□ 錢利平 邵漢民

小學(xué)數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)史的重要組成部分，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有專門的數(shù)學(xué)史料的介紹，也有部分融入教材編寫之中。同時(shí)，數(shù)學(xué)史的教學(xué)價(jià)值越來越被專家與教師所重視，如華東師范大學(xué)的汪曉勤教授所帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)對(duì)數(shù)學(xué)史如何融入日常教學(xué)進(jìn)行了長(zhǎng)期的實(shí)踐研究[1]，西南大學(xué)的宋乃慶教授則以數(shù)學(xué)史為素材進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課程的開發(fā)[2]，等等。但是，我們也發(fā)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)教師職前缺少相應(yīng)的數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，在職后也不知道如何結(jié)合具體的課例尋找相應(yīng)的數(shù)學(xué)史。小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，其內(nèi)涵雖然還沒有達(dá)成共識(shí)，但是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及小學(xué)數(shù)學(xué)教育專家對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的討論都可以給我們理解小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以啟示。在認(rèn)識(shí)了“小學(xué)數(shù)學(xué)史”與“小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，依據(jù)兩者的聯(lián)系，可以從小學(xué)數(shù)學(xué)史中汲取小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的因子。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)史的基本內(nèi)涵

這里的小學(xué)數(shù)學(xué)史，是指小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成的歷史，以及由此形成的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)精神。可以分成三個(gè)方面，第一個(gè)方面是數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成過程，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的歷史性；第二個(gè)方面是數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)性；第三個(gè)方面是數(shù)學(xué)精神，滲透了數(shù)學(xué)史的教育性。

（一）體現(xiàn)數(shù)學(xué)的歷史性

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。同時(shí)，這一研究過程并不是一蹴而就的，需要經(jīng)歷漫長(zhǎng)的產(chǎn)生與形成的發(fā)展過程。數(shù)學(xué)史就是要真實(shí)地還原這一段段歷史。

如對(duì)于長(zhǎng)度的測(cè)量，在確定長(zhǎng)度單位時(shí)，人們最先采用“以身為度”的方式，即用身體某一部分的長(zhǎng)度作為單位來進(jìn)行測(cè)量，如“庹”“拃”等。隨著測(cè)量精度的增加與交流需要，逐步形成了國際單位，如米、分米、厘米等。人教版二年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)度單位》例1就引用了“以身定度”的片段。因此，教師只有了解長(zhǎng)度單位的形成歷史，才能夠理解教材的編寫意圖，并適時(shí)介紹“排黍定度”“子午定度”“光波定度”，讓學(xué)生了解長(zhǎng)度單位形成的歷史。[3]

但是，基于數(shù)學(xué)史編寫的教材例題非常罕見。對(duì)于一些數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、法則等的產(chǎn)生與形成歷史，教師要能夠適當(dāng)了解，并組織成數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)。如字母表示數(shù)，人類經(jīng)歷了文字表示數(shù)、字母縮寫表示特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，教師可以創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程。[4]

（二）體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)性

數(shù)學(xué)思想方法是人們?cè)谘芯繑?shù)量關(guān)系與空間形式時(shí)的思維方式與操作規(guī)則。數(shù)學(xué)思想方法來源于數(shù)學(xué)知識(shí)，又高于數(shù)學(xué)知識(shí)，相對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史性，數(shù)學(xué)思想方法更體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的科學(xué)性。

如圓周率的值，我們知道它是一個(gè)常數(shù)，且是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。但是，如何求得呢？人們經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)時(shí)期、幾何時(shí)期、分析時(shí)期和計(jì)算機(jī)時(shí)期四個(gè)時(shí)期。推算圓周率的過程，就是不斷升華數(shù)學(xué)思想、提煉數(shù)學(xué)方法的過程。[5]

因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，我們要不斷地追問，在它的產(chǎn)生與形成過程中，包含著哪些思想方法，使“學(xué)數(shù)學(xué)”的過程成為“用數(shù)學(xué)學(xué)”的過程。

（三）滲透數(shù)學(xué)的教育性

有位教師在教學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)拓展課“圓的魅力”時(shí)，向?qū)W生提問：“我們?yōu)槭裁茨軌蛟诙潭痰膸坠?jié)課中學(xué)習(xí)了這么多有關(guān)圓的知識(shí)？”學(xué)生有的回答是由于自身的努力，有的回答是因?yàn)槔蠋熤笇?dǎo)，等等。這時(shí)教師指出其實(shí)最重要的是感謝一類人——數(shù)學(xué)家。然后教師講了“阿基米德之死”，并指出每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式……的背后，都有著這樣一個(gè)個(gè)感人的故事。[6]

確實(shí)，數(shù)學(xué)史記錄的不僅僅是數(shù)學(xué)的知識(shí)與思想方法的歷史，更記載著人類探究數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的歷程，其中，有許許多多的感人故事，值得我們作為教育資源進(jìn)行開發(fā)，用生動(dòng)的事例、巧妙的設(shè)計(jì)，再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成的歷史。

歷史性是數(shù)學(xué)史區(qū)別于數(shù)學(xué)的基本特征，科學(xué)性是數(shù)學(xué)史需要評(píng)析與提煉的重要內(nèi)容，教育性則是數(shù)學(xué)史所具有的人文特征，也是作為數(shù)學(xué)教育工作者需要特別關(guān)注的內(nèi)容。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵及數(shù)學(xué)史與其的關(guān)聯(lián)性

小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究的熱點(diǎn)之一，但對(duì)于它的基本內(nèi)涵是什么還沒有達(dá)成共識(shí)。

