□ 岳增成

中國有燦爛的古代數(shù)學文明，數(shù)學史的研究也有較長的歷史，并取得了不錯的成就。中國的HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學史與數(shù)學教育）研究起步卻相當晚，僅有十幾年的時間，但已成為數(shù)學教育中最具活力的方向之一，有著自己獨特的貢獻。然而，與國際HPM 40余年的發(fā)展相比，中國的HPM研究時間尚短，還處于發(fā)展階段，因此任重而道遠。為了更好地發(fā)展HPM研究，我們既需要他山之石，也需要認清自己，本文將從縱向上梳理中國HPM的發(fā)展，以為中國HPM的發(fā)展帶來啟示。

一、從分離走向融合

HPM在中國出現(xiàn)的標志性事件是2005年第一屆全國數(shù)學史與數(shù)學教育會議的召開。在此之前及HPM出現(xiàn)的早期，由于方向上的藩籬，數(shù)學史聚焦于特殊性事件研究，數(shù)學具有普遍性與抽象性的特征，而數(shù)學教育則指向健全的人的培養(yǎng)，[1][2]數(shù)學史、數(shù)學教育研究沿著兩條互不相干的路徑展開。一是在數(shù)學史領域，與國外HPM出現(xiàn)之前的情形一樣，我國早已有一些著名的數(shù)學史家在研究數(shù)學史、講授數(shù)學史課程的過程中，認識到數(shù)學史的教育價值；一些數(shù)學史研究者從20世紀末開始在研究數(shù)學史的過程中，加入了教育的視角，試圖通過教育取向的數(shù)學史研究為數(shù)學教育教學帶來啟示，并開發(fā)了一些較難實施的教學設計。一是教學實踐層面，教材編寫者在教材中點綴式地編入一些數(shù)學家的圖片，介紹中國古代數(shù)學的一些成就，教師通過在課堂中附加式地講解一些數(shù)學家的故事以激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的愛國主義情懷。這導致了數(shù)學的歷史順序、知識的邏輯順序、學生的認知順序不能有機地整合在一起。但隨著國內研究者對國外HPM教育價值的了解，人們對數(shù)學史教育價值的認識不再局限于數(shù)學情感、動機視角、激勵因素等，開始認識到數(shù)學史對學生數(shù)學學習、數(shù)學和數(shù)學活動本質認識等的重要作用，且隨著大量數(shù)學概念歷史相似性的驗證，即學生對某些數(shù)學概念的認識與古代數(shù)學家對這些概念的認識相似，學生對某些概念理解上的困難與歷史上數(shù)學家遭遇的障礙一致，數(shù)學史與數(shù)學教育的關系開始密切起來，HPM逐漸發(fā)展成為數(shù)學教育中的研究方向。

二、堅守基礎與積極借鑒

HPM的發(fā)展離不開學科基礎的堅守、國外已有研究成果的借鑒。圖1展示了目前HPM內部各個研究方向及其之間的關系?？梢?，教育取向的數(shù)學史研究是HPM的基礎，國外HPM研究成果的借鑒是大陸HPM發(fā)展的重要推動力。

