周潘 岳岳成雪 何婧

【摘要】本文給出了高等代數(shù)教材中一道課后習(xí)題的詳細(xì)解答，結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)提出本題的講解技巧和方法，從而加深學(xué)生對(duì)該題的理解，幫助學(xué)生鞏固相關(guān)知識(shí).

【關(guān)鍵詞】n次單位方根;教學(xué)思考;因式分解

【基金項(xiàng)目】湖南省普通高校教學(xué)改革研究項(xiàng)目（湘教通[2018]436號(hào)）.

一、問(wèn)題的提出

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編的高等代數(shù)第四版第一章課后習(xí)題第26題：將多項(xiàng)式xn-1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)和實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解.下面是眾多參考書(shū)中的解答方法.

對(duì)上述的解答過(guò)程，很多學(xué)生表示看不太懂，有的學(xué)生表示即使看懂了也不明白該如何去思考這類問(wèn)題，無(wú)法做到觸類旁通.學(xué)生之所以存在這樣的問(wèn)題，往往是由于對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解不夠透徹.本題涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，比如，代數(shù)基本定理，實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的因式分解唯一性定理，重根的性質(zhì)，不可約多項(xiàng)式的定義等等.這是一道綜合題，對(duì)學(xué)生而言，不僅要知道該題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)有哪些，還要知道這些知識(shí)點(diǎn)在該類問(wèn)題中是如何應(yīng)用的.特別是對(duì)部分省市的學(xué)生，他們的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容并沒(méi)有涉及復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)或是作為選修課的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)的掌握較為模糊，因此，在求解本題時(shí)往往陷入瓶頸.作為任課教師應(yīng)考慮如何講解本題，做到既能讓學(xué)生知其然而又知其所以然，與此同時(shí)，由于課堂時(shí)間有限，又不能將本題涉及的所有知識(shí)點(diǎn)都一一講解.基于此，本文將探索作為任課教師如何利用有限的課堂時(shí)間對(duì)本題進(jìn)行講解，同時(shí)讓不同學(xué)習(xí)背景的學(xué)生都能明白和理解本題及相關(guān)知識(shí).

二、解答的詳細(xì)剖析

（一）復(fù)數(shù)的預(yù)備知識(shí)

針對(duì)有些學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)的情況，教學(xué)中，教師首先要對(duì)復(fù)數(shù)的基本概念等相關(guān)內(nèi)容做一些補(bǔ)充.

形如a+bi的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中a，b是實(shí)數(shù)，i2=-1.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi，（a，b∈R），這一表示形式稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，a與b分別叫作復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.稱a2+b2為復(fù)數(shù)z=a+bi的模或長(zhǎng)度，記為|Z|.當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).

從復(fù)數(shù)相等的定義知道，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）唯一確定.而有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因此，復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以構(gòu)建一一對(duì)應(yīng).于是復(fù)數(shù)z=a+bi可以看作向量OP，如圖所示.向量OP可以由其大小和方向決定：OP的大小為|OP|=r=a2+b2，其方向?yàn)镺P的傾斜角θ.

（二）因式分解的知識(shí)

由因式分解唯一性定理可知，次數(shù)大于等于1的多項(xiàng)式，在實(shí)數(shù)域上能唯一分解成一些一次因式和二次不可約因式的乘積.在復(fù)數(shù)域上能唯一分解成一些一次因式的乘積.

由一次因式與根的關(guān)系，只需要找出xn-1在復(fù)數(shù)域上的所有根就能知道該多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上的因式分解，而在實(shí)數(shù)域上的因式分解只需要對(duì)其實(shí)根進(jìn)行討論.換句話說(shuō)，在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的因式分解，最終都轉(zhuǎn)化為對(duì)其根進(jìn)行研究.

三、教學(xué)反思

本題為考研?？碱愋皖}，該類題目涉及知識(shí)點(diǎn)多，解題過(guò)程復(fù)雜，課堂上沒(méi)有足夠的時(shí)間進(jìn)行詳細(xì)講解.大多授課教師在實(shí)際授課中往往要求學(xué)生直接記住n次單位根，或是只給出解題思路方法，更有甚者選擇不講而讓學(xué)生課后找資料自行消化.然而，很多學(xué)生沒(méi)有能力獨(dú)自解決問(wèn)題，或是知難而棄，同時(shí)也大大降低學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，導(dǎo)致大部分學(xué)生沒(méi)有學(xué)到應(yīng)掌握的知識(shí).針對(duì)這一情況，授課教師可以采用微課的教學(xué)手段，將該題的講解過(guò)程錄制成微課視頻提供給學(xué)生，讓學(xué)生利用課余時(shí)間觀看，再利用課堂時(shí)間對(duì)學(xué)生觀看講解視頻后提出的問(wèn)題有針對(duì)性地進(jìn)行解答.如此，既節(jié)省了課堂時(shí)間，又能保證學(xué)生對(duì)該題充分理解，同時(shí)又照顧到了不同學(xué)習(xí)背景的學(xué)生，由此達(dá)到教育要促進(jìn)全體學(xué)生共同發(fā)展的理念.

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