□張 平

平均數(shù)作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有極其重要的地位。以往的平均數(shù)教學(xué)大都將教學(xué)重心放在解決問(wèn)題層面上，更注重訓(xùn)練學(xué)生平均數(shù)的計(jì)算技能。然而，在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，“統(tǒng)計(jì)與概率”作為一大領(lǐng)域出現(xiàn)，[1]并且隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展以及“云技術(shù)”“大數(shù)據(jù)”的不斷涌現(xiàn)，學(xué)會(huì)數(shù)據(jù)分析和用數(shù)據(jù)說(shuō)話，已經(jīng)成為每一個(gè)公民必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維方式。在此背景下，平均數(shù)作為一個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的身份越來(lái)越被重視。與此同時(shí)，一些教師也已對(duì)平均數(shù)意義的教學(xué)做了很多有益的探索，但仍有一些不足。譬如，如何在數(shù)據(jù)分析的背景下促使學(xué)生理解平均數(shù)的意義，平均數(shù)的本質(zhì)究竟有哪些，等等。鑒于此，本文試著從平均數(shù)發(fā)展歷史的角度，嘗試解決上述平均數(shù)教學(xué)中的一些問(wèn)題，以期為這一內(nèi)容的教學(xué)提供一些參考。

一、平均數(shù)的發(fā)展歷程

M.克萊因說(shuō)：“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南。”[2]縱觀平均數(shù)的發(fā)展史，可見其極其豐富而又深刻的內(nèi)涵。正如一位學(xué)者所說(shuō)的那樣，如果我們從理論的角度走一點(diǎn)極端，則可以說(shuō)，一部數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的歷史，就是從縱橫兩個(gè)方向?qū)λ阈g(shù)平均數(shù)進(jìn)行不斷深入研究的歷史。[3]縱觀平均數(shù)的發(fā)展歷程，大致包括以下幾個(gè)方面（見表1）。

表1 平均數(shù)的發(fā)展歷程

續(xù)表

二、平均數(shù)的內(nèi)涵及其教學(xué)分析

學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)，關(guān)鍵是要理解其本質(zhì)。就數(shù)學(xué)概念而言，理解其本質(zhì)可以從多個(gè)層面入手，如邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)史的發(fā)展和教育心理學(xué)等。每個(gè)層面對(duì)于理解概念都會(huì)有不同的幫助。對(duì)于數(shù)學(xué)史而言，追溯一個(gè)概念的形成歷程，往往可以發(fā)現(xiàn)其“本來(lái)面目”，從而為理解其本質(zhì)和組織教學(xué)帶來(lái)有益的啟示。

（一）平均數(shù)的內(nèi)涵

通過(guò)平均數(shù)的發(fā)展歷程我們可以看到，平均數(shù)豐富而又深刻的統(tǒng)計(jì)意義是在各個(gè)發(fā)展階段逐步形成的。其主要特征有：平均數(shù)是被平均的數(shù)據(jù)的代表；平均數(shù)介于最小值和最大值之間；平均數(shù)易受到不等于平均數(shù)的數(shù)據(jù)影響；平均數(shù)不一定是數(shù)據(jù)中的一個(gè)值；平均數(shù)可能是一個(gè)在現(xiàn)實(shí)意義中不存在的數(shù)；計(jì)算平均數(shù)，要考慮數(shù)值為零的數(shù)據(jù)在內(nèi)。除此之外，平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義主要包括：作為判斷事物的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)或參考。例如，評(píng)價(jià)某個(gè)學(xué)生的身高情況，通?？梢詫⑦@個(gè)學(xué)生的身高同這個(gè)地區(qū)同年齡同類型學(xué)生的平均身高進(jìn)行比較；作為代表來(lái)比較不同總體之間的水平，如比較人數(shù)不相同的兩組學(xué)生投籃的水平。人數(shù)相同，則可以比較總數(shù)，人數(shù)不同，則可以用平均水平來(lái)比較；作為用樣本的平均數(shù)來(lái)推斷總體的水平。在統(tǒng)計(jì)估計(jì)中，往往是根據(jù)樣本的平均數(shù)來(lái)推測(cè)總體的平均數(shù)；作為總體的平均數(shù)通過(guò)在某段時(shí)間內(nèi)的發(fā)展變化，探索研究對(duì)象的發(fā)展規(guī)律。

與此同時(shí)，在平均數(shù)教學(xué)時(shí)，還必須厘清平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量（具體關(guān)系可參見圖1）。當(dāng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)符合或者接近正態(tài)分布時(shí)，三者是基本一樣的，如果數(shù)據(jù)偏態(tài)分布，三者才會(huì)有區(qū)別。因此用三個(gè)中的哪一個(gè)來(lái)表示一般水平，需要看數(shù)據(jù)的情況。