圖1 HPM學科構成及其相互關系

（一）教育取向數(shù)學史研究

教育取向的數(shù)學史研究是HPM的基礎，也正是因為有了它，其他方向的研究才得以順利開展。盡管HPM萌芽于數(shù)學史教育價值的揭示，但它只是經(jīng)驗思辨的結果，而教育取向的數(shù)學史研究則是數(shù)學史與數(shù)學教育關系研究的開端。在國外，從19世紀40年代開始，泰爾凱（O.Terquem，1782—1862）、德摩根（De Morgan，1806—1971）、卡約黎（F.Cajori，1859—1930）等就基于數(shù)學史的教育價值從教育的視角對數(shù)學史進行研究，提出了某些歷史研究于教育教學的啟示。在中國，在HPM出現(xiàn)以前，也有一些數(shù)學史研究者對歷史上的人物與事件、概念與思想、運算與法則、問題與求解、公式與命題、工具與符號進行了教育取向的數(shù)學史研究。HPM出現(xiàn)后，這些層面教育取向數(shù)學史的研究更為廣泛，且隨著數(shù)學史在教學實踐中的廣泛應用，研究趨于實用，即教育取向數(shù)學史研究的出發(fā)點發(fā)生了轉移，不再為研究而研究，而是以實踐需求為導向，且隨著各級各類學校對數(shù)學史的運用，數(shù)學史著作或者數(shù)學著作中數(shù)學知識的研究已不能滿足教學需求。于是，HPM研究者將視角轉向對西方早期數(shù)學教科書的研究，他們基于幾十本或者上百本的西方早期教科書，搜尋出相關知識點的記錄，在質性分析的基礎上，進行統(tǒng)計意義上的分析，以得出相關知識點的發(fā)展特點，并從中獲得解決目前教學難點的啟示。

（二）國外HPM研究成果借鑒

作為舶來品的HPM，在中國的發(fā)展離不開對國外相關理論的借鑒，且HPM內部各個方向都有所借鑒：從早期對HPM先驅教育理念的介紹、HPM歷史淵源的梳理、HPM教育價值的剖析，到后來大量中學數(shù)學概念歷史相似性的驗證、發(fā)生教學法理論基礎的梳理及某些重要數(shù)學概念教學中發(fā)生教學法的應用、HPM研究內容與方法的系統(tǒng)梳理，到現(xiàn)在對國際數(shù)學教育大會（International Congress of Mathematics Education）、HPM衛(wèi)星會議、歐洲暑期學校（European Summer University）等相關HPM活動的系統(tǒng)介紹，國外數(shù)學教育雜志中刊登的HPM文章的統(tǒng)計，國外數(shù)學史融入教學的評介，HPM與教師專業(yè)發(fā)展關系的研究等?？梢?，中國對國際HPM成果的借鑒，緊跟HPM國際發(fā)展的方向，大致沿著從關于“為何”“如何”之研究、教育取向的數(shù)學史研究、歷史相似性研究，到教學實踐與課例開發(fā)、HPM與教師專業(yè)發(fā)展的順序開展，且會根據(jù)需要對重要節(jié)點處國際HPM發(fā)展的現(xiàn)狀進行剖析，比如對HPM歷史淵源、研究內容與方法的縱向梳理，對能代表某一時期發(fā)展狀況的國際HPM會議進行橫向的剖析。

三、在實踐與理論的互動中，走向特色之路

HPM的發(fā)展，除了學科基礎的堅守與國外研究成果的借鑒外，研究主題的多樣化、學派的創(chuàng)建是HPM專業(yè)發(fā)展與學科建設的重要標志與推動力量。[3]如前所述，中國HPM研究成果的借鑒過程也是一個研究主題不斷擴充的過程，而學派的創(chuàng)建與研究主題的不斷擴充緊密相關，因此這部分的論述將在研究主題介紹完之后進行。中國HPM的發(fā)展之路，實際上也是一條特色之路。圖2展示的是中國HPM內部最重要的兩個研究方向，HPM與教師專業(yè)發(fā)展、教學實踐與課例開發(fā)及其之間的關系，可見其核心恰是中國教育的特色之一——課例研究。

圖2 HPM驅動下的教師專業(yè)發(fā)展體系

（一）教學實踐與課例開發(fā)

