趙 靜，魏丹丹，楊 帆

（天津工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，許多企業(yè)在利用實體店從事傳統(tǒng)零售渠道銷售的同時，積極開通網(wǎng)上商店發(fā)展其網(wǎng)絡(luò)直銷渠道，如IBM 公司、蘋果公司等，形成了線上直銷渠道和線下傳統(tǒng)零售渠道并存的雙渠道供應(yīng)鏈。許多學(xué)者對雙渠道供應(yīng)鏈的定價決策和博弈問題展開了研究，如：Chiang 等[1]研究表明在雙渠道供應(yīng)鏈中在線渠道允許制造商約束零售商的定價行為。Chun 和Kim[2]分析了在線渠道與傳統(tǒng)渠道之間出現(xiàn)價格差異的原因。Batarfia 等[3]研究了雙渠道策略對由一個制造商和一個零售商組成的兩級供應(yīng)鏈績效的影響。Dan等[4]研究了雙渠道供應(yīng)鏈中制造商和零售商集中式與分散式?jīng)Q策下的最優(yōu)定價問題，并分析了零售商提供服務(wù)對制造商定價及利潤的影響。Chen 等[5]研究了雙渠道供應(yīng)鏈中替代產(chǎn)品的定價決策。Hua 等[6]在雙渠道供應(yīng)鏈中分別建立制造商與零售商Bertrand 和Stackelberg 定價博弈模型，分析了零售商服務(wù)質(zhì)量（文中認(rèn)為是交貨時間）對于制造商和零售商定價策略的影響。Chen 等[7]研究了零售商提供服務(wù)的雙渠道供應(yīng)鏈中的集中和分散時定價以及服務(wù)策略，分析了服務(wù)水平、顧客忠誠度對定價和利潤的影響。Yao 等[8]研究了單一制造商與零售商的供應(yīng)鏈中，制造商與零售商進(jìn)行Bertrand 和Stackelberg 定價博弈，得出制造商和零售商最優(yōu)定價策略。以上研究，大多關(guān)注于雙渠道單產(chǎn)品的定價策略，而對雙渠道中含互補(bǔ)品的研究較少。

由于產(chǎn)品種類的繁多，越來越多的人們更傾向于同時購買性能互補(bǔ)的產(chǎn)品，例如鉛筆和橡皮、計算機(jī)硬件和軟件等，從而使一種產(chǎn)品的性能得到最好的發(fā)揮。已有學(xué)者對互補(bǔ)產(chǎn)品定價策略展開研究，如Wei等[9]研究了含有互補(bǔ)產(chǎn)品的由兩個制造商和一個零售商組成的供應(yīng)鏈系統(tǒng)中定價策略問題；Mukhopadhyay等[10]研究了兩個提供互補(bǔ)產(chǎn)品的制造商在多寡頭市場下的信息共享問題；Gabszwicz 等[11]研究了含有兩個提供互補(bǔ)產(chǎn)品的制造商的供應(yīng)鏈的定價問題，并分析了產(chǎn)品的互補(bǔ)程度對最優(yōu)定價的影響。但斌等[12]指出渠道產(chǎn)品進(jìn)行互補(bǔ)合作，則可能緩解雙方的渠道沖突，但該文也只研究了制造商和零售商同時定價決策的情形，而沒有考慮由于制造商和零售商之間渠道權(quán)力的不同對定價決策的影響。

為了彌補(bǔ)以上空缺，本文考慮一個含有互補(bǔ)產(chǎn)品的雙渠道供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)，基于不同的渠道權(quán)力結(jié)構(gòu)，建立不同制造商占主導(dǎo)的Stackelberg 博弈定價和Nash博弈定價模型，得出不同的定價策略。通過分析渠道忠誠度、品牌忠誠度、產(chǎn)品之間的互補(bǔ)程度對最優(yōu)定價和供應(yīng)鏈成員利潤的影響，得出重要管理啟示。

1 模型假設(shè)

考慮包含兩個制造商和一個零售商的雙渠道供應(yīng)鏈，制造商1 生產(chǎn)產(chǎn)品1，以批發(fā)價格w1銷售給零售商的同時，開辟網(wǎng)絡(luò)直銷渠道直接銷售給顧客，直銷價格為p0。制造商2 生產(chǎn)產(chǎn)品2，以批發(fā)價格w2批發(fā)給顧客。產(chǎn)品1 和產(chǎn)品2 為互補(bǔ)產(chǎn)品，生產(chǎn)成本分別為c1和c2，零售價格分別為p1和p2。

