章勤瓊 杜婭茹

【摘? ?要】推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論?！叭切蔚膬?nèi)角和”這一內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要內(nèi)容，但在現(xiàn)實教學(xué)中，不論是合情推理或是演繹推理，都存在一些問題。在推理能力的培養(yǎng)中，需要注意以下兩點：第一，關(guān)注學(xué)生的真實起點，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，真正將培養(yǎng)學(xué)生的推理能力落到教學(xué)實處;第二，處理好合情推理和演繹推理的關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】三角形;內(nèi)角和;合情推理;演繹推理

推理能力屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的十大核心概念之一，也是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中明確提出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。推理是形式邏輯術(shù)語，是一種重要的思維形式，即由一個或幾個已知命題推出一個新命題的思維形式。[1]推理在人們認(rèn)識客觀世界的過程中發(fā)揮著巨大的作用，要推理出正確的結(jié)論，需要有兩個條件，一是推理前提是真判斷，二是推理形式正確。[2]因此，只要推理前提為真，推理過程正確，結(jié)論就一定正確。

“三角形的內(nèi)角和”是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域一節(jié)很有代表性的經(jīng)典課例。從數(shù)學(xué)內(nèi)容來看，邊和角是三角形的重要屬性，屬于必須掌握的重要知識。更重要的是，這一內(nèi)容對于學(xué)生推理能力的培養(yǎng)有著非常重要的價值。教材通過“量角”“拼角”和“折角”等方式，讓學(xué)生經(jīng)歷說明三角形內(nèi)角和是180°的過程，這是一種合情推理①的方式?，F(xiàn)在很多教師的教學(xué)中，會在上述內(nèi)容之后加入演繹推理的內(nèi)容。

那么，對于小學(xué)生而言，三角形的內(nèi)角和是180°，應(yīng)該以怎樣的方式進行說明比較合適？合情推理和演繹推理在教學(xué)中又該如何落實？我們應(yīng)該對相關(guān)概念進行梳理，進而對教學(xué)有進一步的思考。

一、課堂上的合情推理“合情”嗎？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。[3]

一般來說，小學(xué)階段應(yīng)更關(guān)注學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)的過程。因此，實際教學(xué)會偏重于合情推理的內(nèi)容，或者說合情推理會多于演繹推理。[4]合情推理是數(shù)學(xué)家波利亞對歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結(jié)論不一定成立的推理）的特稱。它是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納、類比等推斷某些結(jié)果，是一種合乎情理、好像為真的推理。[5]

對小學(xué)生來說，三角形的內(nèi)角和這個內(nèi)容，有兩方面的學(xué)習(xí)價值。一是知道三角形內(nèi)角和是180°這個知識;二是經(jīng)歷探索三角形內(nèi)角和并進行說明的過程。但由于學(xué)習(xí)機會的增多，三角形內(nèi)角和是180°這個結(jié)論，很多學(xué)生都已經(jīng)知道。在知識性的結(jié)論已經(jīng)知道的情況下，這節(jié)課學(xué)生還需要獲得什么？對很多教師來說，這是比較難處理的事。事實上，已經(jīng)知道內(nèi)角和為180°，并不影響這節(jié)課的教學(xué)，可以考慮轉(zhuǎn)變教學(xué)重點，不放在探索內(nèi)角和的度數(shù)上，而是在已經(jīng)知道了內(nèi)角和是180°的情況下，有沒有辦法說明為什么內(nèi)角和是180°呢？

一般來說，“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)中都會有這樣幾個環(huán)節(jié)，先提出問題，然后經(jīng)歷觀察嘗試、猜想、驗證、一般化等過程。通常是讓學(xué)生通過量角得到內(nèi)角和接近180°，在此基礎(chǔ)上提出猜想“內(nèi)角和可能是180°”。接著就用多種方法進行驗證，比如剪下來拼一拼或者折一折等方法，驗證三個角剛好可以拼成180°。這是合情推理的過程，在猜想之后通過操作活動進行驗證，得到猜想的結(jié)果為真。

