：首先，分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)只停留在活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上，在活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)抽象思維的過渡上做得不夠;其次，分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)割斷了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系;再次，分?jǐn)?shù)的大小過早形式化;最后，分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用忽略兩個(gè)轉(zhuǎn)化，脫離直觀圖形，學(xué)生的畫圖能力沒有得到足夠的重視，沒有很好地將分?jǐn)?shù)問題與整數(shù)等分除問題建立很好的聯(lián)系。

3.縱向重構(gòu)：賦予思維生長(zhǎng)的力量

基于以上的思考，為了讓學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，我們對(duì)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這個(gè)單元進(jìn)行重構(gòu)，以期學(xué)生真正掌握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。（如圖5）

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”在重構(gòu)前分五課時(shí)教學(xué)，而重構(gòu)后分六課時(shí)。將分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)分成數(shù)量與關(guān)系兩部分。在分?jǐn)?shù)與除法中認(rèn)識(shí)幾分之一，用分?jǐn)?shù)表示圖，給分?jǐn)?shù)配圖，畫圖比較大小，表象圖計(jì)算，分?jǐn)?shù)問題與整數(shù)除法問題這六課時(shí)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生充分地認(rèn)識(shí)和理解分?jǐn)?shù)的三層含義：分?jǐn)?shù)不只是一個(gè)數(shù)，它能反映一個(gè)平分的過程，并且它還能表示一種關(guān)系，那就是部分與整體的關(guān)系。具體有以下五步。

第一步：分層推進(jìn)分?jǐn)?shù)意義的理解。

目標(biāo)1：認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)是有大小的一種新的數(shù)，它是為了幫助我們度量小于1的量，它應(yīng)該比1小、比0大。

目標(biāo)2：理解將一個(gè)整體平均分成n份，相當(dāng)于1被n除。以前是不可以的，現(xiàn)在可以了，商是分?jǐn)?shù)。

目標(biāo)3：理解分?jǐn)?shù)是用來描述部分與整體中的關(guān)系大小的。

在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)的第一課教學(xué)中要注意以下問題：不能始終通過動(dòng)手折、分來理解分?jǐn)?shù)。折一折、分一分是理解分?jǐn)?shù)的有效操作活動(dòng)，但是如果只停留在積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是無法理解分?jǐn)?shù)真正含義的。經(jīng)驗(yàn)解釋不了數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，只停留在經(jīng)驗(yàn)性的教學(xué)，很難使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維。因此，在教學(xué)“二分之一”時(shí)沒有安排學(xué)生動(dòng)手操作的環(huán)節(jié)，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)平均分成兩份具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，只要進(jìn)行表象操作即可。對(duì)于故意設(shè)置為“沒有平均分”的第二幅圖，目的是讓學(xué)生意識(shí)到：沒有平均分成兩份不能用二分之一表示，但可以用別的分?jǐn)?shù)表示。

第二步：讓除法與分?jǐn)?shù)建立聯(lián)系。

很多教師都喜歡采用平均分的情境引入“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，如切一個(gè)蘋果，分一塊蛋糕，或是分一個(gè)月餅等，然后引出平均分，導(dǎo)入分?jǐn)?shù)，很少有教師從除法方面引入分?jǐn)?shù)。從除法運(yùn)算本身出發(fā)——1÷2=？1÷3=？讓學(xué)生思考該用哪一個(gè)數(shù)表示商，這樣能夠引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，有效激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生需要一個(gè)新的數(shù)的內(nèi)在需求。也許有人會(huì)說“這不是拔高要求嗎？除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系不是五年級(jí)才上的嗎？”應(yīng)該明確的是，這節(jié)課只是從除法的意義出發(fā)的引入，而不是要闡述分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，除法其實(shí)就是平均分，除法和平均分都是學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的起點(diǎn)。

第三步：注重部分與整體的關(guān)系，從面積大小過渡到數(shù)量的關(guān)系。

教材增加了“從一個(gè)物體到一個(gè)整體的分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”一課，看上去很簡(jiǎn)單，但對(duì)三年級(jí)的學(xué)生來說從一個(gè)物體到一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)是非常抽象的一個(gè)問題，是讓學(xué)生從面積模型建立的分?jǐn)?shù)向部分與整體數(shù)量關(guān)系的一個(gè)拓展，通過這個(gè)拓展讓學(xué)生明白，分?jǐn)?shù)在表述數(shù)量關(guān)系時(shí)，應(yīng)關(guān)注數(shù)量而忽略形狀和大小等一些非本質(zhì)的東西。這個(gè)環(huán)節(jié)如果沒有拓展好就會(huì)出現(xiàn)前面“五星紅旗”的笑話。

