楊占英，李靜文，楊璽

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在數(shù)據(jù)優(yōu)化、信號(hào)處理、聯(lián)想記憶、并行計(jì)算、模式識(shí)別、人工智能等方面有著非常重要的應(yīng)用，而其主要因素是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)行為，特別是穩(wěn)定性.因此，分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題已經(jīng)成為目前最活躍的研究課題之一.隨著研究的不斷擴(kuò)大，多種不同的穩(wěn)定性不斷涌現(xiàn)，例如：指數(shù)穩(wěn)定性、有限穩(wěn)定性、一致穩(wěn)定性和Mittag-Leffler穩(wěn)定性等.Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是由Cohen和Grossberg在1983年構(gòu)造的，該模型包含了熟知的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因此更具有一般性，它在信號(hào)處理、聯(lián)想記憶和最優(yōu)化問題等方面有著非常重要的應(yīng)用價(jià)值.對(duì)于Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問題，已有大量的文獻(xiàn)進(jìn)行了深入的研究.然而，這些研究所涉及的主要是整數(shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).由于分?jǐn)?shù)階微積分理論的復(fù)雜性，這些結(jié)論并不能完全推廣至分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因此對(duì)于分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的研究是很有必要的.目前，已經(jīng)有少量的文獻(xiàn)對(duì)于分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性進(jìn)行了不同的研究.例如，ZHENG 等在文獻(xiàn)[1]中研究了一類分?jǐn)?shù)階憶阻Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定性和同步問題；YANG 和LI 在文獻(xiàn)[2]中研究了一類分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問題；WAN和WU在文獻(xiàn)[3]中研究了一類有偏差變?cè)姆謹(jǐn)?shù)階模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Mittag-Leffler穩(wěn)定性問題.

本文對(duì)于階數(shù)在(0,0.5]和(0.5,1)的分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到有限時(shí)間穩(wěn)定的問題分別給出了一個(gè)充分條件，通過MATLAB仿真驗(yàn)證了其有效性.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

首先回顧C(jī)aputo導(dǎo)數(shù)的定義和一些重要不等式.

定義1[4]f(t)是R上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于任意的α∈[0,+∞),f(t)的α階積分定義為:

定義2[4]假設(shè)n∈Z+,x(t)∈Cm([0,+∞),Rn)且m-1<α

引理1[5]設(shè)m∈Z+且m-1<α

特別地，當(dāng)p=q=2，則退化為Cauchy-Schwartz不等式，即：

引理3[6]假設(shè)σ<1且σ≠0.對(duì)于0

2 模型介紹

假設(shè)n為網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元個(gè)數(shù)，x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T表示t時(shí)刻的狀態(tài)向量,fj和gj分別表示在t和t-τ時(shí)的激勵(lì)函數(shù),αi(xi(t))是放大函數(shù)，βi(xi(t))是行為函數(shù)，τ表示時(shí)滯，aij,bij分別表示連接權(quán)重，Ii表示第i個(gè)神經(jīng)元的外部輸入.

分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以用如下微分方程來描述:

(1)

其中0<α<1,i=1,2,…,n.

記C([-τ,0],Rn)是定義在區(qū)間[-τ,0]上的全體n維連續(xù)向量函數(shù)的全體.系統(tǒng)(1)的初始條件為:

x(t)=φ(t),t∈[-τ,0],

(2)

假設(shè)系統(tǒng)(1)滿足以下條件:

(H3) 對(duì)于i=1,2,…,n,激勵(lì)函數(shù)fj和gj滿足Lipschitz條件,即:存在常數(shù)ξj>0和ηj>0滿足|fj(x)-fj(y)|≤ξj|x-y|,|gj(x)-gj(y)|≤ηj|x-y|,?x,y∈R;

引理5[8]假設(shè)條件(H1)～(H4)成立，則系統(tǒng)(1)存在唯一的平衡點(diǎn).

定義3 假設(shè)條件(H1)～(H4)成立，δ和ε是兩個(gè)任意正常數(shù)且δ<ε，x*是系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)，x(t)為系統(tǒng)(1)滿足條件(2)的一個(gè)解.如果‖φ-x*‖<δ,那么:

‖x(t)-x*‖<ε,?t∈[0,T],

3 主要結(jié)果

對(duì)于0<α≤0.5和0.5<α<1，以下分別給出系統(tǒng)(1)達(dá)到有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件.

定理1假設(shè)條件(H1)～(H4)成立，給定兩個(gè)任意正常數(shù)δ和ε，且δ<ε.當(dāng)0.5<α<1時(shí)，若:

其中:

則系統(tǒng)(1)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

證明假設(shè)x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T是系統(tǒng)(1)的滿足初始條件(2)的一個(gè)解，x*是系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)，則有:

由Cauchy-Schwartz不等式得:

‖z(t)‖≤

則有:

‖z(t)‖≤

其中：

注意到t∈[-τ,0]且‖φ(0)‖≤‖φ‖=supθ∈[-τ,0]‖φ(θ)‖,則有:

從而:

令u0(t)=‖φ‖e-t+γ2‖φ‖,ω(t)=(γ1+γ2e-t),u(t)=e-t‖z(t)‖,v(t)=1,則由引理3和引理4得:

W(t)=e-(γ1+γ2e-τ)2t,

所以:

‖z(t)‖e-t≤(‖φ‖e-t+γ2‖φ‖)+

(‖φ‖+γ2‖φ‖)2e(γ1+γ2e-τ)2t,

從而‖z(t)‖≤‖φ‖{1+γ2et+2(1+

γ2)e[(γ1+γ2e-τ)2+1]t}.

其中:

則系統(tǒng)(1)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

定理3的證明與定理2的類似，在此從略.

4 數(shù)值仿真

在本節(jié)中，我們給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)來證實(shí)主要結(jié)果的正確性.

考慮如下分?jǐn)?shù)階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型:

(3)

β1(x1)=1.25x1,β2(x2)=3x2,β3(x3)=2.5x3,

a11=0.2,a12=0.1,a13=-0.1,

a21=0.25,a22=-0.15,a23=-0.1,

a31=-0.1,a32=0.1,a33=0.2,

b11=-0.1,b12=0.1,b13=0.2,

b21=0.15,b22=-0.15,b23=-0.1,

b31=0.15,b32=-0.15,b33=0.25,

I1=0.0012,I2=0.0015,I3=0.0050,

fj(xj)=gj(xj)=0.02(|xj+1|-|xj-1|).

通過計(jì)算,可得:

從而系統(tǒng)(3)有唯一的平衡點(diǎn)x*,且滿足如下方程組:

其中初值為x(t)=(0.003,0.0025,0.004)T,?t∈[-0.1,0].取δ=0.01,ε=1，則系統(tǒng)(3)達(dá)到有限時(shí)間穩(wěn)定的時(shí)間T=2.5824.圖1展示了系統(tǒng)(3)的狀態(tài)變量.

圖1 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.1 Time response curve of the system

5 結(jié)論

本文主要討論了一類分?jǐn)?shù)階時(shí)滯Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定性問題.首先，我們給出了一個(gè)系統(tǒng)平衡點(diǎn)存在且唯一的充分條件;然后，對(duì)于階數(shù)在區(qū)間(0,0.5]和(0.5,1)內(nèi)分別給出了一個(gè)保證系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件.我們的證明方法主要是利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、H?lder不等式和推廣的Gronwall不等式.特別地,我們得到的充分條件是一些比較容易計(jì)算的代數(shù)不等式;最后，運(yùn)用MATLAB仿真證實(shí)了主要結(jié)果的有效性.