那么，如果以推理的要求來看上述過程，合情推理是否真的“合情”呢？筆者在一次聽課過程中，在量角驗證這一環(huán)節(jié)中，看到有學(xué)生在量出了兩個角分別是40°和70°后，利用180°減去這兩個角后，得到第三個角為70°，隨后又在求內(nèi)角和的時候?qū)⑦@三個角相加，得到180°。1學(xué)生這樣的操作當(dāng)然是有問題的，這與本節(jié)課推理能力培養(yǎng)的目標(biāo)是背道而馳的。無論哪一種推理，推理的每一步都是由作為前提的命題形式出發(fā)逐步得到作為結(jié)論的命題形式的過程。[6]也就是說，在推理的每一個步驟中，都需要清楚區(qū)分前提和結(jié)論。在本節(jié)課中，三角形的內(nèi)角和是180°并不是給出的前提，而是需要證明的結(jié)論。因此，學(xué)生要有這樣的意識，盡管已經(jīng)知道這一知識結(jié)論，但在推理的過程中不能作為前提循環(huán)使用。這是“量”這個環(huán)節(jié)最值得注意的地方，推理的前提意識會比量角產(chǎn)生的誤差要如何處理更值得關(guān)注。

同樣，在“拼角”這個環(huán)節(jié)，則需要特別關(guān)注推理的邏輯過程是否指向結(jié)論的得出。譬如，有一次在課堂上，看到學(xué)生將三角形的三個內(nèi)角拼成如圖1的樣子。當(dāng)問到這是在做什么的時候，學(xué)生說，我拼成了一條直線，是平角，是180°，所以三角形內(nèi)角和是180°。很顯然，學(xué)生在這里的操作只是關(guān)注了表象的180°，甚至只關(guān)注了拼成直線，卻沒有意識到只有將三個內(nèi)角拼在一起，才能完成三角形的內(nèi)角和到平角的轉(zhuǎn)化，這樣的推理過程才正確，才能推出正確的結(jié)果。后面“折角”的環(huán)節(jié)也類似，需要關(guān)注何為前提何為結(jié)論，也需要特別注意過程的正確性。

圖1

二、課堂上的演繹推理足夠嚴(yán)謹(jǐn)嗎？

與合情推理并存的是，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中有很多演繹推理的內(nèi)容值得進一步挖掘。[7]還是以“三角形的內(nèi)角和”為例，在如今的教學(xué)中，很多教師在學(xué)生經(jīng)歷“量”“拼”“折”這些操作性的說明方式之后，會希望學(xué)生進行一定程度的演繹證明。一般情況下，先從直角三角形入手，引導(dǎo)學(xué)生把長方形沿對角線分成兩個一樣的直角三角形，長方形四個直角的和是360°，三角形內(nèi)角和就是360°÷2=180°。在證明了直角三角形的內(nèi)角和是180°之后，再證明銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°。

讓學(xué)生進行這樣演繹推理的嘗試很有價值。雖然從數(shù)學(xué)的角度來看，這樣的做法顯然算不上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[證明。張奠宙曾指出，從四個角都是直角的四邊形出發(fā)，繞開平行公理，嚴(yán)格地證明“三角形內(nèi)角和是180°”是錯誤的，也是不可能的。[8]然而，從教學(xué)的角度來看，我們更要關(guān)注學(xué)生在這個過程中能獲得什么。推理教學(xué)最重要的價值是讓學(xué)生形成說理與論證的意識、能力和習(xí)慣，需要關(guān)注何為前提、是否為真，邏輯過程是否正確。而且，這些推理論證的每一步過程都是基于學(xué)生的基礎(chǔ)的，即前提和過程都是現(xiàn)階段學(xué)生能理解并接受的。

因此，相比從數(shù)學(xué)上探討這樣的方式是否足夠嚴(yán)謹(jǐn)，更重要的是給學(xué)生機會去思考其中的過程是否有理有據(jù)，能否接受1。譬如，長方形分成的兩個直角三角形是不是完全一樣，可以怎樣說明？事實上，從學(xué)生的角度來看，要說明由長方形剪開得到的兩個直角三角形能夠完全重合并不容易。因為長方形跟正方形不一樣，沒法通過對折能夠重疊來說明。因此，在教學(xué)中可以先由最特殊的等腰直角三角形開始，學(xué)生通過正方形對折就能得到兩個完全一樣的三角形。再到長方形，對折無法重合，那該如何說明兩個三角形完全一樣？學(xué)生需要經(jīng)歷嘗試剪下來之后旋轉(zhuǎn)重合的過程。這當(dāng)然算不上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[證明，但這樣一種說服自己說服同伴的經(jīng)驗非常重要。在這樣的基礎(chǔ)上，下面一個問題的討論顯得尤為重要。這里只說明了這一個長方形沿著對角線分開的兩個直角三角形完全一樣，如何說明所有直角三角形都是180°？我們知道，因為這個長方形的選擇是隨意的，沒有任何額外的要求，所以可代表所有情況。但這樣一種“不失一般性”的思考是非常高階的思維，對于小學(xué)生來說很難理解。因此，學(xué)生需要思考，在說明了一個直角三角形的內(nèi)角和是180°后，用什么方法能說明所有直角三角形都是如此？當(dāng)長方形改變時，什么變了，什么沒變？學(xué)生需要關(guān)注的是，長方形的長和寬都在變化，從而直角三角形的三條邊也都在變化，但兩個直角三角形之間的關(guān)系沒變，即將不同的長方形沿對角線剪下來后的兩個三角形，旋轉(zhuǎn)之后都能夠重合，所以內(nèi)角和仍然是360°的一半。只有到了這里，才算是真正對直角三角形內(nèi)角和是180°說清楚了。