第四步：注重利用分?jǐn)?shù)含義比較大小。

“分?jǐn)?shù)的大小比較”這一課不能讓學(xué)生過早地進(jìn)行形式化比較，也就是“分母相同，看分子，分子大的就大;分子相同，看分母，分母大的反而小”。分?jǐn)?shù)大小比較的目標(biāo)不只是為了比較，主要目的還是促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)不是一節(jié)課就能完成的，而是需要整個(gè)單元去完成。如：五個(gè)好朋友喝飲料，分別喝了一杯的，（如圖6）誰喝得多呢？

第五步：將文本轉(zhuǎn)化成直觀圖形。

只要理解分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題就不再有問題。因?yàn)槿绻麑W(xué)生能夠?qū)⒎謹(jǐn)?shù)的問題轉(zhuǎn)化成直觀的圖形再進(jìn)行思考，那么分?jǐn)?shù)的問題與前面的歸一問題就差不多。如倍數(shù)問題、歸一問題和歸總問題都是分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用的基礎(chǔ)：

工人叔叔修一條長(zhǎng)24米的路，已經(jīng)修了五分之三，修了多少米？

根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義畫出圖形（如圖7），這道題就變成了一道歸一問題。

解決問題的關(guān)鍵是將文本轉(zhuǎn)化成圖形。因此，這節(jié)課必須注重兩個(gè)轉(zhuǎn)化：一是利用意義將文本轉(zhuǎn)化成直觀圖形或線段圖;二是將分?jǐn)?shù)問題轉(zhuǎn)化成整數(shù)等分除問題。

以上是“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”單元重組教學(xué)，站在整個(gè)分?jǐn)?shù)知識(shí)教學(xué)體系進(jìn)行合理加工，優(yōu)化整合而成的，效果非常明顯。

（三）生長(zhǎng)拓展，延伸學(xué)生思維的寬度

單元重組并不一定是單元內(nèi)所有知識(shí)的一個(gè)整合，也可以是單元內(nèi)習(xí)題的整合、內(nèi)容的補(bǔ)充、知識(shí)的拓展等，關(guān)鍵是要具備單元整體的意識(shí)。

1.習(xí)題改編，強(qiáng)化習(xí)題的黏度

習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的重要載體。有些教師比較重視例題教學(xué)，但忽視了對(duì)教材習(xí)題的研究，有時(shí)僅把教材的習(xí)題作為作業(yè)布置給學(xué)生，缺少對(duì)習(xí)題的選取以及與其他教學(xué)過程的融合，弱化了習(xí)題的功能。其實(shí)，習(xí)題也可基于重組的出發(fā)點(diǎn)和策略進(jìn)行合理改編。

圖8是人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“用字母表示數(shù)”單元的習(xí)題。

將這組習(xí)題分解重組，變成了如下一組題：

之所以這樣改編，是因?yàn)榻滩脑瓉砭幣诺膬蓚€(gè)小習(xí)題思維跳躍性太強(qiáng)，在難度、梯度等方面存在不足，只有小部分學(xué)生能夠解答正確，這就失去了題目本來的價(jià)值。反觀改編后的習(xí)題，從4個(gè)到10個(gè)連續(xù)正方形中找規(guī)律的習(xí)題人人都可以解決，在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生找擺n個(gè)正方形需要幾根小棒的規(guī)律，坡度明顯降低了;從“舉例尋找規(guī)律→字母歸納規(guī)律→數(shù)據(jù)代入公式→規(guī)律逆向應(yīng)用”，思維由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，層次比原來更清晰了。

2.內(nèi)容補(bǔ)充，拓寬思維的廣度

這里的內(nèi)容補(bǔ)充是指教材的簡(jiǎn)潔性導(dǎo)致不可能有太多的筆墨表達(dá)所有的意思，有些還是精心設(shè)計(jì)的“留白”，教師要通過“再創(chuàng)造”教學(xué)，把這些“留白”開發(fā)出開展來，對(duì)其進(jìn)行合理擴(kuò)充，豐富教材資源的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生互動(dòng)式的思辨，拓寬學(xué)生的思路，加深學(xué)生的體悟，優(yōu)化學(xué)生的思維方式。圖9是人教版教材四年級(jí)下冊(cè)“求一個(gè)小數(shù)的近似數(shù)”一課的例題。

