□ 李卓忱 韓嘉業(yè)

一、引言

為全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特育人價(jià)值，教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）中明確提出：高中數(shù)學(xué)課程要注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透[1]。課程結(jié)構(gòu)要求把數(shù)學(xué)文化作為一條暗線融入課程內(nèi)容，數(shù)學(xué)文化實(shí)現(xiàn)了從學(xué)術(shù)研究到課程形態(tài)的轉(zhuǎn)變[2]。不僅在高中數(shù)學(xué)中，在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)文化的滲透也是非常重要的任務(wù)。

《課標(biāo)》對(duì)數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了說明：“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展。”而數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分[3]。HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）致力于將數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)實(shí)踐為數(shù)學(xué)文化的滲透提供了思路。

技術(shù)與HPM融合是時(shí)下HPM領(lǐng)域的熱門話題，HPM微視頻是目前技術(shù)與HPM融合的主要途徑。作為教學(xué)素材的HPM微視頻的使用，能夠更好地將數(shù)學(xué)文化融入課程。但目前小學(xué)HPM微視頻的開發(fā)較少，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在開發(fā)HPM微視頻時(shí)缺乏相應(yīng)理論的指導(dǎo)。小學(xué)課堂中應(yīng)用HPM微視頻有哪些優(yōu)點(diǎn)？小學(xué)HPM微視頻該如何設(shè)計(jì)？筆者結(jié)合華東師范大學(xué)HPM團(tuán)隊(duì)已開發(fā)的微視頻來具體談?wù)劇?/p>

二、小學(xué)課堂中應(yīng)用HPM微視頻的優(yōu)點(diǎn)

近年來，作為微課、翻轉(zhuǎn)課堂等新型教學(xué)形式內(nèi)容素材的微視頻，已得到較多的研究[4][5][6]。結(jié)合多位學(xué)者的觀點(diǎn)，我們認(rèn)為HPM微視頻是基于特定的目的融入數(shù)學(xué)史、應(yīng)用于某教學(xué)環(huán)節(jié)、時(shí)長(zhǎng)1—3分鐘的視頻素材。

在小學(xué)課堂上應(yīng)用HPM微視頻有諸多優(yōu)點(diǎn)。首先，HPM微視頻的素材豐富，內(nèi)容、節(jié)奏、畫面等都是精心打磨后的成果，比課堂上現(xiàn)場(chǎng)講授更精準(zhǔn)；第二，課堂上轉(zhuǎn)換教學(xué)手段，能有效吸引學(xué)生的注意力，提高教學(xué)效率；第三，微視頻可重復(fù)使用，可實(shí)現(xiàn)資源共享，讓剛剛接觸到HPM的教師得以更快地在課堂上使用；第四，微視頻打破了課堂教學(xué)片段不可復(fù)制的弊端，學(xué)生可以在課后觀看，加深印象；第五，教育取向的數(shù)學(xué)史內(nèi)容能夠幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解；第六，HPM微視頻為一般的教學(xué)提供了新的思路和素材，HPM微視頻的開發(fā)過程能夠幫助授課教師進(jìn)一步思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有助于教師的專業(yè)發(fā)展。

三、小學(xué)HPM微視頻的設(shè)計(jì)

小學(xué)HPM微視頻的開發(fā)流程包括設(shè)計(jì)、制作、應(yīng)用、評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)，可以通過評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)，獲得反饋，進(jìn)而改進(jìn)設(shè)計(jì)，具體開發(fā)流程如圖1所示。

圖1 小學(xué)HPM微視頻的開發(fā)流程

設(shè)計(jì)是小學(xué)HPM微視頻開發(fā)的第一環(huán)節(jié)。與小學(xué)HPM課例開發(fā)相類似，HPM微視頻也不宜為歷史而歷史，設(shè)計(jì)中需要充分考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平，遵循趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性、人文性這五項(xiàng)原則[7]。小學(xué)HPM微視頻的設(shè)計(jì)，史料內(nèi)容的選擇十分重要，同時(shí)還要考慮課堂環(huán)節(jié)、課型與微視頻類型之間的關(guān)系。