本文假設(shè)市場需求量是僅依賴于產(chǎn)品零售價格的線性函數(shù)，這種函數(shù)形式許多文獻(xiàn)中都采用，如文獻(xiàn)[13-14]。由互補(bǔ)產(chǎn)品的特性，可得產(chǎn)品1 在直銷渠道的需求函數(shù)、產(chǎn)品1 和產(chǎn)品2 在零售渠道的需求函數(shù)分別為：

式中：a0表示產(chǎn)品1 的直銷渠道市場基礎(chǔ)；a1表示產(chǎn)品1 的零售渠道市場基礎(chǔ)；a2表示產(chǎn)品2 的市場基礎(chǔ)；bi（i=0，1，2）表示產(chǎn)品自身價格的敏感性，自身價格敏感性與品牌忠誠度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，隨著品牌忠誠度增加，自身價格變得不那么敏感；β 表示產(chǎn)品1 在直銷渠道和零售渠道間的交叉價格敏感參數(shù)，反映的是產(chǎn)品1 的渠道替代程度；r1表示直銷渠道產(chǎn)品1 與產(chǎn)品2的互補(bǔ)程度，r2表示零售渠道產(chǎn)品1 與產(chǎn)品2 的互補(bǔ)程度。假設(shè)以下條件成立：

假設(shè)1：0＜c1＜p0，0＜c1＜w1＜p1，0＜c2＜w2＜p2；

假設(shè)2：0≤β＜bi，0＜γj＜bi，其中i=0，1，2和j=1，2；

假設(shè)3:b2γ（13b1γ1-4βγ2），（2b2β+γ1γ2）2-（b0b2-）＞2b2（2βγ1γ2+b2β2+b1-2b0b1b2+2b0）；

假設(shè)4：2b0（b1b2-）＜2βγ1γ2+b2β2+b1，（2b1b2-）（2βγ1γ2+b2β2+b1-2b0b1b2+2b0）＞（-2b1βγ2-2b2β2）（b0b2-）.

假設(shè)1 保證了供應(yīng)鏈各成員有利可圖；假設(shè)2 表示產(chǎn)品自身價格對需求量的影響大于其他產(chǎn)品價格的影響；假設(shè)3 和假設(shè)4 保證了本文所建立模型中的利潤函數(shù)的凹性。

基于以上描述和假設(shè)，制造商1、制造商2 和零售商的利潤函數(shù)分別建立如下：

2 模型建立及主要結(jié)果

在實際供應(yīng)鏈系統(tǒng)中，不同企業(yè)間規(guī)模大小、對市場信息的掌控能力、議價能力等都存在差異，從而導(dǎo)致企業(yè)間市場權(quán)力的不同，因此企業(yè)在進(jìn)行決策時出現(xiàn)先后次序不同。本節(jié)利用博弈理論，分別建立了兩個制造商主導(dǎo)的Stackelberg 博弈模型和一個Nash博弈模型。制造商1 占主導(dǎo)的Stackelber 博弈定價，M1-M2-R 模型，制造商2 占主導(dǎo)的Stackelberg 博弈定價，M2-M1-R 模型和Nash 博弈定價。

2.1 M1-M2-R 模型

在博弈模型下，開辟雙渠道銷售產(chǎn)品的制造商1擁有較大的市場權(quán)力，首先決策產(chǎn)品1 的直銷價格p0和批發(fā)價格w1，其次，制造商2 觀察到制造商1 給出的產(chǎn)品1 的價格后，決策產(chǎn)品2 的批發(fā)價格。最后，觀察到產(chǎn)品1 的直銷價格和兩種產(chǎn)品的批發(fā)價格后，零售商決策產(chǎn)品1 和產(chǎn)品2 的零售價格。供應(yīng)鏈各成員以自身利潤最大化為目標(biāo)。

