段汕，周奇魚，劉丹

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

基于固定結(jié)構(gòu)元素的二值與灰值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法具有完整的理論體系和廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域[1]. SERRA[1]提出的結(jié)構(gòu)函數(shù)的思想將固定結(jié)構(gòu)元素擴展到SV的形式，使得相應(yīng)的形態(tài)算子在理論和方法上具備自適應(yīng)性. BOUAYNAYA N和SCHONFELD D在文獻[2,3]中詳細闡述了SV灰值形態(tài)學(xué)的一般理論,通過引入SV結(jié)構(gòu)函數(shù)，建立SV灰值形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子的基本形式，并研究了其相關(guān)性質(zhì)，從理論和方法推廣了固定結(jié)構(gòu)元素下的灰值形態(tài)學(xué)理論.對于彩色圖像或更一般的多值圖像形態(tài)學(xué)方法的研究一直以來都是眾多學(xué)者探索的目標(biāo).

將上述單值形態(tài)學(xué)理論擴展到彩色或多值圖像，首先需要解決的是向量數(shù)據(jù)序關(guān)系以及與之相關(guān)的極大、極小運算的建立.在這一領(lǐng)域，本文以SV灰值形態(tài)學(xué)理論為基礎(chǔ)，對SV彩色形態(tài)算子[4-6]進行了研究. 灰值圖像表現(xiàn)為單值函數(shù)的形式，而彩色圖像則是以向量函數(shù)的形式存在. 建立向量數(shù)據(jù)的序關(guān)系是研究彩色圖像形態(tài)學(xué)方法的關(guān)鍵. 有關(guān)向量數(shù)據(jù)序關(guān)系的建立已有眾多不同特點的方案[7-11]，如邊緣序、條件序和P序，以及基于空間填充曲線[4]的導(dǎo)出序等方法. 本文將在SV灰值形態(tài)學(xué)理論[2]的基礎(chǔ)上，通過引入雙方單值的序函數(shù)，建立彩色圖像模型空間上的導(dǎo)出序及與之相關(guān)的極大和極小運算，并以此為基礎(chǔ)，建立SV彩色形態(tài)算子的框架理論，對SV彩色形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子的基本形式和形態(tài)學(xué)基本性質(zhì)進行了研究推證. 研究表明，基于序函數(shù)的SV彩色形態(tài)算子，保留了SV灰值形態(tài)算子的基本性質(zhì)，其研究結(jié)果為多值形態(tài)學(xué)框架理論的發(fā)展提供了基礎(chǔ).

1 SV灰值形態(tài)算子

BOUAYNAYA N和SCHONFELD D在文獻[2,3]中對SV灰值形態(tài)算子進行了研究，給出了SV灰值形態(tài)基本算子的定義及等價形式,并建立了相關(guān)性質(zhì).

考慮歐氏空間E=Rn. 將灰值圖像空間Ω={f:f=f(x)∈R,x∈Rn}中的圖像f的支撐集記為：

Spt(f)={x∈E,f(x)≠-∞},

灰值圖像的SV結(jié)構(gòu)函數(shù)θ是一個從E|→U1的映射，其中U1是E上所有上半連續(xù)單值函數(shù)的全體.對任意的x∈E所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)記為θx，且對u∈E,θx(u)∈R. 結(jié)構(gòu)函數(shù)θ的轉(zhuǎn)置定義為：

(1)

對于灰值圖像f∈Ω，其四個基本的SV灰值形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉運算具有如下形式[2]：

εθ(f(x))=∧u∈Spt(θx)(f(u)-θx(u))=∨{v/θx+v≤f;v∈R},

(2)

(3)

Γθ(f)(x)=δθ(εθ(f(x)))=∨{θu+v≤f;(u,v)∈

E×R},

(4)

(5)

它們具有如下形態(tài)學(xué)性質(zhì)：

性質(zhì)1[2]設(shè)f,g∈Ω，則有：

(1)若f≤g，則εθ(f)≤εθ(g),δθ(f)≤δθ(g)(增性)；

(2)若θx(u)≥0，則δθ(f)≥f(擴展性)，εθ(f)≤f(非擴展性)；

(4)δθ(f)≤g?f≤εθ(g)(附益性).

性質(zhì)2[2]設(shè)f,g∈Ω，則有：

(1)若f≤g，則Γθ(f)≤Γθ(g),Φθ(f)≤Φθ(g)(增性)；

(2)Φθ(f)≥f(擴展性)，Γθ(f)≤f(非擴展性)；

2 彩色圖像空間

彩色圖像表現(xiàn)為三維向量函數(shù)的形式：f(x)={f1(x),f2(x),f3(x)}，其中fk∈Ω,k=1,2,3.彩色圖像f的支撐集記為[5]：

Supp(f)={x∈E,f1≠-∞,f2≠-∞,f3≠-∞}.