（一）確定課型、圈定融入環(huán)節(jié)、搭配微視頻類型

小學(xué)HPM微視頻可分為四種類型：創(chuàng)設(shè)情境類、重現(xiàn)歷史類、介紹思想類和展示方法類。詳細(xì)描述如下：

創(chuàng)設(shè)情境類是指借用古代的環(huán)境、事件、文化等，創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，引出課題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)產(chǎn)生的緣由和必要性；

重現(xiàn)歷史類是指呈現(xiàn)不同時(shí)代、不同地區(qū)的數(shù)學(xué)家對(duì)某個(gè)定理或概念的研究，重現(xiàn)這個(gè)概念或定理的歷史發(fā)展過程；

介紹思想類是指以一個(gè)數(shù)學(xué)家為中心，介紹該數(shù)學(xué)家提出的一些核心數(shù)學(xué)思想；

展示方法類是指針對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，展示被今人忽視的古代精彩解法。

如果將小學(xué)數(shù)學(xué)課的類型分為序言課、概念課、法則課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課五種類型，那么不同微視頻類型適合不同的課型，需根據(jù)教學(xué)目標(biāo)恰當(dāng)選擇，表1給出了具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

表1 不同微視頻類型適合的課型

如果將課堂環(huán)節(jié)分為引入主題、探究新知、例題應(yīng)用、歸納總結(jié)四個(gè)環(huán)節(jié)，那么不同微視頻類型適合不同的課堂環(huán)節(jié)，且應(yīng)用較為靈活，表2給出了具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

表2 不同微視頻類型適合的課堂環(huán)節(jié)

（二）參照微視頻類型、選擇史料內(nèi)容、制作微視頻

數(shù)學(xué)的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，這為小學(xué)HPM微視頻的設(shè)計(jì)提供了大量的素材。歸納來看，小學(xué)HPM微視頻中的史料內(nèi)容選擇可以從“四個(gè)一”著手：一個(gè)人物、一個(gè)問題、一個(gè)故事、一種思想。在一個(gè)HPM微視頻中可包含“四個(gè)一”中的一個(gè)或多個(gè)內(nèi)容。

1.一個(gè)人物，靈動(dòng)數(shù)學(xué)

人物是生動(dòng)鮮活的，在小學(xué)HPM微視頻中介紹古代數(shù)學(xué)家能夠幫助學(xué)生領(lǐng)略鮮活的數(shù)學(xué)文化和悠遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)歷史。如在“三角形的面積”教學(xué)中，介紹劉徽和他作注的《九章算術(shù)》；在“平行四邊形的面積”教學(xué)中，介紹歐幾里得與《幾何原本》；在“相遇問題”中，介紹斐波那契年輕時(shí)跟隨父親航海的經(jīng)歷和他的《計(jì)算之書》。能夠幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)古代著名的數(shù)學(xué)家，在學(xué)生心中埋下數(shù)學(xué)文化的種子，讓數(shù)學(xué)鮮活起來。

2.一個(gè)問題，目標(biāo)明確

問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)能讓學(xué)生更加投入，小學(xué)HPM微視頻中提出一個(gè)曾讓古人感到困惑的問題，不僅能明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，還能讓學(xué)生從古人的困惑中思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)。如“圓的認(rèn)識(shí)”中，提到古巴比倫人無(wú)法畫出標(biāo)準(zhǔn)的圓，引出如何畫圓的問題；在“角”中，提出問題“為什么規(guī)定周角等于360°而不是其他度數(shù)”，讓學(xué)生思考數(shù)學(xué)中這般規(guī)定的理由，感受數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造的過程；在單元教學(xué)“平面圖形的面積”的起始，提出尼羅河泛濫后土地分配的問題，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來源，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

