耿俊

【摘要】本文通過研究?jī)?nèi)積向量空間中任意兩個(gè)線性子空間的投影與反射乘積的可交換性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù);實(shí)例探究;創(chuàng)新能力

高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)以及統(tǒng)計(jì)學(xué)等專業(yè)開設(shè)的一門核心基礎(chǔ)課程，該課程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理、空間直觀、運(yùn)算能力具有重要作用，鑒于其高度的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)生很難真正領(lǐng)會(huì)到代數(shù)的思想方法，更不容易激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣.因此，在教學(xué)過程中，如何培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)創(chuàng)新能力，是值得我們探索的問題.本文通過探討投影與反射乘積的交換性，使學(xué)生意識(shí)到創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的重要性.

設(shè)l1和l2是R2中兩條直線，P是R2上的任意一點(diǎn).考慮P點(diǎn)先以l1為軸反射，然后反射點(diǎn)再以l2為軸反射的變換rl2l1與P點(diǎn)先以l2為軸反射，然后反射點(diǎn)再以l1為軸反射的變換rl1l2.試問：滿足什么條件，反射rl2l1和rl1l2的效果相同？顯然，當(dāng)且僅當(dāng)l1⊥l2或l1=l2時(shí)，這兩種反射的效果相同.同樣，可以研究R3中任意一點(diǎn)對(duì)R3的直線、平面或一條直線與一個(gè)平面混合情況反射的順序.

下面，我們將上述問題的探討推廣到一般內(nèi)積向量空間中的任意兩個(gè)線性子空間上.

一、子空間上的投影

設(shè)U是一個(gè)內(nèi)積向量空間，V是U的線性子空間.對(duì)u∈U，u可以唯一分解成u=pV（u）+u′，其中pV（u）∈V是u到V上的投影，u′⊥V，即U=VV⊥.同時(shí)，投影變換pV滿足下列基本性質(zhì)[1，2]：

通過上述實(shí)例分析可知，在高等代數(shù)課程的教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容，深刻理解知識(shí)的來龍去脈，揭示課程的本質(zhì)的有機(jī)聯(lián)系，這樣既可以讓學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，又能夠提高學(xué)生分析問題的能力，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)創(chuàng)新能力.

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