這樣，直角三角形內(nèi)角和是180°就可以作為證明銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和為180°的條件。在證明銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和是180°時，需要更加關(guān)注從學(xué)生的經(jīng)驗出發(fā)，如何將這兩類三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，本文不再贅述。

三、兩點教學(xué)建議

像“三角形的內(nèi)角和”這樣的內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)該指向培養(yǎng)學(xué)生的推理能力等核心概念的學(xué)習(xí)，而不僅是掌握內(nèi)角和是180°這樣的知識性目標(biāo)，這一點應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)的共識。關(guān)于推理能力的培養(yǎng)，需要注意以下兩點。

第一，關(guān)注學(xué)生的真實起點，培養(yǎng)其良好的思維習(xí)慣，真正將培養(yǎng)學(xué)生的推理能力落到教學(xué)的實處。小學(xué)生的推理能力有兩個特點，一個是天生敢想敢說，喜歡問問題，具有有利于數(shù)學(xué)猜想的心理優(yōu)勢;另一個是兒童思維的抽象性、邏輯性處在逐步發(fā)展的過程中，有時也會隨心所欲，脫離數(shù)學(xué)事實提出想法。[9]如前文所述，小學(xué)生對于推理中前提和結(jié)論的區(qū)分就不清晰。培養(yǎng)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性需從平時教學(xué)的一點一滴中做起，因此，需要培養(yǎng)小學(xué)生“有根有據(jù)、有條有理”的思維習(xí)慣，在推理教學(xué)中切忌蜻蜓點水、似是而非。相比在一節(jié)課上同時追求合情推理與演繹推理但又都淺嘗輒止，讓學(xué)生深刻理解推理中的前提和結(jié)論，充分體會前提為真、形式正確，結(jié)論才正確的過程，更為重要。

第二，處理好合情推理和演繹推理的關(guān)系。如課標(biāo)中所說，合情推理和演繹推理都是推理能力的重要組成部分，對于小學(xué)生推理能力的形成都不可或缺。然而，合情推理是個相對寬泛的概念，需要對推理能力的相關(guān)概念進行進一步的厘清，如演繹推理、歸納推理、類比推理等，更重要的是，要對這些推理之間的關(guān)系進行梳理。小學(xué)數(shù)學(xué)中合情推理與演繹推理是相輔相成的，各自的作用不宜絕對化。[10]有研究者指出，如果過分強調(diào) “合情推理模式”，從而割裂歸納推理和演繹推理的聯(lián)系，則會對數(shù)學(xué)學(xué)科的教育功能造成損害。[11]事實上，如果僅僅強調(diào)“演繹推理模式”，亦是如此。此外，在小學(xué)階段推理的教學(xué)中，常常需要用到操作的方式，但需注意處理好操作與說理的關(guān)系。[12]

參考文獻：

[1] [5] [6]吳正憲， 劉勁苓，劉克臣. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀[M]. 北京;教育科學(xué)出版社，2014： 28;29;28.

[2] 金成梁.小學(xué)數(shù)學(xué)疑難問題研究[M]. 南京： 江蘇教育出版社，2010：238.

[3] 中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：6 - 7.

[4] [7] [9] [10]曹培英. 跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實踐研究[M]. 上海： 上海教育出版社，2017：130;131;136;128.

[8] 張奠宙，鞏子坤，等. 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)[M]. 上海：上海教育出版社，2018：325 - 326.

[11] 連四清，方運加. “合情推理”辨析[J]. 課程·教材·教法，2012，32（5）：54 - 57.

[12] 游迪. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的操作與說理——以圓錐的體積為例[J]. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2018，（10）：27 - 32.

（溫州大學(xué)? ?325035）