中國HPM的特色肇始于融入數(shù)學史的課例研究。在研究的初期，HPM研究者并沒有用過多的理論做指導，僅在教育取向數(shù)學史研究的基礎上，結合歷史相似性的調查，與教師合作開發(fā)課例，試圖將知識的歷史發(fā)生順序、知識之間的邏輯順序、學生的認知發(fā)展順序融入相關主題的教學當中，并盡量實現(xiàn)數(shù)學史在知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀維度的目標，試圖運用數(shù)學史解決某些概念教學過程中存在的疑難問題。隨著教學實踐的不斷推進與課例的相繼開發(fā)，研究者發(fā)現(xiàn)HPM實踐中的一些共性的問題，開始結合國外HPM的相關理論，比如教學實踐中運用數(shù)學史的方式，提供直接的歷史信息，借鑒歷史進行教學，發(fā)展對數(shù)學及其社會文化背景的深刻認識，[4]點綴法、模塊法、基于歷史法，[5]總結出了數(shù)學史融入數(shù)學教學的四種方式：附加式、復制式、順應式、重構式，[6]數(shù)學史料選取的五項原則：趣味性、科學性、新穎性、可學性、有效性，數(shù)學史的六種教育價值：知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效，數(shù)學史融入數(shù)學教學的課例研究流程：選題與準備、研討與設計、實施與評價、分析與寫作；[7]形成了HPM課例開發(fā)驅動下的、以HPM專家與授課教師為中心向外輻射到HPM研究團隊、數(shù)學教師團隊、教師專業(yè)發(fā)展指導者團隊而形成的HPM共同體（如圖3）。在HPM共同體的支持下，研究者以五項選取原則、四種融入方式、六種教育價值為指導原則，反哺于教學實踐，開拓了數(shù)學史應用于數(shù)學教學的新形式：從單個HPM課例的開發(fā)，到某一單元多個連續(xù)知識點構成的模塊的開發(fā)，比如滬教版五年級上冊的“幾何小實踐”單元，包括平行四邊形、三角形、梯形三類圖形的面積，到同一學段跨年級的模塊開發(fā)；比如從滬教版二年級下冊“角的初步認識”到四年級下冊的“角”，到跨學段模塊的開發(fā)；比如從滬教版四年級下冊“位置的表示方法”（用數(shù)對表示物體的位置）到七年級下冊“平面直角坐標系”。

圖3 HPM共同體支持下的教學實踐與課例開發(fā)

（二）HPM與教師專業(yè)發(fā)展

1.在職教師的專業(yè)發(fā)展

在國外，高校研究團隊運用HPM對數(shù)學教師的培訓往往以使教師具備進行教育取向數(shù)學史研究的能力為目的，至于受訓者能否將相關主題歷史研究的成果應用于課堂教學，很少有研究予以關注。在我國，由于現(xiàn)代數(shù)學演繹推理體系與我國古代數(shù)學歸納推理傳統(tǒng)的不相一致，要想從中國古代、近代數(shù)學著作中查找概念的發(fā)生、發(fā)展的歷程難度較大，而對教師而言，查找、篩選外文文獻耗時多且困難大，即使教師具備了教育取向數(shù)學史研究的能力，“無米之炊”仍是無法跨越的“天塹”，與較好地將數(shù)學史應用于教學還有相當大的距離。因此，HPM研究團隊采取指導教師開發(fā)課例的形式（起初僅是HPM專家與授課教師之間的合作，后來發(fā)展到HPM研究團隊與教師團隊的合作，現(xiàn)在是如圖3所示的共同體中多個團隊的合作）來促進教師的專業(yè)發(fā)展：課例確定后，HPM研究團隊查閱史料、選取素材，教師團隊分析需求，然后，各個團隊一起交流研討相關主題的設計，隨后，授課教師進行教學設計，在共同體的幫助下打磨教學設計、進行試教，試教后各個團隊根據(jù)教學效果進行研討，提出修改的方向，試教與研討可能會進行多輪，最后公開課展示，授課教師整理教學實錄，撰寫案例。在“做中學”的過程中，在投入大量時間、精力的保障下（一個課例的開發(fā)甚至持續(xù)一個多月的時間），授課教師的知識實現(xiàn)了增長，信念發(fā)生了轉變，盡管增長的一些知識僅與開發(fā)的課例相關。[8]