定理1在M1-M2-R 模型下，產(chǎn)品1 的批發(fā)價格、直銷價格和零售價格及產(chǎn)品2 的批發(fā)價格和直銷價格為：

證明：將（1）式和（2）式代入（6）式，得：

πr（p1，p2）關(guān)于 p1和 p2一階偏導(dǎo)數(shù)分別為：

由假設(shè)易知，-2b1＜ 0，|H|= 4b1b2- 4γ1γ2＞ 0，即黑塞矩陣負(fù)定，故 πr（p1，p2）是關(guān)于（p1，p2）的聯(lián)合凹函數(shù)，從而存在唯一的最大值點。令（13）式和（14）式為零，解方程組即可求得零售商的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為：

將（3）式、（15）式和（16）式代入（5）式，計算可得出 πm（2w2）關(guān)于w2的一階和二階導(dǎo)數(shù)為：

由假設(shè) 2 可知，-b2＜ 0，易知 πm2（w2）的二階導(dǎo)數(shù)小于零，故πm2（w2）是關(guān)于w2的凹函數(shù)，因此πm2（w2）存在唯一的最大值點。令（17）式等于零，求解可得：

將（1）式、（2）式、（15）式、（16）式代入（4）式，可得πm1（p0，w1）。πm1（p0，w1）關(guān)于 p0和 w1的一階偏導(dǎo)數(shù)為：

由假設(shè) 3 易知 A1＜ 0，|H|=A1A4-＞ 0，即黑塞矩陣是負(fù)定的。因此，πm1（p0，w1）是關(guān)于（p0，w1）的聯(lián)合凹函數(shù)，從而存在唯一的最大值點。

令（20）-（21）式為零，解方程組即可得產(chǎn)品 1 最優(yōu)直銷價格和批發(fā)價格。

把（22）式-（23）式分代入（15）式、（16）式和（19）式，即得（9）式、（10）式和（11）式。

2.2 M2-M1-R 模型

本小節(jié)假設(shè)制造商2 擁有較強(qiáng)的市場權(quán)力，在M2-M1-R 情形下，制造商2 首先決策產(chǎn)品2 的批發(fā)價格w2，觀察到產(chǎn)品2 的批發(fā)價格后，制造商1 決策產(chǎn)品1 的直銷價格p0和批發(fā)價格w1，最后零售商觀察到產(chǎn)品1 的直銷價格和兩種產(chǎn)品的批發(fā)價格后，決策產(chǎn)品1 和產(chǎn)品2 的零售價格。供應(yīng)鏈各成員以自身利潤最大化為目標(biāo)進(jìn)行價格決策。

定理2在M2-M1-R 模型下，產(chǎn)品1 的批發(fā)價格、零售價格和直銷價格及產(chǎn)品2 的批發(fā)價格和直銷價格為：

式中：

證明：由定理 1 可知（15）式和（16）式即零售商的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)。將（3）式、（15）式和（16）式代入（4）式，求得關(guān)于p0和w1的一階偏導(dǎo)數(shù)分別為：

由假設(shè) 4 可知，A6＜ 0，|H|=-b1A6- β2＞ 0，即黑塞矩陣是負(fù)定的，因此πm1（p0，w1）是關(guān)于（p0，w1）的聯(lián)合凹函數(shù)。令（29）式和（30）式等于零，解方程組即可得制造商1 的最優(yōu)直銷價格和批發(fā)價格。

將（3）式、（15）式、（16）式、（31）式和（32）式代入（5）式，計算得出關(guān)于w2的一階和二階導(dǎo)數(shù)為：

由假設(shè) 4 可知，A10＜0，因此πm2（w2）是關(guān)于 w2的凹函數(shù)，從而 πm2（w2）存在唯一的最大值點。令（33）式為零，解得（27）式。將（27）式分別代入（15）式、（16）式、（31）式和（32）式，得（23）式、（25）式、（26）式和（27）式。

2.3 Nash 博弈模型

Nash 博弈情形主要是與市場上中小等規(guī)模的制造商和零法售商相關(guān)，他們擁有相同的市場權(quán)力，可以同時獨立以自身利潤最大化為目標(biāo)決策各自產(chǎn)品的價格。

定理3在Nash 博弈模型下，制造商2 和制造商1 的最優(yōu)批發(fā)價格，制造商1 的最優(yōu)直銷零售價格，產(chǎn)品1 和產(chǎn)品2 的最優(yōu)零售價格分別為：

式中：

證明：由（15）式、（16）式、（19）式、（31）式和（32）式分別給出了產(chǎn)品1 和產(chǎn)品2 的零售價格、制造商2和制造商1 的批發(fā)價格、制造商1 直銷價格的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)。聯(lián)立以上5 式，就可得各自的納什均衡解。