由灰值圖像SV結(jié)構(gòu)函數(shù)的定義，將彩色圖像空間中的向量結(jié)構(gòu)函數(shù)θ定義為E|→U3的映射，其中U3是E上的所有上半連續(xù)的三維向量函數(shù)的全體. 對任意的x∈E所對應(yīng)的三維SV向量結(jié)構(gòu)函數(shù)仍記為θx:

(6)

引入雙方單值的序函數(shù)h:R3→R,x→h(x)，其將彩色圖像中的每個像素點所對應(yīng)的向量數(shù)據(jù)映射成為標(biāo)量數(shù)據(jù)，利用實數(shù)集R上的序關(guān)系，可導(dǎo)出向量數(shù)據(jù)的序關(guān)系，稱其為基于h的導(dǎo)出序，即對任意的xi,xj∈R3，

xi≤xj?h(xi)≤h(xj)?h-1(h(xi))≤

h-1(h(xj)),

顯然，h關(guān)于向量及h-1關(guān)于標(biāo)量均是增性的.

基于h的向量數(shù)據(jù)的極大和極小運算形式如下：

∧xi=h-1(∧h(xi));∨xi=h-1(∨h(xi)),

或：

h(∧xi)=(∧h(xi));h(∨xi)=(∨h(xi)),

即向量數(shù)據(jù)的極大極小運算與序函數(shù)h是可交換的.

利用基于h的導(dǎo)出序，可以建立彩色圖像空間上的序關(guān)系:

f≤g?h(f)≤h(g)?f(x)≤g(x)?h(f(x))≤h(g(x)).

(7)

彩色圖像空間在序關(guān)系(7)的基礎(chǔ)上構(gòu)成一完備格.

3 SV彩色形態(tài)算子

在SV灰值形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉運算的定義及等價形式的基礎(chǔ)上，可建立基于序函數(shù)h的SV彩色形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子[5]：

εθ(f(x))=h-1[∧u∈Supph(θx)(h(f(u))-h(θx(u)))]=

h-1[∨u∈Supph(θx){α/(α+h(θx))≤h(f)}].

(8)

(9)

(10)

利用h函數(shù)，可得SV彩色形態(tài)開、閉算子Γθ，Φθ的等價形式：

證明由(8)、(9)、(10)式可得:

Γθ(f)(x)=δθ(εθ(f(x)))=

h-1{∨u∈Supph(θx){(∨t∈Supph(θu){α/α+h(θx(t))≤

(11)

證明由閉算子的定義，得:

Φθ(f)(x)=εθ(δθ(f(x)))=

h(f(t))})-h(θx(u))},

(12)

h(θx(u))]}.

在以上SV彩色形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子的定義及等價形式的基礎(chǔ)上，可以進一步研究SV彩色形態(tài)算子的相關(guān)形態(tài)學(xué)性質(zhì).

4 SV彩色形態(tài)算子的基本性質(zhì)

形態(tài)算子具有其基本的特點和性質(zhì)，這些性質(zhì)是實現(xiàn)形態(tài)算子功能的基本保證.以下對彩色圖像空間上的SV彩色形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子的性質(zhì)進行相關(guān)研究.

4.1 腐蝕和膨脹的性質(zhì)

性質(zhì)5(附益性)δθ(f)≤g?f≤εθ(g).

f(u)≤h-1[∧x∈E(h(g(x))-h(θu(x)))]，由此可得f(u)≤εθ(g(u)),即f≤εθ(g).

由此性質(zhì)可見SV彩色形態(tài)腐蝕和膨脹具有附益性，是一對附益算子.

性質(zhì)6(增性)若f≤g，則εθ(f)≤εθ(g)；δθ(f)≤δθ(g).

證明1)由(7)式可知：對任意的u∈E，有h(f(u))≤h(g(u)) ，可得：

h(f(u))-h(θx(u))≤h(g(u))-h(θx(u)),故∧u(h(f(u))-h(θx(u)))≤∧u(h(g(u))-h(θx(u))),即h-1(∧u(h(f(u))-h(θx(u))))≤h-1(∧u(h(g(u))-h(θx(u)))),從而εθ(f(x))≤εθ(g(x)).

2)由(7)式可得，對任意的u∈E，h(f(u))≤h(g(u)),可以得出：

該性質(zhì)表明SV彩色形態(tài)腐蝕和膨脹關(guān)于目標(biāo)對象都是增性算子.

性質(zhì)7(擴展性、非擴展性)如果h(θ)≥0，則有δθ(f)≥f;εθ(f)≤f.

證明1)由h(θ)≥0,則：

εθ(f(x))=h-1[∧u∈Supph(θx)(h(f(u))-h(θx(u)))]≤

h-1[h(f(u))-h(θx(u))]≤h-1(h(f(x)))=f(x).

2)由(2)式，當(dāng)h(θ)≥0時，有h(θ′)≥0,則：

此性質(zhì)說明在序函數(shù)h具有非負性的前提下，SV彩色形態(tài)腐蝕具有非擴展性，SV彩色形態(tài)膨脹具有擴展性.

δθ′(f).

該性質(zhì)表明，在序函數(shù)h具有奇性的條件下，SV彩色形態(tài)腐蝕與膨脹是一對對偶算子.