鑒于課例開發(fā)投入較大的緣故，HPM共同體試圖最大限度地發(fā)揮HPM課例開發(fā)過程以及開發(fā)出的課例的作用，于是，他們借助教師專業(yè)發(fā)展指導者，主要是教研員、名師工作室主持人的力量，讓更多的教師參與到授課教師HPM課例的展示中來。事實上，這僅是HPM案例教學的一種方式。雖然在這種HPM案例教學中教師能夠親臨教育現(xiàn)場，但與教師培訓中的HPM案例教學相比，參與教育現(xiàn)場的HPM案例教學系統(tǒng)性不夠、針對性不強。教師培訓中的HPM案例教學是一門系統(tǒng)課程，參與的教師以小組合作、獨立思考的形式參與任教學段多個HPM課例的研討。案例的研討從找出相關主題的教學難點開始，然后培訓者提供相關主題的歷史史料，受訓者對史料進行分析，討論史料能否解決教學難點問題，培訓者呈現(xiàn)已開發(fā)的相關主題的課例，重點講述課例開發(fā)者運用數(shù)學史解決教學難點問題的方式、方法，最后受訓者對呈現(xiàn)的課例進行討論。在整個案例教學的過程中，培訓者滲透HPM的相關理論，從而使受訓者對HPM有更為系統(tǒng)的了解。

但無論是HPM課例開發(fā)還是HPM案例教學，對HPM理念的傳播作用有限，所以難度較小、投入精力較少，因此教師擅長的課例應用就成了傳播HPM理念、促進教師專業(yè)發(fā)展的重要方式之一。所謂的HPM課例應用，就是教師搜索到相關主題已開發(fā)的HPM課例后，按照“研讀教材、教參，對教學目標、重難點進行再定位；根據(jù)教學目標、任教班級的實際情況，研讀已開發(fā)的HPM課例，主要找出其中的問題，并予以完善，進行試講；根據(jù)試講效果，對教學設計進行再修改；反思課例應用的全過程”的順序開展活動。對教師而言，HPM課例應用也是“做中學”的方式之一，只是對HPM的認識沒有HPM課例開發(fā)深刻。

2.職前教師的專業(yè)發(fā)展

相對于在職教師，HPM驅動下的職前教師培養(yǎng)途徑有所不同，且本科階段與研究生階段各有側重。于本科師范生而言，傳統(tǒng)的數(shù)學史課程以介紹歷史取向的數(shù)學史為主，但這種課程對職前教師將來學科教學用途不大，因此數(shù)學史課程的講授需要加入教育的視角，讓學生知悉數(shù)學史與教學內容的關系，并輔以HPM案例教學，使師范生對數(shù)學史如何融入數(shù)學教學有一定的認識。于研究生師范生而言，使其具備教育取向數(shù)學史研究的能力是課程設置的目標，因此教育取向數(shù)學史研究成果的介紹是課程的重點，使其具備將數(shù)學史融入數(shù)學教學的能力是課程設置的愿景，因此，HPM案例教學是課程講授的又一重點，且與本科師范生相比，研究生師范生有較多的機會參與到HPM課例展示的現(xiàn)場中來，從而有較多機會參與教育現(xiàn)場的HPM案例教學。

四、未來的路

HPM在中國的發(fā)展取得了長足的進步，但仍有很大的發(fā)展空間。在未來的發(fā)展過程中，學科基礎仍要堅守，國外的研究成果仍需借鑒，理論與實踐的互動還需加強；同時，要進一步完善HPM驅動下的教師專業(yè)發(fā)展體系，探索HPM驅動下的教師專業(yè)發(fā)展的最佳入口與高效的路徑組合，畢竟目前HPM課例開發(fā)這一入口難度大，且對路徑組合效果的研究缺失；此外，數(shù)學史融入數(shù)學教材的研究還需要進一步加強，必須突破目前以顯性數(shù)學史研究為主的現(xiàn)狀，將數(shù)學史更多地以順應式（教材正文各欄目中對歷史上數(shù)學問題進行改編，使之具有適合于今日課堂教學的情境或屬性）、重構式（教材正文各欄目中借鑒或重構知識的發(fā)生、發(fā)展歷史，以發(fā)生法來呈現(xiàn)知識）[9]的形式編入數(shù)學教材，以便教師更好、更容易地將數(shù)學史融入數(shù)學教學。