圖1 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的關(guān)系

（二）平均數(shù)的教學(xué)分析

荷蘭學(xué)者A.Bakker曾做過(guò)專門研究，他發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解與歷史有相似之處。他通過(guò)分析歷史與個(gè)體學(xué)習(xí)過(guò)程之間的相似處與不同點(diǎn)，從眾多統(tǒng)計(jì)學(xué)歷史資料中甄選出有價(jià)值的材料用于教學(xué)，并發(fā)展了一套幫助學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的教學(xué)方案，其基于平均數(shù)歷史的教學(xué)建議包括：估計(jì)大數(shù)是一種古老的統(tǒng)計(jì)方法，可以作為學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的認(rèn)知起點(diǎn)；學(xué)生可能會(huì)使用中點(diǎn)值作為求平均數(shù)的原始方法；利用條形圖表征數(shù)據(jù)能幫助學(xué)生使用補(bǔ)償策略來(lái)估計(jì)平均數(shù)。[4]

比較目前四種版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材（人教版、蘇教版、北師大版、青島版）發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平均數(shù)內(nèi)容的編排，也借鑒了以上的一些研究成果，如比較重視條形統(tǒng)計(jì)圖來(lái)幫助學(xué)生實(shí)施移多補(bǔ)少的策略。在平均數(shù)的引入方面，四種版本的教材不約而同地采用了個(gè)數(shù)不同的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。當(dāng)兩組數(shù)據(jù)不能用總數(shù)來(lái)比較時(shí)，需要尋求新的分析方法來(lái)解決問(wèn)題。這樣導(dǎo)入的好處就是能直接引起學(xué)生的認(rèn)知沖突。但問(wèn)題是學(xué)生可能不能深入理解平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表。用平均數(shù)來(lái)估計(jì)大數(shù)，其核心思想就是在許多數(shù)據(jù)中找一個(gè)表示一般水平的代表。平均數(shù)的起源中數(shù)樹葉的故事，其方法就是找到一根屬于一般水平的枝條代表，從而估計(jì)出整棵樹的樹葉數(shù)。平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)一般水平的代表，應(yīng)該是平均數(shù)性質(zhì)中最核心的?；诖耍压烙?jì)總數(shù)作為認(rèn)識(shí)平均數(shù)的起點(diǎn)是合適的。可以看出，平均數(shù)的公平分享起源與人們直覺中的公平、公正、平等是相互聯(lián)系的，這就意味著公平分享的背景有助于學(xué)生理解平均數(shù)的意義。

三、基于平均數(shù)發(fā)展史的教學(xué)設(shè)計(jì)

用平均數(shù)歷史來(lái)指導(dǎo)教學(xué)，關(guān)鍵要思考兩個(gè)問(wèn)題：一是平均數(shù)核心的內(nèi)涵主要有哪些；二是如何設(shè)計(jì)一系列能夠觸及平均數(shù)意義和本質(zhì)的問(wèn)題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中把握平均數(shù)內(nèi)涵，感悟平均數(shù)所蘊(yùn)含的數(shù)據(jù)分析觀念。根據(jù)以上分析，筆者在設(shè)計(jì)平均數(shù)的意義時(shí)，把平均數(shù)的發(fā)展歷史作為教學(xué)的指南，力求讓學(xué)生經(jīng)歷創(chuàng)造平均數(shù)的歷程。具體過(guò)程如下。

（一）用估計(jì)總數(shù)作為認(rèn)識(shí)平均數(shù)的起點(diǎn)

首先，筆者創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟知的做操的情境。操場(chǎng)上的10列學(xué)生，每一列人數(shù)不同（如圖2所示）。

圖2 學(xué)生做操隊(duì)列的人數(shù)

筆者讓學(xué)生不通過(guò)計(jì)算，用自己喜歡的方法來(lái)估計(jì)做操的人數(shù)。經(jīng)過(guò)交流，有學(xué)生認(rèn)為人數(shù)在40與90人之間，因?yàn)樽疃嘁涣腥藬?shù)是9人，最少一列人數(shù)是4人；也有學(xué)生說(shuō)是60人左右，因?yàn)榇蠖鄶?shù)的列是6人，少數(shù)列比6人多，還有少數(shù)列比6人少，所以把每一列都看作6人。這個(gè)方法得到了一致認(rèn)可。從學(xué)生發(fā)表的幾種意見中，我們可以看到學(xué)生憑借其原有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，敏銳地發(fā)現(xiàn)了這組數(shù)據(jù)中的典型數(shù)據(jù)，它可以作為這些數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的代表，從而迅速估計(jì)出做操人數(shù)。學(xué)生在經(jīng)歷這樣的過(guò)程中實(shí)際已經(jīng)初步構(gòu)建出平均數(shù)的雛形：數(shù)據(jù)的代表。這樣設(shè)計(jì)實(shí)際可以達(dá)到兩個(gè)目的，一是喚醒，學(xué)生的潛意識(shí)中都有均等意識(shí)，盡量使每一列人數(shù)一樣多是學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)中通過(guò)估計(jì)人數(shù)讓學(xué)生利用這個(gè)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，從而達(dá)到喚醒和強(qiáng)化的作用；二是鋪墊，尋找數(shù)據(jù)的代表，不僅能解決估計(jì)大數(shù)的問(wèn)題，還能解決后面比較兩組數(shù)據(jù)的實(shí)際問(wèn)題，這也是為經(jīng)驗(yàn)的遷移做準(zhǔn)備。