基于h變換的SV向量結(jié)構(gòu)函數(shù)的θ1，θ2序關(guān)系，具有如下形式：

θ1≤θ2?(θ1)x≤(θ2)x?h((θ1)x(u))≤h((θ2)x(u)),x,u∈E.

性質(zhì)9(結(jié)構(gòu)元素的增性)若θ1≤θ2，則εθ2(f)≤εθ1(f);δθ1(f)≤δθ2(f).

證明1)由θ1≤θ2，則對任意的α∈R及x,u∈E，有：

h((θ1)x(u))+α≤h((θ2)x(u))+α,

故對于f(x)∈U3，則有:

{α/h((θ2)x(u))+α≤h(f(u))}?{α/h((θ1)x(u))+α≤h(f(u))}，從而：

∨u∈Supph(θx){α/h((θ2)x(u))+α≤h(f(u))}≤

∨u∈Supph(θx){α/h((θ1)x(u))+α≤h(f(u))},

即：

h-1{∨u∈Supph(θx){α/h((θ2)x(u))+α≤h(f(u))}}≤h-1{∨u∈Supph(θx){α/h((θ1)x(u))+α≤h(f(u))}},

故εθ2(f(x))≤εθ1(f(x))；

故：

即δθ1(f)≤δθ2(f).

這個性質(zhì)說明SV彩色形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹關(guān)于動態(tài)結(jié)構(gòu)元θ分別是減性和增性的.

給定兩個結(jié)構(gòu)向量函數(shù)映射θ1和θ2，我們用εθ1(θ2)和δθ1(θ2)來表示結(jié)構(gòu)向量函數(shù)映射的腐蝕和膨脹，即對任意的x∈E，εθ1(θ2)(x)=εθ1(θ2(x))和δθ1(θ2)(x)=δθ1(θ2(x))，則有如下關(guān)系成立：

性質(zhì)10(結(jié)構(gòu)元素的復(fù)合性)εθ2[εθ1(f)]=εδθ1(θ2)(f),δθ2[δθ1(f)]=δδθ2(θ1)(f).

此性質(zhì)表明用不同結(jié)構(gòu)元對SV彩色圖像進行連續(xù)腐蝕(膨脹)可轉(zhuǎn)化為對結(jié)構(gòu)元進行連續(xù)膨脹(腐蝕)之后再腐蝕(膨脹).

4.2 開和閉的性質(zhì)

性質(zhì)11(增性)若f≤g，則Γθ(f)≤Γθ(g);Φθ(f)≤Φθ(g).

證明1)由性質(zhì)6可得：f(x)≤g(x)，則εθ(f)(x)≤εθ(g)(x)，從而可得：

δθ(εθ(f(x)))≤δθ(εθ(g(x))),

即Γθ(f)≤Γθ(g).

2)由膨脹的增性可知，對任意的x∈E，有δθ(f(x))≤δθ(g(x))，由性質(zhì)6腐蝕的增性可得：

εθ(δθ(f(x)))≤εθ(δθ(g(x))),

從而得Φθ(f)≤Φθ(g).

該性質(zhì)說明SV彩色形態(tài)學(xué)增性算子的復(fù)合仍是增性算子.

性質(zhì)12(擴展性、非擴展性)Γθ(f)≤f;Φθ(f)≥f.

證明1)由性質(zhì)3可知：

即Γθ(f)≤f.

2)又由性質(zhì)4可知：

即Φθ(f(x))≥f(x).

此性質(zhì)說明SV彩色形態(tài)開具有非擴展性，SV彩色形態(tài)閉具有擴展性.

證明由性質(zhì)8可得：

該性質(zhì)表明SV彩色形態(tài)開、閉運算是一對對偶算子.

Γθ(f)(x)=δθ(εθ(f(x)))≤f(x),

即δθ(εθ(δθ(f(x))))≤δθ(f(x)),

該性質(zhì)說明SV彩色形態(tài)開、閉算子都是冪等算子.

由以上這些性質(zhì)可以看出，基于h變換下所給出的SV彩色形態(tài)腐蝕、膨脹以及開、閉算子與SV灰值形態(tài)學(xué)理論在性質(zhì)上基本保持一致.

5 結(jié)語

本文在文獻[5]中所表示的SV彩色形態(tài)學(xué)腐蝕、膨脹的基礎(chǔ)上，借助文獻[2]中的SV灰值形態(tài)學(xué)理論，對SV彩色形態(tài)基本算子的理論進行深入研究，并探討了腐蝕、膨脹、開、閉這四種算子的相關(guān)性質(zhì).通過以上研究，可以清晰地看到，SV彩色形態(tài)算子和SV灰值形態(tài)算子在大多數(shù)性質(zhì)上基本保持一致，但SV彩色形態(tài)算子的核表示有待進一步研究.本工作實現(xiàn)了從SV灰值形態(tài)算子到SV彩色形態(tài)算子研究的擴展,有助于深入地理解SV彩色形態(tài)算子，以及整個數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本理論，為后續(xù)的研究奠定了理論基礎(chǔ).