3 數(shù)值分析

由于本文所得到最優(yōu)定價策略和最大利潤解析形式的復(fù)雜性，我們無法直接進(jìn)行比較，得到有價值的管理啟示。因此，本節(jié)通過數(shù)值分析產(chǎn)品自身價格敏感性參數(shù) bi（i=0，1，2）、消費者渠道忠誠度 β 和產(chǎn)品間的互補(bǔ)程度γi（i=1，2）對最優(yōu)價格和利潤的影響。

圖1-圖6 分別給出了產(chǎn)品自身價格敏感性參數(shù)bi（i=0，1，2）對3 個模型下最優(yōu)價格的影響。

圖2 參數(shù)b0 對最優(yōu)批發(fā)價格的影響Fig.2 Impact of parameters b0 on the optimal wholesale price

圖3 參數(shù)b1 對最優(yōu)零售價格的影響Fig.3 Impact of parameters b1 on the optimal retail price

圖4 參數(shù)b1 對最優(yōu)批發(fā)價格的影響Fig.4 Impact of parameters b1 on the optimal wholesale price

圖5 參數(shù)b2 對最優(yōu)零售價格的影響Fig.5 Impact of parameters b2 on the optimal retail price

圖6 參數(shù)b2 對最優(yōu)批發(fā)價格的影響Fig.6 Impact of parameters b2 on the optimal wholesale price

圖1 和圖2 中的參數(shù)取值為：a0= a1= a2= 180，c1= c2= 25，b1= b2= 2，β = 0.5，γ1= γ2= 0.3，b0∈（1，5）。圖 3 和圖 4 中的參數(shù)取值為：a0=a1=a2=180，c1= c2= 25，b0= b2= 2，β = 0.5，γ1= γ2= 0.3，b1∈（1，5）。圖 5 和圖 6 中的參數(shù)取值為：a0=a1=a2=180，c1=c2=25，b0=b1=2，β =0.5，γ1= γ2=0.3，b2∈（1，5）。參數(shù)取值均滿足模型假設(shè)條件。通過對圖1-圖6 分析可得結(jié)論1.

結(jié)論1：

結(jié)論 1（1）和（2）說明，在 3 種情形下，隨著產(chǎn)品 1的自身敏感性參數(shù)b0和b1減小時，即當(dāng)消費者對產(chǎn)品1 的品牌忠誠度提高時，該產(chǎn)品的最優(yōu)價格（直銷價格、零售價格、批發(fā)價格）會相應(yīng)增加，而產(chǎn)品2 的最優(yōu)價格（零售價格、批發(fā)價格）會相應(yīng)降低。結(jié)論1（3）說明，在3 種情形下，隨著產(chǎn)品2 的自身敏感性參數(shù)b2減小時，即當(dāng)消費者對產(chǎn)品2 的品牌忠誠度提高時，該產(chǎn)品的最優(yōu)價格（直銷價格、零售價格）會相應(yīng)提高，而產(chǎn)品1 的最優(yōu)批發(fā)價格和零售價格會相應(yīng)降低，最優(yōu)直銷價格會相應(yīng)提高。

同樣通過數(shù)值算例得到參數(shù) β、γ1、γ2對 3 個模型下最優(yōu)價格的影響。

結(jié)論2：

結(jié)論2（1）說明，在3 種情形下，當(dāng)產(chǎn)品1 的渠道替代程度增大時，該產(chǎn)品的最優(yōu)價格（直銷價格、零售價格、批發(fā)價格）會相應(yīng)提高，而產(chǎn)品2 的最優(yōu)價格（零售價格、批發(fā)價格）會相應(yīng)降低。結(jié)論2（2）和（3）說明，在3 種情形下，提高產(chǎn)品間的互補(bǔ)程度，產(chǎn)品的最優(yōu)價格（直銷價格、零售價格、批發(fā)價格）會相應(yīng)降低。