（二）在實(shí)際問(wèn)題中還原平均數(shù)的本原意義

在這一個(gè)層次的教學(xué)中，筆者利用學(xué)生套圈游戲的情境，分四個(gè)小組對(duì)套中的情況進(jìn)行分析。每一個(gè)小組情況的分析實(shí)質(zhì)都蘊(yùn)含了平均數(shù)的不同層次的性質(zhì)。

圖3 第一、二小組學(xué)生套圈個(gè)數(shù)的條形圖

實(shí)際教學(xué)中，在比較第一小組和第二小組哪組套得準(zhǔn)一些時(shí)，學(xué)生原有的比總數(shù)的經(jīng)驗(yàn)還是有明顯的負(fù)遷移的作用。筆者在這里放手讓學(xué)生進(jìn)行比較，通過(guò)思維的激烈碰撞，學(xué)生終于意識(shí)到在人數(shù)不同的情況下，采用比較總數(shù)的方法是不公平的，轉(zhuǎn)而尋找其他方法。學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以找兩組數(shù)據(jù)的代表，前面的經(jīng)驗(yàn)在這里得到了很好的遷移。由于條形圖的直觀性，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)通過(guò)移多補(bǔ)少就能找到一組數(shù)據(jù)的代表。當(dāng)然也有水平更高的學(xué)生直接通過(guò)計(jì)算得到。在這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，沒有突出平均數(shù)的計(jì)算方法，而是在不斷的認(rèn)知沖突中，在對(duì)兩組數(shù)據(jù)充分比較分析中尋求解決問(wèn)題的辦法，是真正讓學(xué)生在用數(shù)據(jù)說(shuō)話的過(guò)程中完整而又深刻地理解平均數(shù)的意義。

表2 第三小組男生套中個(gè)數(shù)表

表3 第三小組女生套中個(gè)數(shù)表

計(jì)算第三小組男、女生套中的平均數(shù)（如表2、表3所示），男生平均套中個(gè)數(shù)很順利就解決了，計(jì)算女生平均套中個(gè)數(shù)時(shí)，出現(xiàn)了兩種不同意見，一種意見認(rèn)為錢雅蕓同學(xué)沒有套中，不應(yīng)該計(jì)算在內(nèi)，另一種意見則反之。本來(lái)在設(shè)計(jì)前認(rèn)為很容易解決的問(wèn)題，但在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生的爭(zhēng)論比較激烈。不過(guò)，通過(guò)這樣有質(zhì)量的討論和交流，學(xué)生對(duì)于平均數(shù)的這一條性質(zhì)應(yīng)該理解得比較透徹了。

第四小組情況分析分為兩個(gè)層次，首先是告訴學(xué)生第四小組4個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)是5個(gè)，讓學(xué)生估計(jì)每個(gè)學(xué)生套中的個(gè)數(shù)，這是一個(gè)比較開放的問(wèn)題。通過(guò)交流，學(xué)生知道平均數(shù)5個(gè)不一定是每個(gè)同學(xué)都套中5個(gè)，有可能比5個(gè)多，也有可能比5個(gè)少。由此可見，學(xué)生很好地理解了平均數(shù)是介于最大數(shù)和最小數(shù)之間的。其次，告訴3個(gè)學(xué)生套中的個(gè)數(shù)，讓學(xué)生想辦法算出第4個(gè)學(xué)生套中的個(gè)數(shù)。

通過(guò)上述一系列問(wèn)題情境的設(shè)置，教師不斷地賦予平均數(shù)各種意義，使學(xué)生在認(rèn)真分析一個(gè)個(gè)精心設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)時(shí)，通過(guò)對(duì)平均數(shù)算法的探索和對(duì)數(shù)據(jù)的觀察分析，自主構(gòu)建平均數(shù)的意義。

（三）在應(yīng)用中深化對(duì)平均數(shù)的理解

一般而言，在一個(gè)數(shù)學(xué)概念初步建構(gòu)形成表象以后，需要不斷地在概念的應(yīng)用中進(jìn)一步抽象、概括、發(fā)展概念的內(nèi)涵，[5]平均數(shù)的教學(xué)也不例外。在應(yīng)用層次的教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了某小學(xué)10歲兒童平均身高的實(shí)際問(wèn)題（如圖4所示）。