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的討論

對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的討論，有兩種基本思路，第一種從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的10個(gè)核心詞進(jìn)行概括，如曹培英老師把10個(gè)核心詞中具有數(shù)學(xué)特色的9個(gè)分成數(shù)學(xué)思想方法層面與數(shù)學(xué)內(nèi)容領(lǐng)域?qū)用妫瑯?gòu)建起小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本框架（如圖1）。[8]

圖1

第二種則是從國際視野的角度進(jìn)行詮釋，如蔡金法教授綜觀國內(nèi)外人才培養(yǎng)目標(biāo)，從數(shù)學(xué)學(xué)科角度歸納了4個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分，分別是數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)智能計(jì)算思維與數(shù)學(xué)情感。[9]其中數(shù)學(xué)情感引起筆者的重視，數(shù)學(xué)情感關(guān)注的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的積極的非智力因素。這給我們以啟示，“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一，也應(yīng)該是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分之一。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的建構(gòu)

綜合國內(nèi)外專家就小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的論述，筆者把小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分成三個(gè)方面，分別是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)情感（如圖2）。

圖2

數(shù)學(xué)思想是指人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的最一般的思維形式，包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)模型。它們與高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相對(duì)應(yīng)，但表現(xiàn)形式更加淺顯。數(shù)學(xué)方法是指在解決實(shí)際問題時(shí)結(jié)合問題特征形成的思維方法。如為了使抽象的數(shù)學(xué)問題更加形象直觀而采用的幾何直觀；運(yùn)算解決問題必須具備的運(yùn)算能力；進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析隨機(jī)事件而形成的數(shù)據(jù)分析能力。數(shù)學(xué)情感是指通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生形成積極的情感、態(tài)度與價(jià)值觀，主要包括數(shù)學(xué)理性、數(shù)學(xué)審美與數(shù)學(xué)應(yīng)用。通過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的理性思維是數(shù)學(xué)思維的重要特征。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性、抽象性、和諧性均展現(xiàn)著數(shù)學(xué)之美，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)。把數(shù)學(xué)應(yīng)用歸納到數(shù)學(xué)情感，是指通過數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

以上小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)建，體現(xiàn)了傳承、融合與完善，相信隨著小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的深入，會(huì)更加科學(xué)、更加合理。

三、從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的因子

論述數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，可以更好地把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的因子。

（一）從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)思想形成的線索

數(shù)學(xué)史中記錄的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生與形成的過程，往往就是數(shù)學(xué)思想逐步萌芽與形成的過程。教師可以依據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)和可接受性，讓學(xué)生重走數(shù)學(xué)探究之路，體會(huì)數(shù)學(xué)思想的形成過程。

如圓的面積計(jì)算公式一般按極限思想完成推導(dǎo)。除此之外，也可以參考《周髀算經(jīng)》中的“圓出于方”，把圓類比成正多邊形，從推導(dǎo)偶數(shù)邊正多邊形通用面積計(jì)算公式后，用類比思想推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式——“半周乘半徑”（如圖3）。[10]

圖3

相對(duì)于數(shù)學(xué)教材，數(shù)學(xué)史更能夠追溯到數(shù)學(xué)的本源，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在產(chǎn)生和形成過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本源的認(rèn)識(shí)。

（二）從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)方法總結(jié)的素材

如曹培英老師歸納的，每一種數(shù)學(xué)方法往往與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域有聯(lián)系。通過數(shù)學(xué)史，可以更好地回溯數(shù)學(xué)方法逐步總結(jié)的歷程，選擇合適的數(shù)學(xué)史料，進(jìn)行教育學(xué)化加工，成為學(xué)習(xí)的素材。

如平均數(shù)，起源于估算一棵果樹上的果實(shí)數(shù)，取其中一個(gè)枝丫上的果實(shí)數(shù)為代表，去乘這棵樹的枝丫數(shù)。教師可以用這個(gè)數(shù)學(xué)史故事導(dǎo)入平均數(shù)的學(xué)習(xí)，通過分析、比較、完善引出平均數(shù)，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力。又如數(shù)對(duì)的教學(xué)，可以用笛卡爾發(fā)明直角坐標(biāo)的素材進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)幾何直觀的魅力。

需要特別注意的是，從數(shù)學(xué)史中選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)素材，一定要結(jié)合學(xué)生的年齡特征，進(jìn)行二次加工，使得情節(jié)更加生動(dòng)直觀，更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更加有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力。

（三）從數(shù)學(xué)史中汲取數(shù)學(xué)情感的積極體驗(yàn)

就小學(xué)數(shù)學(xué)而言，在數(shù)學(xué)史中體現(xiàn)數(shù)學(xué)情感積極體驗(yàn)的例子比比皆是，如通過講述古代世界各地各種數(shù)碼的歷史與發(fā)展，可以感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美與統(tǒng)一美；介紹圓周率的探索歷史，可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)的理性精神；通過列舉自然界中的圓（如荷葉、向日葵等），生活中的圓（如車輪、土樓等），有寓意的圓（如月餅、太極圖等），發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活之間廣泛的聯(lián)系。

學(xué)生積極的數(shù)學(xué)情感體驗(yàn)，應(yīng)該來自于日常數(shù)學(xué)教學(xué)的滲透，教師可以從數(shù)學(xué)史中汲取生動(dòng)的、有教育意義的數(shù)學(xué)史料，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容情境再現(xiàn)，再通過設(shè)問，讓學(xué)生談體會(huì)、說感受。

“從數(shù)學(xué)家的廢紙簍里尋找知識(shí)的源泉”，數(shù)學(xué)知識(shí)不會(huì)離開數(shù)學(xué)史而憑空產(chǎn)生,從數(shù)學(xué)史中汲取小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的因子，是探究與落實(shí)小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。