3.一個(gè)故事，印象深刻

給學(xué)生講故事能夠有效吸引學(xué)生的注意力，而歷史上的故事在豐富學(xué)生閱歷的同時(shí)，也能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的印象。如在“圓的面積”中，講述阿基米德為建筑工人解答木頭粗細(xì)問題的故事；在“位置的表示方法”中，給學(xué)生講述笛卡爾發(fā)明坐標(biāo)系的故事；在“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”中，講述阿基米德數(shù)沙的故事。當(dāng)學(xué)生回憶起故事時(shí)，就能聯(lián)想到相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

4.一種思想，注入靈魂

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，對(duì)于數(shù)學(xué)思想的把握是小學(xué)HPM微視頻設(shè)計(jì)的重要部分，除了介紹某種提煉后的思想，也可以展示某個(gè)特定的方法。如在“梯形的面積”中，總結(jié)“出入相補(bǔ)”原理和“轉(zhuǎn)化”的重要思想；在“用字母表示數(shù)”中，用不同文明中對(duì)未知數(shù)的表達(dá)方式來滲透代數(shù)的思想；在“平行”中，介紹不同文明對(duì)平行的定義，并用視錯(cuò)覺圖形引出“眼見不一定為實(shí)，需要靠論證才能解決問題”的道理，初步滲透幾何證明的思維。

參照微視頻類型，選擇數(shù)學(xué)史內(nèi)容后，可采用錄像法、錄屏法、編程法、手寫法制作微視頻。微視頻的制作要以達(dá)成微視頻特定的教學(xué)目的為參照，且不可為了使用而制作。

四、小學(xué)HPM微視頻的應(yīng)用案例

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生思考

在“圓的認(rèn)識(shí)”這一課中，學(xué)生需要初步探究圓的內(nèi)涵，嘗試自己畫圓。HPM微視頻中給學(xué)生展示了歷史上的圓，在遠(yuǎn)古時(shí)期，人類認(rèn)識(shí)圓是從仰望天空開始的，在兩河流域的數(shù)學(xué)泥版BM 15285（如圖2）上有著古人畫出的圓，但這圓很不規(guī)整，由此提出問題：為什么古人不能畫出規(guī)整的圓？你能畫出標(biāo)準(zhǔn)的圓嗎？給出圖釘、棉線、橡皮筋，讓學(xué)生選擇工具，嘗試畫圓。利用史料引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，從設(shè)計(jì)的活動(dòng)中讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)圓的概念。這節(jié)課類型是概念課，該HPM微視頻屬于創(chuàng)設(shè)情境類，選擇了一個(gè)問題，應(yīng)用在探究新知環(huán)節(jié)。

圖2 兩河流域數(shù)學(xué)泥版BM 15285

（二）重現(xiàn)歷史，體會(huì)動(dòng)態(tài)發(fā)展

在“用字母表示數(shù)”一課中，教師可介紹用字母表示數(shù)的發(fā)展歷程，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)是動(dòng)態(tài)發(fā)展的。19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)史家內(nèi)塞爾曼將代數(shù)符號(hào)的引入和發(fā)展分為三個(gè)階段：修辭代數(shù)、縮略代數(shù)和符號(hào)代數(shù)。在代數(shù)發(fā)展的早期，人們完全用文字來表達(dá)一個(gè)代數(shù)問題的解法，屬于修辭代數(shù)；公元3世紀(jì)，古希臘的數(shù)學(xué)家丟番圖在他所著的《算術(shù)》中首次用字母“”表示未知數(shù)，人類進(jìn)入了縮略代數(shù)的時(shí)期；在宋元時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家李冶則在《測(cè)圓海鏡》一書中，提到用“元”來表示未知數(shù)；到了16世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)使用字母來表示任意數(shù)或一類數(shù)，標(biāo)志著符號(hào)代數(shù)的到來。在《分析引論》中韋達(dá)使用大寫的元音字母A，I，O，V，Y等來表示未知數(shù)，用輔音字母B，G，D等表示已知數(shù)；17世紀(jì)笛卡爾則采用字母表中位置靠后的小寫字母（如x,y,z）來表示未知數(shù)或變量，用靠前的字母（如a,b,c）表示已知數(shù)或常量。在用符號(hào)表示未知數(shù)中，無(wú)論使用的是“”還是“元”，是英文字母“A”還是“x”，其本質(zhì)是沒有差別的。這節(jié)數(shù)學(xué)課類型是概念課，該HPM微視頻屬于重現(xiàn)歷史類，選擇了幾個(gè)人物和一個(gè)思想，應(yīng)用在歸納總結(jié)環(huán)節(jié)。

