李浩光，劉靜

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

1 相關(guān)知識(shí)

這篇文章主要研究的是線性Fokker-Planck方程的柯西問(wèn)題解的適定性. 考慮線性Fokker-Planck方程的柯西問(wèn)題：

(1)

其中f=f(t,x,v)取決于時(shí)間t≥0，位置變量x∈3，速度變量v∈3.

其中：

2 定理1的證明

定理1對(duì)于00,滿足：

‖f‖L∞([0,T];H(1,0)(6))+‖vf‖L2([0,T];H(1,0)(6))≤

(2)

我們將定理1的證明分為兩部分，首先利用Hahn-Banach延拓定理，在Sobolev空間證明命題1，從而證明方程存在唯一弱解，然后在速度變量上對(duì)弱解的正則性進(jìn)行估計(jì).

2.1 解的局部存在唯一性

命題1對(duì)于0

滿足：

證明我們考慮伴隨算子：

P*=-?t-v·x-Δv-v·v,

Re(ψ(t),P*ψ(t))(1,0)=

Re(ψ,Δvψ)(1,0)-Re(ψ,v·vψ)(1,0)=

Re(v·xψ,ψ)(1,0)-Re(ψ,v·vψ)(1,0).

因?yàn)閷?duì)于0≤t≤T，可知：

Re(v·?xψ,ψ)(1,0)=0,v·v=3.

利用Cauchy-Schwartz不等式，可以得到：

2‖ψ‖(1,0)‖P*ψ‖(1,0),

2e6t‖ψ‖(1,0)‖P*ψ‖(1,0).

因?yàn)棣?T)=0,我們有：

2e6T‖ψ‖L∞([0,T];H(1,0)(6))‖P*ψ‖L1([0,T];H(1,0)(6)),

所以：

‖ψ‖L∞([0,T];H(1,0)(6))≤

2e6T‖P*ψ‖L1([0,T];H(1,0)(6)).

(3)

接下來(lái)，考慮向量子空間：

ψ(T)=0}?L1([0,T];H(1,0)(6)),

因?yàn)閒0∈H(1,0)(6)，我們可以定義線性函數(shù)：

Q:→,

u=P*ψ|→(f0,ψ(0))(1,0),

|Q(u)|≤‖f0‖(1,0)‖ψ(0)‖(1,0)≤

‖f0‖(1,0)‖ψ‖L∞([0,T];H(1,0)(6))≤

2e6T‖f0‖(1,0)‖P*ψ‖L1([0,T];H(1,0)(6))=

2e6T‖f0‖(1,0)‖u‖L1([0,T];H(1,0)(6)).

利用Hahn-Banach定理，Q可以在L1([0,T];H(1,0)(6))推廣為連續(xù)線性形式，且其范數(shù)小于根據(jù)Riesz表示定理，存在唯一的f∈L∞([0,T];H(1,0)(6))滿足：

使得：

?u∈L1([0,T];H(1,0)(6)),

Q(P*ψ)=

因此f∈L∞([0,T];H(1,0)(6))是柯西問(wèn)題的唯一弱解.假設(shè)是柯西問(wèn)題的另一個(gè)弱解，滿足：

2.2 在速度變量上的正則性估計(jì)

這部分將估計(jì)不等式(2)，從而完成定理1的證明.

利用命題1，可以得到柯西問(wèn)題(1)有唯一弱解：

我們將證明這個(gè)解滿足不等式(2). 定義：

fδ=(1+δDv)-1f,0<δ≤1,

利用文獻(xiàn)[6]第5.9節(jié)中的定理3，可以得到映射：

是絕對(duì)連續(xù)的，且有：

將上述柯西問(wèn)題(1)的方程與(1+δDv)-2Dv2f作內(nèi)積并積分可得：

0=(?tf+v·xf-Δvf-v·(vf),

Re(v·xDvfδ,Dvfδ)L2-

Re(Δvf,(1+δDv)-2Dv2f)L2-

Re(v·(vDvfδ),Dvfδ)L2.

因?yàn)閷?duì)于所有函數(shù)ψ∈S(6),有：

Re(v·xψ,ψ)L2=0,

于是有：

由Gronwall不等式，對(duì)于所有0≤t≤T,存在一個(gè)正常數(shù)c>0，使得：

當(dāng)δ→0時(shí)，可得：

‖f‖L∞([0,T];H(1,0)(6))+‖vf‖L2([0,T];H(1,0)(6))≤

定理1得證.