蘇茹燕，楊忠鵬，陳梅香

(1.莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，福建 莆田 351100；2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，福建 福州 350001)

0 引 言

作為一般情況Pn×n是否有由冪等矩陣構(gòu)成的基(簡(jiǎn)稱冪等基)?如果有冪等基，那么就會(huì)有與文獻(xiàn)[8]相同的思考方向，即每個(gè)n×n階矩陣可被冪等矩陣線性表示.由一個(gè)向量能被一組向量唯一地線性表示的充要條件是這組向量線性無(wú)關(guān)(見(jiàn)文獻(xiàn)[10，例4.9])，可知Pn×n冪等基的存在，可從另外的角度證明n×n階矩陣可由n2個(gè)冪等矩陣唯一線性表出.

文獻(xiàn)[11]對(duì)K.Hoffmon等的疑問(wèn)給出正面的回答，證明了Pn×n存在冪等基;文獻(xiàn)[12]用文獻(xiàn)[11]的方法討論特征為零的域上K-冪等基的存在性.

對(duì)合矩陣也是常用矩陣類(見(jiàn)文獻(xiàn)[13-14]).是否有與K.Hoffmon等疑問(wèn)類似的由n2個(gè)對(duì)合矩陣構(gòu)成的Pn×n的基(簡(jiǎn)稱對(duì)合基)，這也是一個(gè)有趣的問(wèn)題.

本文在得到冪等基的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，給出了為區(qū)別不同冪等基之間差異的“基秩”定義，得到了Pn×n的所有冪等基的基秩的最大值和最小值分別為n2(n-1)+1和n2.我們用不同于文獻(xiàn)[11-12]解答K.Hoffmon等疑問(wèn)時(shí)冪等基的構(gòu)造方法，得到P2×2的對(duì)合基.同時(shí)證明n≥3，Pn×n存在著由n2個(gè)對(duì)合矩陣構(gòu)成的基.

1 預(yù)備知識(shí)

由矩陣乘法易得

(1)

引理2設(shè)Iij∈Pn×n，i，j=1，2，…，n，且約定

(2)

(3)

由定義1知

(4)

由文獻(xiàn)[15，problems 5.1.8]可得：

引理4設(shè)A∈Pn×n，則A2=A?B2=E，其中B=2A-E.

引理5設(shè)A∈Pn×n，則

r(A)+r(A-E)=n+r(A2-A)，

(5)

A2=A?(E-A)2=E-A.

(6)

2 Pn×n矩陣空間冪等基性質(zhì)

(7)

證明：由式(2)知

(8)

由式(8)可得

(I11，I12，…，I1n，I21，I22，…，I2n，…，In1，In2，…，Inn)=
(E11，E12，…，E1n，E21，E22，…，E2n，…，En1，En2，…，Enn)H.

(9)

由式(9)知式(7)成立.證畢.

(10)

即

(11)

這樣由式(7)、(8)得

(E11，E12，…，E1n，E21，E22，…，E2n，…，En1，En2，…，Enn)=
(I11，I12，…，I1n，I21，I22，…，I2n，…，In1，In2，…，Inn)H-1，

即

(12)

從引理1和式(11)、(12)可知式(9)成立.證畢.

定理2表明任意A=(aij)∈Pn×n都可唯一表示為由式(2)、(3)所表示的標(biāo)準(zhǔn)冪等基的線性組合，且可用式(10)顯示線性表出系數(shù)，與文獻(xiàn)[8]不同之外，還在于我們的線性表示是唯一的.

(13)

(3)積極創(chuàng)新融合發(fā)展新模式新業(yè)態(tài) 制造業(yè)、互聯(lián)網(wǎng)、物流、金融等領(lǐng)域企業(yè)應(yīng)面向變革生產(chǎn)模式、創(chuàng)新交易方式、破解融資難題等制造業(yè)關(guān)鍵領(lǐng)域，積極開展網(wǎng)絡(luò)化協(xié)同研發(fā)制造、大規(guī)模個(gè)性化定制、服務(wù)型制造等“制造業(yè)+互聯(lián)網(wǎng)”新模式的應(yīng)用，并圍繞工業(yè)電子商務(wù)、產(chǎn)融結(jié)合等重點(diǎn)方向積極創(chuàng)新融合發(fā)展新模式，促進(jìn)我國(guó)制造業(yè)價(jià)值鏈全面升級(jí)，從而實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展。

(14)

r(Gij)=n-r(Iij)=n-1，i≠n且j≠n；r(Gnn)=n.

(15)

(16)

由式(14)、(16)得

即

(17)

即此時(shí)式(16)簡(jiǎn)化為

(18)

式(18)說(shuō)明式(16)等價(jià)于以k11，k22，…，knn為變量的齊次線性方程組

(19)

3 Pn×n矩陣空間的對(duì)合基

定理4說(shuō)明，由引理4知可從標(biāo)準(zhǔn)冪等基得到4個(gè)不同的對(duì)合矩陣，但它不能成為P2×2的對(duì)合基.相對(duì)K.Hoffmon等提出的P2×2的冪等基和定理4我們自然要問(wèn)P2×2是否存在對(duì)合基？

定理5P2×2存在對(duì)合基.

雖然無(wú)法應(yīng)用解決K.Hoffmon等疑問(wèn)中的標(biāo)準(zhǔn)冪等基得到P2×2的對(duì)合基，但定理5證明P2×2存在對(duì)合基.定理4的情況在n≥3時(shí)會(huì)怎樣？如果也要像通過(guò)定理5那樣，來(lái)構(gòu)造Pn×n的對(duì)合基，無(wú)疑隨著n的增大計(jì)算量會(huì)增加很大.

定理6設(shè)n為任意正整數(shù)，當(dāng)n≥3時(shí)，Pn×n存在如下確定的對(duì)合基

(20)

(21)

由式(20)、(21)得

即

(22)

(23)

與定理3的證明類似，易知式(23)與下面齊次線性方程組等價(jià)

(24)

從基秩的定義、引理2和推論1可得：