結(jié)論3：

結(jié)論3（1）說明，在3 種情形下，增大產(chǎn)品自身敏感性參數(shù)b0和b1，即降低產(chǎn)品1 的品牌忠誠度或者提高產(chǎn)品2 的品牌忠誠度，可以降低產(chǎn)品1 的直銷利潤。結(jié)論3（2）說明，提高直銷渠道產(chǎn)品1 與產(chǎn)品2 的互補(bǔ)程度，有利于提高產(chǎn)品1 的直銷利潤。降低零售渠道產(chǎn)品1 與產(chǎn)品2 的互補(bǔ)程度和產(chǎn)品的渠道替代程度，有利于提高產(chǎn)品1 的直銷利潤。

結(jié)論4：

結(jié)論4（1）說明，在3 種情形下，增大產(chǎn)品自身敏感性參數(shù)b0和b1或者減小產(chǎn)品2 的自身價格敏感性參數(shù)b2，即降低產(chǎn)品1 的品牌忠誠度或者提高產(chǎn)品2的品牌忠誠度，可以降低產(chǎn)品1 的零售利潤。結(jié)論4（2）說明，降低產(chǎn)品的互補(bǔ)程度或者提高產(chǎn)品的渠道替代程度，有利于提高產(chǎn)品1 的零售利潤。

結(jié)論5：

結(jié)論 5（1）說明，在 3 種情形下，減小產(chǎn)品 1 的自身價格敏感性參數(shù)b0和b1或者減小產(chǎn)品2 的自身價格敏感性參數(shù)b2，即提高產(chǎn)品1 的品牌忠誠度或者降低產(chǎn)品2 的品牌忠誠度，可以提高制造商2 的利潤。結(jié)論5（2）說明，降低產(chǎn)品的互補(bǔ)程度和產(chǎn)品的渠道替代程度，有利于提高制造商2 的利潤。

結(jié)論6：

結(jié)論7（1）說明，在3 種情形下，增加產(chǎn)品的自身價格敏感性參數(shù)，即降低產(chǎn)品的品牌忠誠度可以提高零售商直銷渠道的利潤。結(jié)論6（2）說明，提高直銷渠道產(chǎn)品1 與產(chǎn)品2 的互補(bǔ)程度或者產(chǎn)品的渠道替代程度，有利于提高零售商直銷渠道的利潤。降低零售渠道產(chǎn)品1 與產(chǎn)品2 的互補(bǔ)程度有利于提高零售商直銷渠道的利潤。

結(jié)論7：

結(jié)論7（1）說明在3 種情形下，增加產(chǎn)品1 的自身價格敏感性參數(shù)或者減小產(chǎn)品2 的自身價格敏感性參數(shù)，即降低產(chǎn)品1 的品牌忠誠度或者提高產(chǎn)品2 的品牌忠誠度可以提高零售商零售渠道的利潤。結(jié)論7（2）說明降低產(chǎn)品的互補(bǔ)程度或者產(chǎn)品的渠道替代程度，有利于提高零售商零售渠道的利潤。

4 結(jié) 論

本文研究了雙渠道供應(yīng)鏈中存在互補(bǔ)產(chǎn)品時，不同制造商的Stackelberg 和Nash 博弈定價問題。分別建立了不同制造商占主導(dǎo)的Stackelberg 博弈定價和Nash 博弈定價模型，并對模型進(jìn)行了求解和分析。進(jìn)一步分析消費者對渠道的忠誠度以及產(chǎn)品的互補(bǔ)程度對產(chǎn)品最優(yōu)價格和利潤的影響。得出的結(jié)論是：①當(dāng)消費者對產(chǎn)品1 的品牌忠誠度提高時，產(chǎn)品1 的最優(yōu)價格（直銷價格、零售價格、批發(fā)價格）會相應(yīng)提高，而產(chǎn)品2 的最優(yōu)價格（零售價格、批發(fā)價格）會相應(yīng)降低。②當(dāng)產(chǎn)品的互補(bǔ)程度提高時，產(chǎn)品的最優(yōu)批發(fā)價格會相應(yīng)降低。③對于開辟直銷渠道的制造商而言，提高其產(chǎn)品1 的品牌忠誠度不利于提高其利潤。④降低產(chǎn)品的互補(bǔ)程度可以增加制造商2 的利潤。⑤提高產(chǎn)品1 的品牌忠誠度和產(chǎn)品的互補(bǔ)程度可以提高零售商的利潤。對本文的研究還可進(jìn)一步考慮生產(chǎn)兩種不同互補(bǔ)產(chǎn)品的制造商都開辟直銷渠道的情形。