□文 萍 岳增成

一、引言

探究式教學(xué)是一種研究與教學(xué)相融合的師生互動(dòng)型教學(xué)，它自古有之，古希臘先賢蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”就具有探究思想。著名的教育家杜威提出了較為系統(tǒng)的探究式教學(xué)理論，他認(rèn)為探究是兒童的本能，教學(xué)應(yīng)該以兒童的經(jīng)驗(yàn)為核心，強(qiáng)調(diào)“做中學(xué)”，通過(guò)“在做中思維”培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探索、勇于創(chuàng)新的精神。[1]美國(guó)教育學(xué)家施瓦布認(rèn)為探究式教學(xué)過(guò)程應(yīng)該是一種在教師指導(dǎo)下展開(kāi)的具有嚴(yán)密的學(xué)術(shù)性和創(chuàng)造性活動(dòng)。[2]近年來(lái)，探究式學(xué)習(xí)成為基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革中的熱門話題之一，美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）在《學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與原則》中指出，探究是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和知識(shí)重要的途徑，包括探索、猜想、邏輯推理和評(píng)估等內(nèi)容。[3]我國(guó)頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中同樣強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，倡導(dǎo)教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。[4]數(shù)學(xué)探究已成為課堂教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，然而在探究教學(xué)的實(shí)施過(guò)程中卻存在探究問(wèn)題的提出不夠自然、探究活動(dòng)不夠深入等現(xiàn)象，因此，如何有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)探究式教學(xué)是需要思考的問(wèn)題。

早在20世紀(jì)初，美國(guó)數(shù)學(xué)史家卡約黎（Cajori）就曾指出，“數(shù)學(xué)史是有效的教學(xué)工具”，[5]英國(guó)學(xué)者福韋爾(Fauvel)認(rèn)為數(shù)學(xué)史為學(xué)生提供了探究機(jī)會(huì)。[6]近年來(lái)，將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)日益受到數(shù)學(xué)教育界的關(guān)注和認(rèn)可，在教學(xué)實(shí)踐中產(chǎn)生了很多HPM課例，那么在這些課例中，探究活動(dòng)是如何開(kāi)展的？數(shù)學(xué)史在探究活動(dòng)中有何作用？本文試圖通過(guò)對(duì)不同類型小學(xué)HPM課例的分析來(lái)回答上述問(wèn)題。

二、分析框架

美國(guó)哥倫比亞大學(xué)的西格爾(Siegel)教授提出了數(shù)學(xué)探究式教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)探究教學(xué)分為準(zhǔn)備與聚焦、探索與發(fā)現(xiàn)、綜合與交流、評(píng)估與延伸四個(gè)階段，[7]每個(gè)階段具體活動(dòng)內(nèi)容如下。

階段1：準(zhǔn)備與聚焦

教師對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行介紹，引發(fā)學(xué)生的初步思考，通過(guò)建立要探究的內(nèi)容和學(xué)生已有知識(shí)之間的聯(lián)系，產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，從而聚焦探究問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，明確探究的主題和目標(biāo)。

階段2：探索與發(fā)現(xiàn)

學(xué)生根據(jù)教師提出的探究問(wèn)題，通過(guò)猜想、分析、推理和驗(yàn)證等獲得探究問(wèn)題的初步答案。

階段3：綜合與交流

教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，經(jīng)過(guò)辨析、論證、研討等過(guò)程，得到最終結(jié)果，在討論過(guò)程中學(xué)生可通過(guò)表格、圖形、證明等方法表達(dá)自己的想法，回應(yīng)他人的意見(jiàn)，教師適時(shí)加以引導(dǎo)或幫助，幫助學(xué)生得出結(jié)論。

階段4：評(píng)價(jià)與延伸

教師整理和歸納學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)，對(duì)探究過(guò)程中學(xué)生的參與態(tài)度和表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，并引導(dǎo)學(xué)生反思探究學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)會(huì)通過(guò)類比將一般結(jié)論運(yùn)用在其他數(shù)學(xué)情境中，從而掌握探究的方法。對(duì)新知識(shí)進(jìn)行整理和拓展，以此激發(fā)更深層次的探究。

圍繞融入數(shù)學(xué)史開(kāi)展的探究活動(dòng)，本文選取了已開(kāi)發(fā)的HPM課例“三角形的面積”“角的初步認(rèn)識(shí)”“兩位數(shù)被一位數(shù)除”作為分析對(duì)象。這三個(gè)課例分屬公式課、概念課和計(jì)算課，具有一定的代表性。

三、課例分析

【課例1】三角形的面積

“三角形的面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，教學(xué)中如果不重視公式的推導(dǎo)，將會(huì)錯(cuò)失培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理的機(jī)會(huì)。歷史上三角形面積公式的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程，表1呈現(xiàn)的是不同時(shí)空中與小學(xué)三角形面積計(jì)算相關(guān)的內(nèi)容。