在學(xué)生學(xué)完取近似數(shù)的方法后，教材上有一句話：“注意：在表示近似數(shù)時(shí)，小數(shù)末尾的0不能去掉?！睂?duì)此，教師一般都會(huì)這樣告訴學(xué)生：“小數(shù)近似數(shù)末尾的0代表了這個(gè)小數(shù)的精確程度，所以不能去掉。例題中0.984保留一位小數(shù)是1.0，但不能寫成1，因?yàn)?.0比1更精確?！边@時(shí)，學(xué)生就會(huì)迷糊——1.0和1大小一樣，為什么說1.0更精確呢？這就成了本節(jié)課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

在教學(xué)此課時(shí)，我們對(duì)例題進(jìn)行了改編和補(bǔ)充，將“豆豆身高0.984米”改為“一位運(yùn)動(dòng)員的身高是1.862米”，對(duì)其分別保留整數(shù)、一位小數(shù)和兩位小數(shù)，提問：“以下三個(gè)答案（2米、1.9米和1.86米），哪個(gè)更接近原來的真實(shí)情況呢？”學(xué)生將三個(gè)近似數(shù)分別和1.862米比較，得出各相差0.138米、0.038米和0.002米，顯然，保留兩位小數(shù)的值與原來值相比最接近。至此，學(xué)生自主理解了“保留位數(shù)越多，精確度就越高”。

在上述教學(xué)的基礎(chǔ)上再補(bǔ)充一道例題，教學(xué)過程摘錄如下：

（1）理解題意，提煉方法

師（出示）：一位小朋友的身高精確到十分位和百分位，結(jié)果分別是1.5米和1.50米。請(qǐng)你想一想，他原來的身高可能是多少？

（引導(dǎo)學(xué)生理解題意后用“（）≈1.5”和“（）≈1.50”的形式進(jìn)行反推）

（2）學(xué)生嘗試，反饋答案

生：要使“（）≈1.5”，（）里的數(shù)可能在1.45?1.54之間，要使“（）≈1.50”，（）里的數(shù)可能在1.495?1.504之間。

（3）數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)理解

（根據(jù)學(xué)生回答，利用數(shù)軸分別標(biāo)示出近似數(shù)1.5的取值范圍（如圖10）和1.50的取值范圍（如圖11）（注：這是學(xué)生的表示方法，嚴(yán)格來說有問題））：對(duì)比兩個(gè)圖，可以發(fā)現(xiàn)1.50的取值范圍比1.5的取值范圍小得多。因此近似數(shù)1.50末尾的0不能去掉，不然精確的程度就不一樣了。

3.內(nèi)容延伸，挖掘思維的深度

數(shù)學(xué)教學(xué)要“注意引導(dǎo)的啟發(fā)性和指向性。啟發(fā)性的引導(dǎo)能激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性，有效吸引學(xué)生展開思維的探索;指向性的引導(dǎo)能明確課堂方向，使學(xué)生的思維更有目的性?！痹S多數(shù)學(xué)問題可謂題在書外，根在書內(nèi)，是教材內(nèi)容的延伸，而“那些遠(yuǎn)離教材的部分最能體現(xiàn)教材的旨趣，因?yàn)榻滩牡哪康脑谟诎盐覀円蚋鼮閺V闊的世界”。教師要體會(huì)教材的編寫意圖和指向意義，充分挖掘與拓展教材，引導(dǎo)學(xué)生的思維從教材延伸至遠(yuǎn)處，再?gòu)倪h(yuǎn)處回歸到教材。

以人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“用字母表示數(shù)”單元的習(xí)題為例，在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“如果擺a個(gè)正方形需要1+3a根小棒”后，將教材內(nèi)容進(jìn)行拓展，使習(xí)題內(nèi)容所含知識(shí)更具結(jié)構(gòu)化：

（1）拓展研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：如果連續(xù)擺n個(gè)這樣的三角形需幾根小棒？

（讓學(xué)生說規(guī)律）

師：在繼續(xù)擺三角形的過程中存在“1+2b”的規(guī)律。