杜爭光

（隴南師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)系，甘肅 隴南 742500）

近年來，積分型Cauchy 中值定理和高階Cauchy 中值定理以及其“中間點(diǎn)”漸進(jìn)性的研究取得了一些研究成果. 文獻(xiàn)[1]對一類帶有含參變量積分的Cauchy 中值定理做了討論，給出了這類中值定理的一般形式；文獻(xiàn)[2]討論了帶有積分上限函數(shù)的積分型Cauchy 中值定理，并對“中間點(diǎn)”的漸進(jìn)性進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[3-4]對廣義的高階Cauchy 中值定理進(jìn)行了討論，對其“中間點(diǎn)”的漸進(jìn)性進(jìn)行了研究，得了“漸進(jìn)性”的一個(gè)一般性的結(jié)論.

目前，將含參變量積分、積分上限函數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來的研究成果還不多. 為此，本文將討論一類帶有廣義Beta 函數(shù)的積分型高階Cauchy 中值定理，并討論該類Cauchy 中值定理“中間點(diǎn)”的漸進(jìn)性，以期對文獻(xiàn)[5-9]中Cauchy 中值定理以及其“中間點(diǎn)”漸進(jìn)性的研究成果進(jìn)行補(bǔ)充和推廣.

1 預(yù)備知識(shí)及主要引理

定義1設(shè)函數(shù)f∈?[a,b]，對于?t∈[a,b]，定義函數(shù)Lα,β（f）:[a,b]→?為Lα,β（f(t)）=稱Lα,β(f(t))是函數(shù)f(t)在區(qū)間[a,b]上的廣義Beta積分或廣義Beta函數(shù).

對于定義1中的廣義Beta積分，容易證明其有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1當(dāng)f(t)≡1時(shí)，對于?α,β∈?+，都有Lα,β（1）=B(α,β)(t-a)α+β-1.這里，B(α,β)=是Beta函數(shù).

性質(zhì)2若函數(shù)f∈?[a,b]，且α＞1，則函數(shù)Lα，β(f(t))在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且有(α-1)La-1,β(f(t)).

性質(zhì)3若函數(shù)f∈?[a,b]，且α＞n(n∈?)，則函數(shù)Lα,β(f(t))在區(qū)間[a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù)，且有

引理1設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)λ≥0，使得，則對于?t∈[a,b]和?α,β∈，以下極限成立：

證明由的定義，對于?ε＞0，?δ＞0，當(dāng)0＜s-a＜δ時(shí)，有從而有（A-ε）(s-a)λ＜f(s)＜（A+ε）(s-a)λ，注意到(t-s)α-1(s-a)β-1＞0，所以，以下不等式成立：

對式（2）在區(qū)間[a,t]積分就有：

2 主要結(jié)論

2.1 高階Cauchy 中值定理

定理1若函數(shù)f(s),g(s)∈?[a,b]，且?s∈(a,b)有g(shù)(s)≠0，則對于?n,m∈?和?α,β,p,q∈[0,+∞)(α＞n,β＞m)，以及?x∈[a,b]，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,x)，使得：

稱式（3）是帶有廣義Beta 函數(shù)的積分型高階Cauchy 中值定理. 這里，是Beta 函數(shù).

證明對于?n,m∈?和?α,β,p,q∈[0,+∞)(α＞n,β＞m)以及?t∈[a,x]，考察以下函數(shù)：

由函數(shù)F(t)和G(t)的構(gòu)造，顯然F(t)和G(t)在區(qū)間[a,x]上有以下等式成立：

由性質(zhì)2和性質(zhì)3，F(xiàn)(t)和G(t)在區(qū)間[a,x]上可導(dǎo)，且有：

所以，函數(shù)F(t)和G(t)在區(qū)間[a,x]上滿足Cauchy 中值定理的條件，由Cauchy 定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,x)，使得：

將式（4～7）代入式（8），就有：

整理上式，并注意到n!=Γ(n+1)和就有：

定理證畢.

推論1若函數(shù)f(s),g(s)∈?[a,b]，且?s∈(a,b)有g(shù)(s)≠0，則對于?n,m∈?和?p,q∈[0,+∞)，以及?x∈[a,b]，至少存在一點(diǎn)ξ∈(x,b)，使得：

推論 2若函數(shù)f(s),g(s)∈?[a,b]，且?s∈(a,b)有g(shù)(s)≠0，則對于?n,m∈?和?p,q∈[0,+∞)，以及?x∈[a,b]，至少存在一點(diǎn)ξ∈(x,b)，使得：

證明輔助函數(shù)與定理1 相似，此時(shí)輔助函數(shù)應(yīng)該為：

定理1 中的參數(shù)α、β、n 和m 選取不同的數(shù)值時(shí)，便有一系列推論，不再贅述.

2.2 中間點(diǎn)的漸進(jìn)性

定理 2設(shè)函數(shù)f(s),g(s)∈?[a,b]，且?s∈(a,b)有g(shù)(s)≠0，若存在實(shí)數(shù)λ≥0和μ≥0，有和，則對于?n,m∈?和?α,β,p,q∈[0,+∞)（α＞n,β＞m）以及?x∈[a,b]，由定理1 確定的“中間點(diǎn)”ξ滿足：

證明由于函數(shù)f(s)和g(s)在[a,b]上連續(xù)，對于?α,β,p,q∈[0,+∞)，構(gòu)造函數(shù)：H(x)=.則由引理1，

又由定理1，

由式（10～11），得：

整理得：

定理2 得證.

推論3設(shè)函數(shù)f(s),g(s)∈?[a,b]，則對于?n,m∈?和?p,q∈[0,+∞)以及?x∈[a,b]，由推論1確定的“中間點(diǎn)”ξ滿足：

推論4若函數(shù)f(s),g(s)∈?[a,b]，則對于?n,m∈?和?p,q∈[0,+∞)以及?x∈[a,b]，由推論2所確定的“中間點(diǎn)”ξ滿足：

以上定理和推論的結(jié)論具有一般性，可作為Cauchy 中值定理“中間點(diǎn)”漸進(jìn)性研究成果的補(bǔ)充和推廣.