表1 歷史上三角形面積的計(jì)算方法

在“三角形的面積”課例中，教師將三角形面積計(jì)算方法產(chǎn)生和發(fā)展的歷史整合到了教學(xué)中，突出了知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的必要性，具體探究環(huán)節(jié)如下。

階段1：承接“平行四邊形面積”的教學(xué)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平行四邊形的面積推導(dǎo)，為后續(xù)學(xué)生用割補(bǔ)法探究三角形的面積做好鋪墊。其次，沿用幾何學(xué)起源于古埃及尼羅河泛濫后的土地測(cè)量、計(jì)算的歷史背景，讓學(xué)生幫助埃及法老解決三角形面積計(jì)算的問(wèn)題，從而引出三角形面積推導(dǎo)的探究任務(wù)。

階段2：教師準(zhǔn)備三角形紙片、透明格子紙等學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生探究三角形面積公式。根據(jù)推導(dǎo)方法的不同分為兩個(gè)層次的探究。第一層次：學(xué)生用倍拼法（將兩個(gè)一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形）推導(dǎo)三角形面積公式。第二層次：在透明格子紙的輔助下，學(xué)生利用割補(bǔ)法推導(dǎo)三角形面積公式。

階段3：根據(jù)課堂生成，學(xué)生只探索出了倍拼的推導(dǎo)方法，學(xué)生匯報(bào)、教師總結(jié)這種方法后，教師讓學(xué)生只借助一個(gè)三角形紙片推導(dǎo)面積，部分小組通過(guò)合作探索出了割補(bǔ)的方法。教師邀請(qǐng)部分小組進(jìn)行匯報(bào)，與學(xué)生一起分析圖形轉(zhuǎn)化前后的變化，得到了三角形面積公式。

階段4：教師總結(jié)學(xué)生探究的結(jié)果，根據(jù)學(xué)生得出的不同類型的公式推導(dǎo)方法，因勢(shì)利導(dǎo)，通過(guò)微視頻介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用“出入相補(bǔ)”原理推導(dǎo)三角形面積公式的方法，將學(xué)生的方法與古人的方法進(jìn)行對(duì)照，對(duì)他們的探究過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行了表?yè)P(yáng)，并補(bǔ)充介紹其他推導(dǎo)三角形面積公式的方法。課堂練習(xí)部分，結(jié)合《幾何原本》中三角形與平行四邊形面積關(guān)系的命題設(shè)置習(xí)題，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)三角形的底、高和面積關(guān)系的理解。

【課例2】角的概念

“角”是一個(gè)很難刻畫(huà)的幾何概念，在歷史上數(shù)學(xué)家們對(duì)“角”有不同的看法，[8]具體見(jiàn)表2，先后給出了“質(zhì)”“量”和“關(guān)系”三種模式的定義。

表2 歷史上角的不同定義

在“角的概念”課例中，[9]以歷史為主線設(shè)計(jì)了探究活動(dòng)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生從“質(zhì)”“量”和“關(guān)系”三個(gè)方面對(duì)角的概念進(jìn)行探究，具體探究環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下。

階段1：教師先讓學(xué)生回顧角的定義“由一個(gè)頂點(diǎn)和兩條直邊組成的圖形是角”，要求學(xué)生列舉生活中的角，動(dòng)手畫(huà)一個(gè)角，并用自己的話來(lái)描述所畫(huà)的角，通過(guò)活動(dòng)讓學(xué)生對(duì)角的概念有初步的感知，聚焦本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，繼續(xù)研究“角”的概念。

階段2：以歷史為線索，設(shè)置四次活動(dòng)，對(duì)角的概念進(jìn)行“質(zhì)”“量”和“關(guān)系”方面的探究?；顒?dòng)一：創(chuàng)設(shè)鳥(niǎo)媽媽喂食的問(wèn)題情境“哪只鳥(niǎo)寶寶嘴巴張開(kāi)得大，先喂那一只”，探究銳角、直角、鈍角三種類型的角大小比較的方法?；顒?dòng)二：描述不同類型角的特征，并體會(huì)三類角命名的由來(lái)?；顒?dòng)三：繼續(xù)探究?jī)蓚€(gè)銳角大小比較的方法，讓學(xué)生感受角的大小比較的本質(zhì)，即角的大小與畫(huà)出的兩邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，與兩邊張開(kāi)的程度有關(guān)?；顒?dòng)四：展示角由小變大的動(dòng)態(tài)過(guò)程，讓學(xué)生分析其中的角。探究活動(dòng)中學(xué)生通過(guò)觀察和猜測(cè)得出結(jié)論，利用學(xué)具操作驗(yàn)證結(jié)論。

階段3：活動(dòng)一和活動(dòng)三均是以小組合作開(kāi)展的探究活動(dòng)，學(xué)生展示比較角大小的方法，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些方法進(jìn)行辨析，借助活動(dòng)一引出角的分類，借助活動(dòng)三引出角大小比較的本質(zhì)。