圖4 某校2014年10歲男童身高情況

這樣的設(shè)計(jì)實(shí)際上是把平均數(shù)放到一個(gè)更為廣闊的視野里讓學(xué)生來(lái)應(yīng)用和理解其實(shí)質(zhì)。圍繞這個(gè)情境，筆者設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：（1）請(qǐng)你估計(jì)學(xué)校10歲兒童的平均身高；（2）小明2014年正好10歲，他的身高是134厘米，請(qǐng)你分析小明的身高情況，你有什么建議？（3）你身邊還有哪些平均數(shù)可以像平均身高一樣用來(lái)比較？

關(guān)于第一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生都能夠比較準(zhǔn)確地估計(jì)出平均身高，散點(diǎn)圖也能夠直觀地表達(dá)平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的意義。第二個(gè)問(wèn)題實(shí)際是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、判斷和決策的能力。第三個(gè)問(wèn)題是讓學(xué)生意識(shí)到生活中平均數(shù)應(yīng)用的廣泛性，生活中離不開數(shù)據(jù)的分析和比較。這三個(gè)問(wèn)題旨在讓學(xué)生經(jīng)歷一次完整的數(shù)據(jù)整理、描述并做出判斷分析的過(guò)程，而這正是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想。

（四）在質(zhì)疑中進(jìn)一步拓展平均數(shù)的內(nèi)涵

學(xué)貴有疑，平均數(shù)概念的“疑”在何處？平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的重要統(tǒng)計(jì)量，但數(shù)據(jù)的分布對(duì)其影響比較大，當(dāng)數(shù)據(jù)偏態(tài)分布時(shí)，人們一般用中位數(shù)替代平均數(shù)。有時(shí)個(gè)別數(shù)據(jù)也會(huì)對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生影響，當(dāng)極端數(shù)據(jù)出現(xiàn)時(shí)，平均數(shù)代表的往往就不是一般水平了。認(rèn)識(shí)平均數(shù)必須知道它的另一面，而這些也是平均數(shù)意義的一部分。

這一層次的教學(xué)，筆者設(shè)計(jì)了公司員工工資的問(wèn)題，首先出現(xiàn)員工工資的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生估計(jì)他們的平均工資。其次讓他們說(shuō)說(shuō)總經(jīng)理的工資，并根據(jù)學(xué)生說(shuō)的數(shù)據(jù)讓他們畫畫平均數(shù)的位置，當(dāng)總經(jīng)理工資很高時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)表示平均工資的那根線已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了一般員工的工資。這時(shí)教師提問(wèn)，如果以這樣的平均工資數(shù)去招聘員工合適嗎？學(xué)生馬上就產(chǎn)生了激烈的爭(zhēng)論，一部分認(rèn)為這是公司的平均工資，沒有欺騙，一部分學(xué)生認(rèn)為這樣應(yīng)聘會(huì)上當(dāng)受騙。再次，在學(xué)生的爭(zhēng)論中，教師適時(shí)指出平均數(shù)有時(shí)也有缺陷，像這樣的情況用平均數(shù)來(lái)表示公司員工工資的一般水平顯然不合適?！耙伞庇泻斡?？當(dāng)一組數(shù)據(jù)用平均數(shù)表示不合適時(shí)，就需要用新的表示方法來(lái)表示了，這也是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一般規(guī)律。

如何才能讓學(xué)生真正觸及概念的本質(zhì)，通過(guò)以上教學(xué)實(shí)踐，筆者以為至少要具備兩點(diǎn)，一是對(duì)于概念本身而言，它必須能夠揭示概念最本質(zhì)最原始的內(nèi)涵。數(shù)學(xué)概念往往在經(jīng)過(guò)動(dòng)態(tài)演化的過(guò)程之后，凝聚成一個(gè)靜態(tài)的結(jié)構(gòu)，在某種程度上掩蓋了深層次的同時(shí)又是作為數(shù)學(xué)核心的思想方法。比如在平均數(shù)的教學(xué)中，以前有的教師就簡(jiǎn)化為求平均數(shù)，忽略了平均數(shù)形成過(guò)程中豐富而又深刻的統(tǒng)計(jì)思想。二是對(duì)學(xué)生而言，要讓學(xué)生自我建構(gòu)，獲得自我的意義。用弗賴登塔爾的話就是要把“冰冷的美麗化為火熱的思考”。[6]倘若如此，教學(xué)中就要設(shè)計(jì)能夠讓學(xué)生觸及概念本質(zhì)的問(wèn)題，用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行自我建構(gòu)，在問(wèn)題解決的過(guò)程中讓學(xué)生獲得本質(zhì)的、樸素的數(shù)學(xué)思想和方法。