（三）提煉思想，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信

在“三角形的面積”一課中，運(yùn)用《九章算術(shù)》中的“出入相補(bǔ)”原理是這節(jié)課的特點(diǎn)，課中教師引導(dǎo)學(xué)生用“以盈補(bǔ)虛”（如圖3）的思想來解決面積的問題，將三角形通過割補(bǔ)的方式轉(zhuǎn)化成已學(xué)的矩形，將“轉(zhuǎn)化”的思想深入到學(xué)生的心中。在這節(jié)課中，學(xué)生思考出來的各種各樣的方法非常精彩，但還需要進(jìn)行總結(jié)。這時(shí)播放微視頻，介紹劉徽與《九章算術(shù)》，并介紹中國(guó)古代計(jì)算三角形面積的方法，幫助學(xué)生提煉“以盈補(bǔ)虛”的思想。在微視頻中，學(xué)生可以看到，中國(guó)古人所用的方法和自己想出來的方法十分相似，增強(qiáng)了他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信。這節(jié)課類型是法則課，該HPM微視頻屬于介紹思想類，選擇了一個(gè)人物和一種思想，應(yīng)用在歸納總結(jié)環(huán)節(jié)。

圖3 以盈補(bǔ)虛的方法

（四）回眸歷史，展現(xiàn)方法之美

在“兩位數(shù)除多位數(shù)”這一課中，例題之后用HPM微視頻展現(xiàn)中國(guó)古代用算籌進(jìn)行除法運(yùn)算的方法，將算籌轉(zhuǎn)化為學(xué)生易懂的數(shù)字來解釋其中的算理。中國(guó)古代的算法充分利用了數(shù)位的概念，結(jié)構(gòu)和方法與現(xiàn)在使用的豎式除法很相近（如圖4）?；仨鴼v史中的精彩方法，不僅能夠讓學(xué)生體會(huì)到古人的智慧，更能幫助學(xué)生從這些方法中感受算理，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。這節(jié)課類型是法則課，該HPM微視頻屬于展示方法類，選擇了一種思想，應(yīng)用在例題應(yīng)用環(huán)節(jié)。

圖4 古代中國(guó)的“除法豎式”

五、結(jié)語(yǔ)

在小學(xué)課堂中應(yīng)用HPM微視頻有諸多優(yōu)點(diǎn)，但其設(shè)計(jì)不是一件容易的事情。在設(shè)計(jì)小學(xué)HPM微視頻時(shí)，要考慮數(shù)學(xué)史料的趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性和人文性，需包含人物、故事、問題或思想，要考慮不同的教學(xué)環(huán)節(jié)和不同的課型與微視頻類型之間的關(guān)系，需選擇合適的史料內(nèi)容和呈現(xiàn)方式?？傊⒁饧夹g(shù)與數(shù)學(xué)史料的深度融合，以服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

目前，在小學(xué)階段，作為數(shù)學(xué)文化傳播媒介的HPM微視頻的應(yīng)用還未常態(tài)化，HPM微視頻還有廣闊的發(fā)展空間，研究者需深入挖掘史料，選擇更適合小學(xué)生的內(nèi)容，以更好地助力學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。