階段4：學(xué)生對(duì)角的概念的理解過(guò)程與角的概念的歷史發(fā)展過(guò)程具有一定的相似性，學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)與古人有很多相似之處。教師總結(jié)學(xué)生的方法，并結(jié)合歷史進(jìn)行古今對(duì)照，讓學(xué)生經(jīng)歷“角”概念的產(chǎn)生過(guò)程，深化對(duì)概念本質(zhì)的理解。通過(guò)展示角由小變大的動(dòng)態(tài)過(guò)程，拓展了學(xué)生對(duì)于角的概念的理解。

【課例3】?jī)晌粩?shù)被一位數(shù)除

除法在四則運(yùn)算中難度最大，歷史上出現(xiàn)過(guò)多種計(jì)算方法，比如古埃及“加倍與減半”的方法，圖1呈現(xiàn)的是運(yùn)用這種方法計(jì)算19÷8的過(guò)程，圖2呈現(xiàn)的是熱貝爾（Gerbert）計(jì)算900÷8的方法及其改進(jìn)的方法，[10]圖3呈現(xiàn)的是中國(guó)古代計(jì)算9225÷45的方法，其中有一些方法的思路和形式與現(xiàn)代除法豎式接近。

圖1

圖2

圖3

學(xué)生在解決除法問(wèn)題時(shí)與古代數(shù)學(xué)家的方法類似，在課例“兩位數(shù)被一位數(shù)除”中，[11]教師鼓勵(lì)學(xué)生采用多種方法解決除法問(wèn)題，巧妙地將歷史上出現(xiàn)過(guò)的算法穿插在教學(xué)中，啟迪學(xué)生的發(fā)散思維，真正體現(xiàn)了算法的多樣性和本質(zhì)，其探究環(huán)節(jié)如下。

階段1：教師首先用意大利數(shù)學(xué)家帕喬利的話“如果一個(gè)人能把除法做好，那么其他的運(yùn)算對(duì)他來(lái)說(shuō)輕而易舉，因?yàn)榧訙p乘都包含在除法運(yùn)算當(dāng)中”設(shè)置懸念，而后用動(dòng)畫(huà)片《瘋狂動(dòng)物城》創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：珠寶城被搶走67顆鉆石，強(qiáng)盜們每人平均分得5顆鉆石，求一共有幾個(gè)強(qiáng)盜。通過(guò)問(wèn)題情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為除法的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

階段2：教師組織學(xué)生以小組為單位進(jìn)行合作探究，鼓勵(lì)他們采用多種方法解決67÷5=?的問(wèn)題。學(xué)生探索出了用被除數(shù)逐次減去除數(shù)、將被除數(shù)拆分相除、試商、豎式計(jì)算等多種方法。

階段3：學(xué)生匯報(bào)小組合作探究得出的不同方法，教師引導(dǎo)他們建立各種算法之間的聯(lián)系。

階段4：教師給予學(xué)生的合作探究以積極評(píng)價(jià)，幫助他們理解除法計(jì)算的算理，并巧妙融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，帶領(lǐng)學(xué)生了解歷史上出現(xiàn)的多種除法計(jì)算方法，引導(dǎo)他們進(jìn)行算法的對(duì)照，加深他們對(duì)算理的理解。

四、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)上述小學(xué)HPM課例的分析發(fā)現(xiàn)，三個(gè)課例的探究環(huán)節(jié)都符合西格爾的探究教學(xué)四階段框架。在準(zhǔn)備與聚焦階段，教師結(jié)合數(shù)學(xué)歷史創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，將探究問(wèn)題進(jìn)行聚焦，凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的必要性，明確目標(biāo)、激發(fā)興趣，為后續(xù)開(kāi)展探究活動(dòng)做好準(zhǔn)備。在探索與發(fā)現(xiàn)階段，教師以歷史為線索，重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、歸納、推理等方法得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的初步結(jié)論。在綜合與交流階段，針對(duì)探究結(jié)論進(jìn)行師生、生生之間深入的交流和互動(dòng)，以此深化對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”。在評(píng)估與延伸階段，教師對(duì)學(xué)生的探究結(jié)論進(jìn)行總結(jié)，通過(guò)多媒體課件、微視頻等多種形式巧妙地將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的歷史過(guò)程，在數(shù)學(xué)思想方法的古今對(duì)照中，獲得思想的啟迪和成功的喜悅。

正如著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M·克萊因（M.Kline）所說(shuō)：“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南?！睌?shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)提供了參照，教師選取具有教育價(jià)值的數(shù)學(xué)史材料融入課堂教學(xué)，在課堂中再現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程。基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，是實(shí)施數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”的有效途徑，凸顯了探究之樂(lè)的教育價(jià)值，實(shí)現(xiàn)了歷史與現(xiàn)實(shí)的交會(huì)，數(shù)學(xué)與人文的融合。